相似三角形的計(jì)算與證明(編輯修改稿)
2025-08-19 21:07 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 a n ??????ABBFB C D A E F 1 2 3 ∴ BF=3x,AB=4 x xBFABAF 522 ????∴ BC=5x,FC=BCBF=2x 433t a n ???FCEC?xFCEC 2343 ???xECFCEF 2522 ????∵ AF2+EF2=AE2 222 )510()25()5( ??? xx54?? x56416)(2 ???? xACAB∴ 該矩形的周長(zhǎng)為： cm564A B C D 1 (2022湖北鄂州 )如圖 ， Rt△ ABC中 ， ∠ BAC=90176。 ， AD⊥ BC于點(diǎn) D， 若 BD∶ CD=3∶ 2， 求 tanB的值 。 ∵ AD⊥ BC， ∠ BAC=90176。 ， 解： ∴∠ B+∠ BAD=90176。 ， ∠ BAD+ ∠ DAC=90176。 ， ∴ ∠ B=∠ DAC ∴ ∠ BDA= ∠ ADC= 90176。 ∴ △ BDA∽ △ ADC CDBDADADBDCDAD ???? 2, 既∵ BD∶ CD=3∶ 2 ∴ 設(shè) BD=3x,CD=2x ∴ AD2=6x2 xAD 6??36t a n ???BDADB1 如圖 ， 在 △ ABC中 ， AB=AC=5,BC=8,D是 邊 AB上一點(diǎn) ， 且 tan∠ BCD= . （ 1） 試求 sinB的值 ； （ 2） 試求 △ BCD的面積 . 21解 :(1) 作 AE⊥ BC交 BC于 E E ∵ AB=AC=5,BC=8 ∴ BE=CE=4 3BEABAE 22 ????53ABAEBs i n ???F (2)作 DF⊥ BC于 F 21CFDFBC Dt a n ????∴ 設(shè) DF=x,則 CF=2x,BF=82x ∵ AE⊥ BC, DF⊥ BC ∴ DF∥ AE ∴ △ BFD∽ △ BEA BEBFAEDF ??4x283x ???512x ??DFBC21S B C D ?????548512821SB C D ??????∴ 設(shè) DF=x,則 CF=2x,BF=82x F BEAEBFDFBt a n ???3BEABAE 22 ???43x28x ???512x ?? 1 (2022四川南充 )如圖 ， 正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 2 ， 過(guò)點(diǎn) A作 AE⊥ AC， AE=1， 連接 BE， 求 tan E的值 。 2F M N 作 EF⊥ BA交 BA的延長(zhǎng)線于 F 解： ∵ 正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為 2 2AE=1, AE⊥ AC ,22??? AFEF AM∥ EF ∴ △ BAM∽ △ BFE BFBAEFAM ??2252222??AM522?? AMF M N 522?? AM△ AMN∽ △ CBN BCAMNCAN ??5122522??∵ AC=4,AN+NC=4 32?? AN32t a n ???AEANE1 如圖 △ ABC中 ， D是 BC中點(diǎn) ， AD=AC, DE⊥ BC,垂足為 D， DE與 AB相交于點(diǎn) E， EC與 AD相交于點(diǎn) F. ① 求證 ：△ ABC∽ △ FCD。 ② 若 S△ FCD=5,BC=10,求 DE的長(zhǎng) 。 A B C D E F 1 2 證明： ① ∵ DB=DC,ED⊥ BC ∴ BE=EC ∴∠ B=∠ 2 又 ∵ AD=AC ∴∠ ACB=∠ 1 ∴ △ ABC∽ FCD ② 作 AG⊥ BC于 G G ∵ △ ABC∽ △ FCD 2A B CF C DBCCDSS )(????2A B C 105S5 )(???∴ S △ ABC=20 ∵ S △ ABC= BC AG=20 21∴ AG=4,DG=CG= 又 ∵ ED⊥ BC,AG⊥ BC ∴ ED∥ AG ∴ △ BDE∽ △ BGA 52554DEBGBDGADE., ????38DE ??1 (2022資陽(yáng) )如圖 1， 在梯形 ABCD中 ， 已知 AD∥ BC， ∠ B=90176。 ， AB=7， AD=9， BC=12， 在線段 BC上任取一點(diǎn) E， 連結(jié) DE， 作 EF⊥ DE， 交直線 AB于 點(diǎn) F． (1) 若點(diǎn) F與 B重合 ， 求 CE的長(zhǎng) ； (3分 ) (2) 若點(diǎn) F在線段 AB上 ， 且 AF=CE， 求 CE的長(zhǎng) ； (4分 ) (3) 設(shè) CE=x， BF=y， 寫出 y關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式 (直接寫出結(jié)果即可 )． (2分 ) 圖 1 圖 2（備用圖） 解 ：（ 1） 當(dāng) F與 B重合時(shí)，四邊形 AFEB是矩形 ∴ CE=BCBE=BCAD=3 (2) 作 DG⊥ BC于 G ∴ 四邊形 ABGD是矩形 ∴∠ B=∠ 1=900 1 2 3 4 ∴∠ 3+∠ 4=90176。 ∵ DE⊥ EF ∴∠ 2+∠ 3=90176。 ∴∠ 2=∠ 4 ∴ △ DGE∽ △ EBF BFGEEBDG ?設(shè) BF=m 則 AF=CE=7m,EG=4m BE=5+m,AB=DG=7 mm4m57 ????∴ m1=2, m2=10(不合題意，舍去） ∴ CE=5 )30(73671571 2 ???? xxx)123(73671571 2 ????? xxxy= ∴ △ DGE∽ △ EBF BFGEEBDG ?yxx???3127① yxx3127 ???② 1（ 2022安徽 ） 如圖 1， 在 △ ABC中， D、 E、 F 分別為三邊的中點(diǎn) ， G點(diǎn)在邊 AB上 ，△ BDG與四 邊形 ACDG的周長(zhǎng)相等 ， 設(shè) BC=a、 AC=b、 AB=c. （ 1） 求線段 BG的長(zhǎng) ； （ 2） 求證 ： DG平分 ∠ EDF。 （ 3） 連接 CG， 如圖 2， 若 △ BDG與 △ DFG相似 ， 求證 ： BG⊥ CG. （圖 1） （圖 2） 解： (1) ∵ D、 C、 F分別是 △ ABC三邊中點(diǎn) ∵ △ BDG與四邊形 ACDG周長(zhǎng)相等 ∴ BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG ∴ BG=AC+AG 又 ∵ BG+AG+AC=b+c 2cbBG ???(2) ∵ D、 C、 F分別是 △ ABC三邊中點(diǎn) 2cBF,2bDF ???2cbBG ???∴ DF+BF=BG=BF+FG ∴ DF=FG DE∥ AB 1 ∴∠ 1=∠ 3 ∵ DE∥ AB ∴∠ 2
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