fourier變換(編輯修改稿)
2025-08-22 07:34 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ?????? ??例 求函數(shù) 的 Fourier變換并求： 解 ： 20s i n s i n d.1t?? ? ??????1j 1( ) [ ( ) ] ( ) e d2tf t F F ?? ? ????????? ?F21 2 s i n s i n d21t?? ? ???????? ??202 s i n s i n d1t?? ? ????????20si n | |si n si nd 210 | |tttt??? ? ?????????? ?? ????所以有 例 2 求函數(shù) 的 Fourier變換及其積分表達(dá) 式，其中 A 0,β 0。這個(gè)函數(shù)叫做鐘形脈沖 函 數(shù)，也是工程技術(shù)中常碰到的一個(gè)函數(shù)。 2( ) e tf t A ???解 根據(jù) Fourier變換式，有 j2ts????如令 ，上式為一復(fù)變函數(shù)的積分，即 j( ) [ ( ) ] ( ) e dtF f t f t t?? ?? ????? ?F222j2j 4e e d e e dtttA t A t?? ???? ?????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ?????22j j2 2j2e d dtst e s? ??? ???????? ?? ????? ????? ?? ????積分路線如圖所示 : A B C D ?R R O 實(shí)軸 虛軸 由于 為復(fù)平面 s 上的解析函數(shù)，取圖所示的閉曲線 l ：矩形 ABCDA，按 Cauchy 積分定理，有 即 其中，當(dāng) 時(shí)，有 令 同理，當(dāng) 時(shí)，有 從而，當(dāng) 時(shí)，有 由此可知 即 因此，鐘形脈沖函數(shù)的 Fourier變換為 22 j24( ) [ ( ) ] e e dtF f t A A t?? ????????????? ?????? ?F24Ae?????? 下面求鐘形脈沖函數(shù)的積分表達(dá)式 , 根據(jù) Fourier積分變換式，并利用奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)，可得 由此還可得到一個(gè)含參量廣義積分的結(jié)果 ： 例 3 求函數(shù) 的正弦變換和余弦變換 . 解 根據(jù)正弦變換式， f (t ) 的正弦變換為 根據(jù)余弦變換式， f (t ) 的余弦變換為 可以發(fā)現(xiàn)，在半無限區(qū)間上的同一函數(shù) f (t ) ，其正弦變換和余弦的結(jié)果是不同的。 例 求函數(shù) 的正弦變換和余弦變換 . 解 根據(jù)正弦變換式， f (t ) 的正弦變換為 例 求函數(shù) 的正弦變換和余弦變換 . 解 根據(jù)余弦變換式， f (t ) 的余弦變換為 在物理和工程技術(shù)中 , 常常會碰到 單位脈沖函數(shù) . 因?yàn)橛性S多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì) , 如在電學(xué)中 , 要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢作用后產(chǎn)生的電流 。 在力學(xué)中 , 要研究機(jī)械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運(yùn)動情況等 . 研究此類問題就會產(chǎn)生我們要介紹的 單位脈沖函數(shù) . 在原來電流為零的電路中，某一瞬時(shí) (設(shè)為 t =0)進(jìn)入一單位電量的脈沖，現(xiàn)在要確定電路上的電流 i (t)。以 q (t)表示上述電路中到時(shí)刻 t 為此通過導(dǎo)體截面的電荷函數(shù) (即累積電量 )，則 2. 單位脈沖函數(shù)及其 Fourier變換 在原來電流為零的電路中 , 某一瞬時(shí) (設(shè)為 t=0)進(jìn)入一單位電量的脈沖 , 現(xiàn)在要確定電路上的電流 i(t). 以 q (t) 表示上述電路中的電荷函數(shù) , 則 由于電流強(qiáng)度是電荷函數(shù)對時(shí)間的變化率 , 即 所以 , 當(dāng) t?0時(shí) , i(t) =0, 由于 q(t) 是不連續(xù)的 , 從而在普通導(dǎo)數(shù)意義下 , q (t) 在這一點(diǎn)是不能求導(dǎo)數(shù)的 . 如果我們形式地計(jì)算這個(gè)導(dǎo)數(shù) , 則得 00( 0 ) ( 0 ) 1( 0 ) l im l imttq t qitt? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ????? ?? 這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個(gè)函數(shù)能夠表示這樣的電流強(qiáng)度 . 為了確定這樣的電流強(qiáng)度 , 引進(jìn)一稱為 Dirac函數(shù) , 簡單記成 d－函數(shù) 。有了這種函數(shù) , 對于許多集中于一點(diǎn)或一瞬時(shí)的量 , 例如點(diǎn)電荷 , 點(diǎn)熱源 , 集中于一點(diǎn)的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中的非常窄的脈沖等 , 就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣 , 以統(tǒng)一的方式加以解決 . d－函數(shù) 是一個(gè)廣義函數(shù)，它沒有普通意義下的
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