【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 （210）為無阻尼單質(zhì)點(diǎn)體系自由振動(dòng)的通解，表示質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，這里為無阻尼自振頻率。對(duì)比式（29）和式（210）可知，有阻尼單質(zhì)點(diǎn)體系的自由振動(dòng)為按指數(shù)函數(shù)衰減的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)頻率為 ，故稱為有阻尼的自振頻率?！　「鶕?jù)初始條件來確定常數(shù)和。當(dāng)t=0時(shí)， ，　　其中和分別為初始位移和初始速度。將t=0和代入式（29）得： 　　為確定常數(shù)，對(duì)時(shí)間t求一階導(dǎo)數(shù)，并將t=0， 代入，得： 　　將、值代入式（29）得：　　 （211）　　上式就是式（28）在給定的初始條件時(shí)的解答。　　由和可以看出，有阻尼自振頻率隨阻尼系數(shù)增大而減小，即阻尼愈大，自振頻率愈慢。當(dāng)阻尼系數(shù)達(dá)到某一數(shù)值時(shí)，即 （212）時(shí)，則 ，表示結(jié)構(gòu)不再產(chǎn)生振動(dòng)。這時(shí)的阻尼系數(shù)稱為臨界阻尼系數(shù)。它是由結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度決定的，不同的結(jié)構(gòu)有不同的阻尼系數(shù)。而 （213）　　上式表示結(jié)構(gòu)的阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)的比值，所以稱為臨界阻尼比，簡(jiǎn)稱阻尼比。在建筑抗震設(shè)計(jì)中，常采用阻尼比表示結(jié)構(gòu)的阻尼參數(shù)。由于阻尼比的值很小，～，因此，有阻尼自振頻率和無阻尼自振頻率很接近，即 。也就是說，計(jì)算體系的自振頻率時(shí)，通?？刹豢紤]阻尼的影響?！　∽枘岜戎悼赏ㄟ^對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)試驗(yàn)確定。 　?。ǘ┑卣鹱饔孟逻\(yùn)動(dòng)方程的特解　　進(jìn)一步考察運(yùn)動(dòng)方程（27）　 　　可以看到，方程與單位質(zhì)量的彈性體系在單位質(zhì)量擾力作用下的運(yùn)動(dòng)方程基本相同，區(qū)別僅在于方程等號(hào)右端為地震地面加速度 ，所以，在求方程的解答時(shí)，可將看作是隨時(shí)間而變化的單位質(zhì)量的“擾力”?！　榱吮阌谇蠓匠蹋?7）的特解，我們將“擾力”看作是無窮多個(gè)連續(xù)作用的微分脈沖，如圖22所示?，F(xiàn)在討論任一微分脈沖的作用。設(shè)它在開始作用，作用時(shí)間為，此時(shí)微分脈沖的大小為。顯然，體系在微分脈沖作用后僅產(chǎn)生自由振動(dòng)。這時(shí)，體系的位移可按式（23）確定。但式中的和應(yīng)為微分脈沖作用后瞬時(shí)的位移和速度值。根據(jù)動(dòng)量定理： （214）　　將=0和的值代入式（23），即可求得時(shí)間作用的微分脈沖所產(chǎn)生的位移反應(yīng) （215）　　將所有組成擾力的微分脈沖作用效果疊加，就可得到全部加載過程所引起的總反應(yīng)。因此，將式（215）積分，可得時(shí)間為t的位移　　　　 （216）　　上式就是非齊次線性微分方程（27）的特解，通稱杜哈梅（Duhamel）積分。它與齊次微分方程（28）的通解之和就是微分方程（27）的全解。但是，由于結(jié)構(gòu)阻尼的作用，自由振動(dòng)很快就會(huì)衰減，公式（29）的影響通?？梢院雎圆挥?jì)?！　》治鲞\(yùn)動(dòng)方程及其解答可以看到：地面運(yùn)動(dòng)加速度直接影響體系地震反應(yīng)的大小；而不同頻率（或周期）的單自由度體系，在相同的地面運(yùn)動(dòng)下會(huì)有不同的地震反應(yīng)；阻尼比對(duì)體系的地震反應(yīng)有直接的影響，阻尼比愈大則彈性反應(yīng)愈小。167。25 單質(zhì)點(diǎn)彈性體系水平地震作用　　一、水平地震作用基本公式　　由結(jié)構(gòu)力學(xué)可知，作用在質(zhì)點(diǎn)上的慣性力等于質(zhì)量乘以它的絕對(duì)加速度，方向與加速度的方向相反，即　 （217）　　式中為作用在質(zhì)點(diǎn)上的慣性力。其余符號(hào)意義同前?！　∪绻麑⑹剑?3）代入式（217），并考慮到遠(yuǎn)小于而略去不計(jì)，則得： （218）　　由上式可以看到，相對(duì)位移與慣性力成正比，因此，可以認(rèn)為在某瞬時(shí)地震作用使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生相對(duì)位移是該瞬時(shí)的慣性力引起的。也就是為什么可以將慣性力理解為一種能反應(yīng)地震影響的等效載荷的原因?！　⑹剑?16）代入式（218），并注意到和的微小差別，令=，則得： （219）　　由上式可見，水平地震作用是時(shí)間t的函數(shù)，它的大小和方向隨時(shí)間t而變化。在結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)中，并不需要求出每一時(shí)刻的地震作用數(shù)值，而只需求出水平作用的最大絕對(duì)值。設(shè)表示水平地震作用的最大絕對(duì)值，由式（219）得： （220）或 （221）　　這里 （222）　　令 　　　　　　 　　代入式（221），并以代替，則得：（223）　　式中－水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值；－質(zhì)點(diǎn)加速度最大值；－地震動(dòng)峰值加速度；－地震系數(shù)；－動(dòng)力系數(shù)；－建筑的重力荷載代表值（標(biāo)準(zhǔn)值）。　　式（223）就是計(jì)算水平地震作用的基本公式。由此可見，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的水平地震作用，關(guān)鍵在于求出地震系數(shù)和動(dòng)力系數(shù)。二、地震系數(shù) 　　地震系數(shù)是地震動(dòng)峰值加速度與重力加速度之比，即　　　　　　　　 　 　　（224）　　也就是以重力加速度為單位的地震動(dòng)峰值加速度。顯然，地面加速度愈大，地震的影響就愈強(qiáng)烈，即地震烈度愈大。所以，地震系數(shù)與地震烈度有關(guān)，都是地震強(qiáng)烈程度的參數(shù)?！　∪?、動(dòng)力系數(shù)　　動(dòng)力系數(shù) 是單質(zhì)點(diǎn)彈性體系在地震作用下反應(yīng)加速度與地面最大加速度之比，即 （225）　　也就是質(zhì)點(diǎn)最大反應(yīng)加速度對(duì)地面最大加速度放大的倍數(shù)。四、地震影響系數(shù)　　為了簡(jiǎn)化計(jì)算，將上述地震系數(shù)和動(dòng)力系數(shù)的乘積用來表示，并稱為地震影響系數(shù)。　　　　　　　　　　　 　　　　?。?26）　　這樣，式（223）可以寫成 （227）　　因?yàn)?　 （228）　　所以，地震影響系數(shù)就是單質(zhì)點(diǎn)彈性體系在地震時(shí)最大反應(yīng)加速度（以重力加速度g為單位）。另一方面，若將式（227）寫成 ，則可以看出，地震影響系數(shù)乃是作用在質(zhì)點(diǎn)上的地震作用與結(jié)構(gòu)重力荷載代表值之比。　　《抗震規(guī)范》就是以地震影響系數(shù)作為抗震設(shè)計(jì)依據(jù)的，其數(shù)值應(yīng)根據(jù)烈度、場(chǎng)地類別、設(shè)計(jì)地震分組以及結(jié)構(gòu)自振周期和阻尼比確定?！　∵@時(shí)水平地震影響系數(shù)曲線按圖23確定，形狀參數(shù)和阻尼調(diào)整系數(shù)應(yīng)按教材規(guī)定調(diào)整。第三講 荷載與作用（二）167。26 多質(zhì)點(diǎn)彈性體系的地震反應(yīng)　　前面討論了單質(zhì)點(diǎn)彈性體系的地震反應(yīng)。在實(shí)際工程中，除有些結(jié)構(gòu)可以簡(jiǎn)化成單質(zhì)點(diǎn)體系外，很多工程結(jié)構(gòu)，像多層或高層工業(yè)與民用建筑等，則應(yīng)簡(jiǎn)化成多質(zhì)點(diǎn)體系來計(jì)算，這樣才能得出比較切合實(shí)際的結(jié)果。對(duì)于圖 2 4a 所示的多層框架結(jié)構(gòu)，應(yīng)按集中質(zhì)量法將和 之間的結(jié)構(gòu)重力荷載、樓面和屋面可變荷載集中于樓面和屋面標(biāo)高處。設(shè)它們的質(zhì)量為 ，并假設(shè)這些質(zhì)點(diǎn)由無重量的彈性直桿支承于地面上（圖 24b ）。這樣，就可以將多層框架結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化成多質(zhì)點(diǎn)彈性體系，一般來說，對(duì)于具有 n 層的框架，可簡(jiǎn)化成 n 個(gè)多質(zhì)點(diǎn)彈性體系。 一、多質(zhì)點(diǎn)彈性體系的自由振動(dòng)　　為了掌握多質(zhì)點(diǎn)彈性體系地震作用的計(jì)算，需要熟悉多質(zhì)點(diǎn)彈性體系自由振動(dòng)的一些基本內(nèi)容。為了敘述方便起見，我們首先討論兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)彈性體系的自由振動(dòng)，然后再推廣到 n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的情形?！　、?兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)體系的位移方程及其解答　　圖 25 表示兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)體系作自由振動(dòng)，分別為兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的集中質(zhì)量。設(shè)在振動(dòng)過程中某瞬時(shí)的位移分別為，則作用在和 上的慣性力分別為。設(shè)不考慮阻尼的影響，根據(jù)疊加原理，可寫出質(zhì)點(diǎn)和的位移表達(dá)式： 　　式中表示在點(diǎn)作用一個(gè)單位力而在點(diǎn)所引起的位移，它的大小反映結(jié)構(gòu)的柔軟程度，故稱它為柔度系數(shù)。在式 (229) 中，因?yàn)樽宰兞亢退鼈兊亩A導(dǎo)數(shù)在兩個(gè)方程中都出現(xiàn)，所以，它是一個(gè)微分方程組。現(xiàn)將式 (229) 寫成標(biāo)準(zhǔn)形式： 　　 　　這就表示兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)體系運(yùn)動(dòng)的微分方程組。它的每一項(xiàng)均表示位移，所以稱它為自由振動(dòng)位移方程。　　現(xiàn)求方程 (230) 的解。由于是質(zhì)點(diǎn)位置和時(shí)間 t 的函數(shù)，故可將它們表示為：　　 　　式中 分別為與質(zhì)點(diǎn) 1 和 2 位置有關(guān)的函數(shù)， 時(shí)間 t 的函數(shù)。　　對(duì)式（ 231 ）對(duì)時(shí)間求兩次導(dǎo)，得：　　將式 (231) 、 (232) 代入式 (230) 得：　　 　　把上式改寫成如下形式： 　　由上式不難看出，等號(hào)左右項(xiàng)分別是時(shí)間 t 和質(zhì)點(diǎn)位置的函數(shù)，故只有等號(hào)兩邊都等于某一常數(shù)時(shí)上式才能成立。我們用表示這一常數(shù)，于是得：　　 　　將式 (235) 代入式 (233) ，可得： 　　這是關(guān)于兩個(gè)未知數(shù)的齊次代數(shù)方程組。顯然，是一組解答。由式 (231) 可知，這一組零解表示體系處于靜止?fàn)顟B(tài)，而不發(fā)生振動(dòng)，這不是我們需要的解?，F(xiàn)在要求的應(yīng)該是 不同時(shí)為零時(shí)方程 (236) 的可用解，也就是說，要使方程（ 2 － 36 ）成立，應(yīng)是如下行列式為零，即 　　 　　將上面行列式展開，得： 　 　　在式 (237) 中，質(zhì)量、和柔度系數(shù)均為常數(shù)，只有是未知數(shù)，故上式是一個(gè)關(guān)于的二次代數(shù)方程，它的解為：　將上式平開方可得的兩個(gè)正實(shí)根。其中較小的一個(gè)以表示；另一個(gè)以 表示，將它們分別代入式 (235) ，得： 　 　　 　由單質(zhì)點(diǎn)無阻尼自由振動(dòng)可知，上兩式的解分別為： 　 　　 　將式 (2 41a ) 代入式 (231) ，可得質(zhì)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)于的振動(dòng)方程的特解：　　將式 (241b) 代入式 (231) ，可得質(zhì)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)于的振動(dòng)方程的特解： 　 　　 　由式 (242) 和 (243) 可知，質(zhì)點(diǎn)和 均作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，而為其振動(dòng)頻率。因此，將確定的方程 (237) 稱為頻率方程。由上可知，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的體系，共有兩個(gè)頻率，其中較小者稱為第一頻率或基本頻率，較大者稱為第二頻率。由頻率方程 (237) 知道，和的大小僅取決于體系的剛度和質(zhì)量的分布情況，而與引起自由振動(dòng)的初始條件無關(guān)。頻率 和 是體系所固有的，故又叫做固有頻率或自振頻率。 　 　現(xiàn)在我們分別討論當(dāng)固有頻率時(shí)，對(duì)應(yīng)的特解的一些性質(zhì)，最后引入主振型的概念：如前所述，對(duì)應(yīng)于的特解為： 　 　　 　將代入式 (236) ，得： 　 　 　當(dāng)體系振動(dòng)時(shí)，上式的系數(shù)行列式應(yīng)等于零?！　「鶕?jù)齊次線性方程組性質(zhì)可知，齊次方程組 (245) 中的兩個(gè)方程并不是彼此獨(dú)立的，其中一個(gè)方程可以從另一個(gè)方程用線性組合的方法得到。所以，兩個(gè)方程實(shí)際上只起到一個(gè)方程的作用。即未知數(shù)的數(shù)目比方程的數(shù)目多一個(gè)。這時(shí)方程式只能有不定解，即只能假定其中的一個(gè)未知數(shù)等于某一定值時(shí)，才能從方程 (245) 中任一個(gè)方程求出另一個(gè)未知數(shù)。也就是說，只能從方程 (245) 中求出和的比值來：　　顯然，這一比值與時(shí)間 t 無關(guān)。于是，由式 (244) 可見，體系在振動(dòng)過程中的任何時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)的位移的比值始終保持不變，且等于 　　同樣可以得到體系按振動(dòng)過程中，任何瞬時(shí)各質(zhì)點(diǎn)的位移比值 也始終保持不變，且等于　　綜上所述，對(duì)應(yīng)于頻率 和，微分方程組 (243) 的特解乃是對(duì)應(yīng)于這樣兩種振動(dòng)：前者各質(zhì)點(diǎn)按的比值作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而后者各質(zhì)點(diǎn)按的比值作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。因此，它們?cè)谡駝?dòng)過程中，各自振動(dòng)形式保持不變，而只改變其大小。我們將相應(yīng)于的振動(dòng)形式叫做第一主振型（簡(jiǎn)稱第一振型或基本振型），將相應(yīng)于的振動(dòng)形式叫做第二主振型（簡(jiǎn)稱第二振型）。在實(shí)際計(jì)算中，繪振型曲線時(shí)，常令某一質(zhì)點(diǎn)的位移等于 1 ，另一質(zhì)點(diǎn)的位移可根據(jù)相應(yīng)的比值確定。圖 26(a) 和圖 26(b) 分別為兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)體系的第一振型和第二振型的示意圖。對(duì)于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)體系而言，一般可求出兩個(gè)互相獨(dú)立的特解，故對(duì)應(yīng)地就有兩個(gè)主振型，它們也是體系所固有的一種特性。就每一個(gè)振型而言，只有在特定的初始條件下，振動(dòng)才會(huì)呈現(xiàn)這種形式。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的初始位移或初始速度的比值與某一主振型的值相同時(shí)，體系才會(huì)按該主振型振動(dòng)?！　≡谝话愠跏紬l件下，體系的振動(dòng)曲線，將包含全部振型。由微分方程理論知道，通解等于各特解的線性組合，即： 　　 　　由上式可見，在一般初始條件下，任一質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)都是由各主振型的簡(jiǎn)諧振動(dòng)疊加而成的復(fù)合振動(dòng)。顯然，如果初始條件接近某一振型時(shí)，則這個(gè)振型在組合中所占的分量就大。當(dāng)初始條件完全符合某一振型時(shí)，則其他振型分量就不會(huì)產(chǎn)生。但是這是很難實(shí)現(xiàn)的。㈡ 多質(zhì)點(diǎn)彈性體系自由振動(dòng)的位移方程及其解答　　與兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)體系的情形類似，對(duì)于n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的體系，線性微分方程組的通解可寫成： 　　　由式 (248) 可見，在一般初始條件下，任一質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)都是由各主振型的簡(jiǎn)諧振動(dòng)疊加而成的復(fù)合振動(dòng)。需要指出的是，試驗(yàn)結(jié)果表明，振型愈高，阻尼作用所造成的衰減愈快，所以通常高振型只在振動(dòng)初始才比較明顯，以后逐漸衰減。因此，在建筑抗震設(shè)計(jì)中，僅考慮較低的幾個(gè)振型的影響。㈢ 主振型的正交性　　對(duì)于多質(zhì)點(diǎn)彈性體系，它的不同的兩個(gè)主振型之間存在著一個(gè)重要特性，即主振型的正交性。在體系振動(dòng)計(jì)算中經(jīng)常要利用這個(gè)特性?！　榱吮阌谧C明主振型的正交性，而又不失一般性，仍采用兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)體系來分析。　　由式 (246) 可得： 　　 　　分別以乘以式 (2 49a ) 的第一和第二式，然后再相加；再分別以乘以式 (249b) 的第一和第二式，然后再相加。顯然，這樣所得到的兩個(gè)等式的右邊完全相等。所以，等式左邊也相等，即：　　上式就是兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)體系主振型的正交性，對(duì)于 n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的體系，主振型正交條件可寫成： 　　 　　式中分別為第 k 振型和第 j 振型 i 質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位移（圖27b 、 c ）。 　　由式 (252) 可見，所謂主振型的正交性，是指這樣一種性質(zhì)：即兩個(gè)不同的主振型的對(duì)應(yīng)位置上的質(zhì)點(diǎn)位移相乘，再乘以該質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，然后將各質(zhì)點(diǎn)所求出的上述乘積做代數(shù)和，其值等于零。二、多質(zhì)點(diǎn)彈性體系地震反應(yīng)　　 ㈠ 振動(dòng)微分方程的建立　　由動(dòng)力學(xué)原理，可以給出 多質(zhì)點(diǎn)彈性體系（圖 28 ）在地震作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程組 　　 　　㈡ 運(yùn)動(dòng)微分方程組的解　　為了便于解運(yùn)動(dòng)微分方程組，假定阻尼系數(shù)與質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量和剛度系數(shù)，有下列關(guān)系 　　 　　其中為兩個(gè)比例常數(shù)，其值可由試驗(yàn)確定。這時(shí)，作用在體系上的阻尼力可寫成　　因而，運(yùn)動(dòng)微分方程組 (253) 變成這樣，經(jīng)過變換，便將原來的運(yùn)動(dòng)微分方程組 (253) 分解成 n 個(gè)以廣義坐標(biāo)為變量的獨(dú)立微分方程了。它與單質(zhì)點(diǎn)體系在地震作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程 (27) 基本相同，所不同的只是方程 (27) 中的變成；變成 ；同時(shí)等號(hào)右邊多了一個(gè)系數(shù)。所以，式 (264) 的解可按照式 (27) 積分求得：　比較 (267) 和式 (216) 可見，相當(dāng)于阻尼比、自振頻率 的單質(zhì)點(diǎn)體系在地震作用下的位移（圖 29 ）。這個(gè)單質(zhì)點(diǎn)體系成為與振型ｊ相應(yīng)的振子。　求得各振型的廣義坐標(biāo)后，就可按式 (257) 求出原體系的位移反應(yīng)： 　　上式表明，多質(zhì)點(diǎn)彈性體系質(zhì)點(diǎn)的地震反應(yīng)等于各振型參與系數(shù)與該振型相應(yīng)振子的地震位移反應(yīng)的乘積，再乘以質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位移，然后再把它總和起來。這