模n的剩余類環(huán)的子環(huán)(編輯修改稿)
2024-07-25 20:27 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 設(shè)是一個(gè)模的剩余類環(huán)，考察中的乘法群（當(dāng)為素?cái)?shù)，中非零元作成乘法群。當(dāng)為合數(shù)則有中可逆的元作成乘法群），我們首先定義如下.定義：群中適合=的元素稱為環(huán)的一個(gè)冪等元由定義可知群中的單位元是的一個(gè)冪等元，且顯然有反之，若是環(huán)的一個(gè)冪等元，則必是的一個(gè)乘法群的單位元。例如是一元群的單位元.在一個(gè)低階的模的剩余類環(huán)，例如中，不難通過測(cè)試的方法確定其冪等元；一般地，在模的剩余類環(huán)中則可如下考慮.設(shè)施環(huán)中的一個(gè)冪等元，那么，我們有 （1） 因而 （2）即和是互素的、相鄰的整數(shù)；且若為整數(shù)，有，若為合數(shù)，不妨設(shè)n=，不考慮的冪等元（即e既非環(huán)的零元也非單位元），或?qū)⒎謩e是的因子的倍數(shù)；此時(shí)可考慮取該因子的倍數(shù)判斷是否為環(huán)的冪等元.例如，設(shè)，于是在中若是取，則首先我們有9（91）0或者即是中的一個(gè)冪等元；其次，由于9和（91）=8互素，故在上式兩端分別加上，則可推算出并得到適合（2）式得兩個(gè)相鄰整數(shù)64和63，于是由，又可得到中的另一個(gè)冪等元10.對(duì)于上述中的兩個(gè)冪等元9和10，容易看出它們還具有如下有趣的性質(zhì)：10+91（），1090() 因而，我們有如下 命題：設(shè)R是一個(gè)有單位元的環(huán)，是的非零非單位元的冪等元，則也是的冪等元，且具有性質(zhì)：.證明 事實(shí)上，由是的一個(gè)冪等元；又，.于是命題得證.運(yùn)用該命題，我們已經(jīng)可以容易地從中的一個(gè)非零非單位元冪等元求出另一個(gè)冪等元例：已知=13是的一個(gè)冪等元,則由F=1e=113=12=14(mod n)故=14也是的一個(gè)冪等元由命題，我們還可以得出關(guān)于中的冪等元與元素之間另一關(guān)系的如下結(jié)果：設(shè)n=,且冪等元是或其倍數(shù)，則中每一個(gè)元素均可表為中冪等元和的唯一組合： （**）其中冪等元的系數(shù),而冪等元的系數(shù),例如：在上述中，=26=132,冪等元為13；任取=17,則由（**）有 其中，而. 以上討論了模的剩余類環(huán)中冪等元的存在和求法，那么，對(duì)于給定的一個(gè)整數(shù)，可以是哪一個(gè)模的剩余類環(huán)的冪等元呢？若要為的冪等元，則應(yīng)有：于是對(duì)于給定的一個(gè)整數(shù)，取定一個(gè)的因子,便可在模的最小非負(fù)剩余系中確定以為冪等元的包含于的群，為此，對(duì)于,令 （4）則 (1)Zn中以，冪等元為單位元的乘法群；(2)，令：,則是一個(gè)滿足要求的、由R的可逆元作成、包含冪等元的乘法群.例： 設(shè)=25，則n是的一個(gè)因子，不妨設(shè)=30，則顯然有，而由（4）式得：不難判斷R中關(guān)于單位元=25的可逆元為5,25，因此為所求中包含冪等元=25的乘法群.至此，上述對(duì)于模n
法律信息相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1