第九節(jié)有理系數(shù)多項(xiàng)式(編輯修改稿)
2025-08-19 10:04 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ijiji bababababad例 設(shè) f(x)和 g(x)都是本原多項(xiàng)式，且 g(x)整除 f(x) ，證明： g(x) 除以 f(x)所得的 商 也是本原多項(xiàng)式 . 證 設(shè) f(x)=g(x)q(x) 上頁 下頁 返回 由于 f(x)和 g(x)都是本原多項(xiàng)式，故商 q(x)必為有理系數(shù)多項(xiàng)式，由此可得 f(x)=rg (x)q1(x)，其中 r 為有理數(shù)， q1(x)是本原多項(xiàng)式，由 Gauss引理知本原多項(xiàng)式的乘積 g (x)q1(x)仍然為本原多項(xiàng)式，從而只有 r =177。 1，于是商 q(x)= 177。 q1(x)為本原多項(xiàng)式 . 證畢 . 定理 11 如果一非零的整系數(shù)多項(xiàng)式能夠分解成兩個(gè)次數(shù)較低的有理系數(shù)多項(xiàng)式的乘積，那么它一定能分解成兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式乘積 . 上頁 下頁 返回 由此我們來證明 證明 : 設(shè)整系數(shù)多項(xiàng)式 f(x)有分解式 )).(())(()),(())(( xfxhxfxg ??????令 f(x)=af1(x)， g(x)=rg1(x)， h(x)=sh1(x) f(x)= g(x)h(x) 其中 g(x), h(x)是有理系數(shù)多項(xiàng)式，且 這里 f1(x)， g1(x)， h1(x)都是本原多項(xiàng)式， a是整數(shù)，r,s 是有理數(shù) . 于是 這就是說， rs是一整數(shù) . 因此，我們有 上頁 下頁 返回 令 af1(x)=rsg1(x)h1(x) 由定理 10， g1(x)h1(x) 是本原多項(xiàng)式，從而 令 rs=177。 a f(x)=(rsg1(x))h1(x) 這里 rsg1(x)與 h1(x)都是整系數(shù)多項(xiàng)式，且次數(shù) 都低于 f(x)的次數(shù) . 證畢 . 推論 設(shè) f(x),g(x)是整系數(shù)多項(xiàng)式，且 g(x)是本原的，如果 f(x)=g(x)h(x)，其中 h(x)是有理系數(shù)多項(xiàng)式，那么 h(x)一定是整系數(shù)的 . 上頁 下頁 返回 由定理的證明容易得出 （這個(gè) 推論 的證明當(dāng)作練習(xí)自
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