【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 iX X X X Xnn?? ? ? ? ? ?ni XXXX ，，， ??21nX假設(shè)對(duì)某一物理量進(jìn)行了 次等精度測(cè)量 ， 其測(cè)量 值分別為 ， 則 的算術(shù)平均值 因真值不可知 ， 故將測(cè)量值的算術(shù)平均值作為測(cè)得值 的最佳估計(jì)值 。 2022/8/15 錦州師范高等專(zhuān)科學(xué)校物理系 設(shè)每一次測(cè)量值與算術(shù)平均值的差值為 1 1 2 2 nnX X = X X = X X =? ? ?? ? ?? ? ?， ， ， ，在普通物理實(shí)驗(yàn)中，通常采用算術(shù)平均誤差作為絕對(duì)誤差范圍 121 ()nX n ? ? ?? ? ? ? ?X X??X??它表示對(duì)物理量 做任意一次測(cè)量，測(cè)量誤差出現(xiàn)在 到 之間的概率為 58％ 相對(duì)誤差 ： 100%r XE X???2022/8/15 錦州師范高等專(zhuān)科學(xué)校物理系 三、測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差和標(biāo)準(zhǔn)偏差 當(dāng)測(cè)量次數(shù) 無(wú)限多時(shí)，各測(cè)量值 的誤差 平方平均值的平方根，稱(chēng)作 標(biāo)準(zhǔn)誤差 ， 用 表示，即 iiXX ?? ? ?iXn?222 2 21 2 1 1()....nniin i iXXn n n? ?????? ? ? ? ? ?? ? ???標(biāo)準(zhǔn)偏差 ： X?22 2 221 2 111 ()1 1 1ni nniXiidd d dXXn n n? ????? ? ? ?? ? ???XXd ii ??2022/8/15 錦州師范高等專(zhuān)科學(xué)校物理系 標(biāo)準(zhǔn)偏差的物理意義 多次測(cè)量的隨機(jī)誤差遵從正態(tài)分布，那么任意一次測(cè)量，測(cè)量 值誤差落在 到 之間的可能性為 ％，或者說(shuō)，對(duì)某 一次測(cè)量結(jié)果，真值在區(qū)間 內(nèi)到 的概率為 ％。 X?? X??XX ??XX ??O x % )(XfXXX ?? XX ??XX ?2?% XX ?2? XX ?3?XX ?3?% 3?% 極限 誤差 2022/8/15 錦州師范高等專(zhuān)科學(xué)校物理系 四、平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差 經(jīng)理論推導(dǎo)測(cè)量值算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差 為： X?21()( 1 )nii XXXXnn n?? ??????n 1 nXX ??平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差是 次測(cè)量中任一次測(cè)量值標(biāo)準(zhǔn)誤差的 倍。 其物理意義是，在多次測(cè)量的隨機(jī)誤差遵從正態(tài)分布的條件下，對(duì)多 次測(cè)量結(jié)果，真值在區(qū)間 內(nèi)的概率為 ％。 2022/8/15 錦州師范高等專(zhuān)科學(xué)校物理系 例 1 用 型電位差計(jì)測(cè)量某一電阻的端電壓 6次，測(cè)量數(shù)據(jù)列入下表，試表達(dá)測(cè)量結(jié)果。 31UJ?次數(shù) 1 2 3 4 5 6 (電壓 ) 6111 ( 1 5 . 5 2 6 1 5 . 5 2 9 1 5 . 5 3 0 1 5 . 5 2 8 1 5 . 5 2 7 1 5 . 5 2 8 ) 1 5 . 5 2 866 iiVV ?? ? ? ? ? ? ? ??解：其算術(shù)平均值為 1234561 5 . 5 2 6 1 5 . 5 2 8 0 . 0 0 2 1 5 . 5 2 9 1 5 . 5 2 8 0 . 0 0 11 5 . 5 3 0 1 5 . 5 2 8 0 . 0 0 2 1 5 . 5 2 8 1 5 . 5 2 8 0 . 0 0 01 5 . 5 2 7 1 5 . 5 2 8 0 . 0 0 1 1 5 . 5 2 8 1 5 . 5 2 8 0 . 0 0 0dd? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?；；；平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差為： 2 2 2 2 2 2 2 6 41 () ( 2 1 2 0 1 0 ) 1 0 5 .1 6 1 0( 1 ) 6 ( 6 1 )niiVVVnn?? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ????1 5 . 5 2 8 0 . 0 0 1VVV ?? ? ? ? 0 . 0 0 11 0 0 % 1 0 0 % 0 . 0 0 6 %1 5 . 5 2 8VrE V?? ? ? ? ?2022/8/15 錦州師范高等專(zhuān)科學(xué)校物理系 第三節(jié) 間接測(cè)量誤差的估算方法 誤差傳遞： 直接測(cè)量所得的結(jié)果都是有誤差的，顯然由直接測(cè)量值經(jīng)過(guò)運(yùn)算而得到的間接測(cè)量值也有誤差。由直接測(cè)量值的誤差估算間接測(cè)量誤差的方法叫做誤差傳遞。 設(shè)： ),(21 nXXXfN ??nXXX ??? ?, 21N N? 若各直接測(cè)量值的絕對(duì)誤差分別為 ，則間接測(cè)量值 的絕對(duì)誤差為 ，其計(jì)算方法如下： 將上式求全微分，得 nn dXXfdXXfdXXfdXXfdN ????????????? ?332211nn XXfXXfXXfXXfN ?????????????????? ?332211),( 321 nXXXXfNNNE?????2022/8/15 錦州師范高等專(zhuān)科學(xué)校物理系 常用運(yùn)算關(guān)系的標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式 21 XXN ??2221 XXN ??? ??21 XXN ??2221 XXN ??? ??21 XXN ??2221)()( 21 XXN XXN ??? ??21XXN?2221)()( 21 XXN XXN ??? ??nXN?XnN XN ?? ??n XN? XnN XN ?? ?? 1XN X ?? c o s?XN X ?? s in?XlnN?XXN ?? ?sinXN ?XcosN ?運(yùn)算關(guān)系 標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式 2022/8/15 錦州師范高等專(zhuān)科學(xué)校物理系 標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式 1 2 32 2 2 21 2 3( ) ( ) ( ) ( )nN X X X Xnf f f fX X X X? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?若各直接測(cè)量值的絕對(duì)誤差分別為標(biāo)準(zhǔn)誤差 則間接測(cè)量值的誤差估算需要用誤差的方根合成，即 絕對(duì)誤差 相對(duì)誤差 ),( 321 nNNr XXXXfNE ??? ??2022/8/15 錦州師范高等專(zhuān)科學(xué)校物理系 例 2 某一長(zhǎng)度， ，其中， ； ； 試計(jì)算其結(jié)果及誤差。 4321 XXXXL ???? mm..X 05000501 ??mm..X 0500542 ?? mm..X 05063123 ?? mm..X 005001314 ?? 解： mm.....L 3234)003163120540050( ?????mmmmL 0 2222 ??????mmLLL )( ???? ?%%1 0 ???? LE Lr ?2022/8/15 錦州師范高等專(zhuān)科學(xué)校物理系 例 3： 用螺旋測(cè)微器分別測(cè)量某圓柱體不同部位的直徑 和不同部位的高 各 8次，得到下列數(shù)據(jù)，表示出結(jié)果。 d h/nd/cmcmh/(次數(shù) ) 1 2 3 4 5 6 7 8 平均值 (直 徑 ) (高 ) cmcmdcmcmdcmcmdcmcmdcmcmdcmcmdcmcmdcmcmd0 0 0 4 8 4 8 0 0 4 8 4 9 0 0 0 4 8 4 8 0 0 4 8 4 7 0 0 0 4 8 4 8 0 1 4 8 4 7 0 0 0 4 8 4 9 0 1 4 8 4 9 87654321????????????????????????????????，，解：各測(cè)量值偏差的絕對(duì)值分別為 2022/8/15 錦州師范高等專(zhuān)科學(xué)校物理系 18 22222222?????????1)(12?????nddniid?同理可以求出 cmh ??圓柱體的體積 ?