【文章內(nèi)容簡介】 傳播，當(dāng)樁身存在明顯的波阻抗Z變化界面時（如斷樁、離析、樁低等）或樁身截面積發(fā)生變化（如縮頸或擴(kuò)頸），將產(chǎn)生產(chǎn)生反射波和透射波，反射的相位和幅值大小由波阻抗Z決定。反射波法是以應(yīng)力波在固體介質(zhì)中的傳播為理論基礎(chǔ)一種方法。假定樁為一維連續(xù)桿件，不考慮樁周土體及裝本身的阻尼對應(yīng)力波的影響。為了推導(dǎo)直桿的縱向振動方程，需作以下基本假設(shè)：（1）桿件為直桿，桿件的各個界面相等； （2）桿件材料均勻且各向同性； （3）桿件變形中的橫截面保持為平面，且彼此平行； （4）桿件橫截面上沿軸向只有均布的軸向應(yīng)力； （5）忽略桿件的橫向慣性效應(yīng)，不計入應(yīng)變率對應(yīng)力的影響?？紤]一材質(zhì)均勻、截面恒定的彈性桿，長度為L，截面積為A，彈性模量為E，質(zhì)量密度為ρ。取桿軸為x軸。若桿變形時平截面假設(shè)成立，受軸向力F作用，將沿桿軸向產(chǎn)生位移u，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度V=?u?t和應(yīng)變ε=?u?x ，這些動力學(xué)和運(yùn)動學(xué)量只是x和時間t的函數(shù)。由于桿具有無窮多的振型，則每一振型各自對應(yīng)的運(yùn)動量分布形式都不相同。由圖31，桿x處的單元dx，如果u為x處的位移，則在x+dx處的位移為u+?u?xdx，顯然單元dx在新位置上的長度變化量為?u?xdx，而?u?x即為該單元的應(yīng)變。根據(jù)虎克定律，應(yīng)力與應(yīng)變之比等于彈性模量E，可寫出：圖31 桿單元的位移?u?x=σE=FAE (31)式中σ為桿x截面處的應(yīng)力。將（31）式兩邊對x微分，得:AE?2u?x2=?F?x (32)利用牛頓定律，考慮該單元的不平衡力（慣性力）列出平衡方程：a=?2u?t2 (33)?F?xdx=ρAdx?2y?t2 (34)合并（32）和（34）兩式，得：?2u?t2=Eρ?2u?x2 (35)定義c=Eρ為位移、速度、應(yīng)變或應(yīng)力波在桿中的縱向傳播速度，得到如下一維波動方程：?2u?t2c2?2u?x2=0 (36)以下有兩點(diǎn)需要說明：（1）對于實(shí)際樁而言，平衡方程（34）左邊的平衡力中既包含了慣性力的影響，也可計入了單元的土阻力影響，只是考慮微單元dx的平衡時沒有顯含土阻力罷了。另外，當(dāng)采用數(shù)值求解實(shí)際樁的波動問題時，一般假設(shè)土阻力的產(chǎn)生有賴于其相鄰樁段的運(yùn)動位移和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度，也就是說，土阻力的產(chǎn)生是被動的，只有先計算出樁段的運(yùn)動量值，才有可能算出與樁段相鄰的土阻力值，通過靜力平衡，扣除該單元的土阻力后，再將該樁段力值傳遞給下一個樁段。（2）一維桿的縱波傳播速度與三維介質(zhì)中的縱波（壓縮波）傳播速度不同，其表達(dá)式為cp=1υ12υ（1+υ）.c（式中υ為介質(zhì)材料的泊松比），相當(dāng)于聲波透射法中定義的聲速，當(dāng)υ=，cp=；υ=，cp=。采用分離變量法求解波動方程（36），令其解具有如下形式：u（x，t）=U（x）?G（t） (37)代入波動方程得： 1Ud2Udx2=1c21Gd2Gdt2 (38)由于式（38）左右兩邊分別與t和x無關(guān)，所以只能等于一個常數(shù)，令其等于（ωc）2并代入（38），得以下兩個常微分方程： d2Udx2+（ωc）2U=0 (39) d2Gdt2+ω2G=0 (310)它們的通解分別為: Ux=Asinωcx+Bcosωcx (311) Gt=Csinωt+Dcosωt (312)上兩式中，ω=2πf為角頻率；A、B、C和D為任意常數(shù)，分別由邊界條件和初始條件確定。（1） 桿的兩端自由： 此時，應(yīng)力在桿兩端必須為零。因?yàn)閼?yīng)力等于E?u?x，則桿兩端必須滿足應(yīng)變?yōu)榱愕倪吔鐥l件：?u?xx=0=AωcCsinωt+Dcosωt=0 (313)?u?xx=L=ωcAcosωLcBsinωLcCsinωt+Dcosωt=0 (314)因?yàn)榉匠蹋?13）和（314）必須對任何時刻t都成立，故由（313）得A=0，同時為保證振動的存在，B只能為有限值，則由式（314）得：sinωLc=0或ωLc=π,2π,3π?nπ (315)式（315）即為桿的振動頻率方程。相應(yīng)的固有振動頻率為：ωn=nπcL或fn=nc2Ln=1,2,3? (316)利用初始條件，u（x，t）t=0=0，得到方程（36）在兩端自由和零初始條件下的位移特解為：un=u0cosnπLx?sinnπLtn=1,2,3? (317)圖32 兩端自由桿的前三階振型曲線上式表明：兩端自由桿的縱向振動為具有n個節(jié)點(diǎn)、幅度為u0的余弦波形式, cosnπLx是與各介固有頻率對應(yīng)的振型函數(shù)，其前三階振型曲線見圖32。（2） 桿的一端自由、一端固定：此時的邊界條件為：?u?xx=0=0和ux=L=0導(dǎo)出頻率方程為： cosωcL=0或ωcL=π2,3π2,?,2n1π2n=1,2,3? (318)相應(yīng)的固有振動頻率和一端自由、一端固定條件下的位移特解分別為：ωn=(2n1)π2cL或fn=2n12c2Ln=1,2,3,? (319)un=u0cos(2n1)π2Lx?sin2n1π2Ltn=1,2,3,? (320)上式表明：一端自由、一端固定桿的縱向振動也是n個節(jié)點(diǎn)的余弦波形式，其前三階振型曲線見圖33。圖33 一端自由、一端固定桿的前三階振型曲線當(dāng)沿桿x方向的彈性模量E，截面積A，波速c和質(zhì)量密度ρ不變時，采用行波理論求解波動方程（36），不難驗(yàn)證下式為波動方程的達(dá)朗貝爾通解：u（x，t）=W（x+ct）=Wd（xct）+Wu（x+ct） （321）式中Wd和Wu為任意函數(shù)?？梢姡ㄐ魏瘮?shù)Wd以波速c沿x軸正向傳播；同樣可驗(yàn)證波形函數(shù)Wu以波速c沿x軸負(fù)向傳播。我們把Wd和Wu分別為上行波和下行波。Wd和Wu形狀不變、且各自獨(dú)立地以波速c分別沿x軸正向和負(fù)向傳播的特性是解釋應(yīng)力波傳播規(guī)律的最直觀方法，見圖34。圖34 下（右）行波和上（左）行波的傳播作變換ξ= x+ct，分別求W（x+ct）對x和t的偏導(dǎo)數(shù)，即ε=?Wx?ct?x=?W（ξ）?ξ?ξ?x=W‘x?ct (322)V=?Wx?ct?x=?W（ξ）?ξ?ξ?t=?W‘x?ct (323)為了將一維桿波動理論方便地用于樁的動力檢測，考慮在實(shí)際樁的動力檢測時，施加于樁頂?shù)暮奢d為壓力，故按習(xí)慣定義位移u，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度V和加速度a以向下為正（即x軸正向），樁身軸力F，應(yīng)力σ和應(yīng)變ε以受壓為正。則由式（322）和（323）并改變符號有: V=?c?ε (324) 這一簡潔形式的方程是我們今后討論應(yīng)力波問題的最基本公式，它表明彈性桿中的應(yīng)力波引起的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度與應(yīng)變成正比。利用（324）式，根據(jù)ε=σE=FEA可導(dǎo)出以下兩個重要公式： σ=+ρc?V （325） F=177。ρcA?V=EAc?V=177。Z?V (326)上式中，ρc和ρcA稱為彈性桿的波阻抗，當(dāng)桿為等截面時，阻抗Z=mcL（式中m為桿的質(zhì)量）。另外，后面將用到以下恒等式: F≡F+Z?V2+FZ?V2 (327)式中等號右邊第一項(xiàng)稱為下行力波Fd（也簡稱為下行波），第二項(xiàng)稱為上行力波Fu（也簡稱為上行波）。如果類似的將質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度進(jìn)行分解，即： V=Vd+Vu (328)式中 Vd=1Z?F+Z?V2Vu=1Z?F+Z?V2 (329)顯然有： Fd=Z?VdFu=Z?VuF=Z?VdZ?Vu (330) 應(yīng)力波的相互作用在不同阻抗界面上的反射和投射 應(yīng)力波的相互作用考慮一根長為L的等阻抗桿，在桿x=0和x=L的兩端同時作用兩個矩形壓力脈沖 F0，t=FτFL，t=FLτ0≤t≤τ (331) F0,t=FL,t=0 tτ (332) 在t1L2c時，兩相對行進(jìn)的壓力波尚未相遇。下面分析t≥L2c時的情況，根據(jù)式（329），x=L2處的力值F和速度值V可由下面兩式求解： FF0,0=Z?[VV0,0]FFL,0=Z?[VVL,0] (333)注意到V0,0=F(0,0)Z=F0(τ)Z,V0,L=FL(τ)Z,解出：F=F0+FLV=（F0FL）Z (334)當(dāng)F0τ=FL（τ）時，兩相對傳播并迎頭相遇的壓力波在桿區(qū)間[L2c?τ2,L2+c?τ2]范圍內(nèi)疊加，使力加倍、速度為零。因此可見，當(dāng)考慮波的相互作用時，所得結(jié)果與牛頓第三定律的結(jié)果完全不同。如果其他條件不變，設(shè)F0τ=FL（τ）可得到：F=0V=2F0Z (335)即兩相行進(jìn)相遇的同幅異號波在上述桿段內(nèi)疊加結(jié)果使速度加倍、力為零。 應(yīng)力波在桿不同阻抗界面處的反射透射，阻抗變化與桿的截面尺寸、質(zhì)量密度、波速、彈性模量等因素或某一因素變化有關(guān)。假設(shè)圖36所示的桿由兩種不同阻抗材料（或截面面積）組成，當(dāng)應(yīng)力從波阻抗Z1的介質(zhì)入射至阻抗Z2的介質(zhì)時，在兩種不同阻抗的界面上將產(chǎn)生反射波和透射波，用腳標(biāo)I、R和T分別代表入射、反射和透射。假設(shè)入射壓力波FI是已知的，顯然有VI=FIZI。界面處的力F和速度V滿足FFI=Z1?VVI (336)F=Z2?V (337)求解上述二式，得：F=2Z2Z1+Z2FI=2Z1Z2Z1+Z2VI (338)V=2Z1+Z2FI=2Z1Z1+Z2VI (339)按習(xí)慣將界面處的力波和速度波分解為入射、反射和透射三種波。因界面上力F和速度V應(yīng)分別滿足牛頓第三定律 FI+FR=FT=F (340)和連續(xù)條件 VI+VR=VT=V (341)記完整性系數(shù)β=Z2Z1，反射系數(shù)ξR=（β1）（1+β），透射系數(shù)ξT=2β1+β，可得下列公式： FR =ξR?FI (342) VR=ξR?VI (343) FT=ξT?FI (344) VT=(1β)?ξT?VI (345) 1+ξR=ξT (346)下面對（342）～（346）式進(jìn)行討論：（1） 由于ξT≥0，所以透射波總是與入射波同號。（2）β=1，即Z2Z1=1，反射系數(shù)ξR=0，透射系數(shù)ξT=1，F(xiàn)T=FI ，入射力波波形除隨時間改變位置外，其他不變，相當(dāng)于應(yīng)力波不受任何阻礙地沿桿正向傳播。（3）β1，即波從小阻抗介質(zhì)傳入大阻抗介質(zhì)。因ξ≥0，故反射力波與入射力波同號，若入射波為下行壓力