【文章內(nèi)容簡介】 （26）將式（22）代入式（26）得Vac ==Z（VNB）不考慮交易成本，當轉(zhuǎn)換發(fā)生時，根據(jù)無套利假設(shè)?？赊D(zhuǎn)換債券的轉(zhuǎn)換價值等于其市場價格，因而其轉(zhuǎn)換價格C為C= （27）由式（27）得（M+ q I）C= q（VNB）C= q （28）將式（23）代入式（28）C=q=Z（VNB）= Vac即可轉(zhuǎn)換債券在轉(zhuǎn)換時點t0前后的價值是相容的。下面的討論中我們可以用轉(zhuǎn)換時點t0后的轉(zhuǎn)換價值來討論可轉(zhuǎn)換債券的定價 [7] 。我們將用無套利方法來討論可轉(zhuǎn)換債券條款對轉(zhuǎn)換價值的影響。(1)轉(zhuǎn)換策略：對于可轉(zhuǎn)換債券持有人，在轉(zhuǎn)換期如果轉(zhuǎn)換的市場價格低于轉(zhuǎn)換價值，可轉(zhuǎn)換債券持有人就會行使轉(zhuǎn)換權(quán)。因此，在轉(zhuǎn)換發(fā)生前有:C≤qSac =Z（VNB）另外，如果在轉(zhuǎn)換期可轉(zhuǎn)換債券的市場價格C高于轉(zhuǎn)換價值，可轉(zhuǎn)換債券持有人就不會行使轉(zhuǎn)換權(quán) [8] 。否則，他會招致?lián)p失。因此，在轉(zhuǎn)換發(fā)生前最優(yōu)的轉(zhuǎn)換策略滿足的條件是可轉(zhuǎn)換債券的市場價格C等于轉(zhuǎn)換價值:C= Z（VNB） （29）注意到式（29）中普通債券的價值與公司的價值都依賴于可轉(zhuǎn)換債券的價值，而可轉(zhuǎn)換債券的價值又依賴于最優(yōu)的轉(zhuǎn)換策略 [9] 。(2)贖回策略:在討論最優(yōu)的贖回策略前，我們先假定公司的目標是股東價值最大化。表現(xiàn)為股票價格SS= 如果給定公司價值V和普通債券價格B，那么股東價值最化就意味著可轉(zhuǎn)換債券價值最小化。因此，贖回條款的設(shè)計就是為了保護公司原有股東的利益。由于贖回限制，可轉(zhuǎn)換債券的市場價格在轉(zhuǎn)換前不可能持續(xù)高于贖回價格CP，即C≤CP （210）當然，式（210）并不能定義最優(yōu)贖回策略，最低的贖回價格CP與公司、公司債券價值、可轉(zhuǎn)換債券的價值必須同時確定 [10] 。可轉(zhuǎn)換債券屬于金融衍生產(chǎn)品的一種,盡客其定價比一般金融衍生產(chǎn)品復雜得多,但其定價思想仍源于衍生產(chǎn)品定價。衍生產(chǎn)品定價的精髓在于確定購買雙方都認可的、公正的衍生證券價格，即衍生證券的公允價格，也即理論價格 [11] 。下面我們對衍生證券的三種方法分別控討。為了能使我們有足夠的信息解決問題，我們必須做出一些假設(shè)：股票在到期日的價格只能是特定價格中的一個。該假設(shè)對下面的方法都適用[12]。讓V=期權(quán)的價格,S=股票價格。我們可以構(gòu)造如下資產(chǎn)組合：我們買入a股期權(quán)和b股股票。[8]讓∏0=在時間t0時資產(chǎn)組合的價值 ∏0=aV+bS接著我們將為在t1時資產(chǎn)組合定價。根據(jù)我們的假設(shè)，在時間t1時會有兩種可能的狀態(tài)，我們分別考慮。例：我們有一股票，現(xiàn)價為100美元，在一年以后，股價可以為90美元或120美元，概率并未給定。即期利率是5%（1美元今天投資，），一年之后到期執(zhí)行價為105美元的股票期權(quán)的公平價格是多少？上升狀態(tài)：S=120美元，∏1=（120105）a+120b下降狀態(tài)：S=90美元，∏1=0a+90b我們采用一個技巧，使得∏1并一取決于漲跌結(jié)果，即 （120105）a+120b=0a+90b得出 15a=30b，我們選擇a=2，b=1。那么 ∏0=2V+100 ∏1=152+1201=90我們可以拿資金∏0以5%的無風險利率進行投資。所以該項投資的價值應(yīng)該和股票期權(quán)交易的價值∏1相等。也即 ∏0=∏1 (1002V)=90 V=我們可以證明,如果期權(quán)的價格偏離理論價格一定幅度,投資者或套利者可以利用這個機會通過大量買賣期權(quán)和股票賺取無風險利潤。這些行為會影響價格。這樣，套利者將會驅(qū)使價格回到均衡位置 [13] 。也就是說，市場反映非?？欤覀兛梢哉J為任何套利的機會已經(jīng)被利用了，以至再沒有套利的機會。博弈論方法一般公式：我們現(xiàn)在需要重復先前的推導，以得到衍生產(chǎn)品定價的一般表達式。我們假設(shè)我們的股票在時間τ具有兩個價格 [14] 。如果股票處于上漲的狀態(tài)Su，那么衍生產(chǎn)品的價格為U；如果股票處于下跌的狀態(tài)Sd，那么衍生產(chǎn)品的價格為D（如果31）Su US0 V0Sd D 股價二叉樹 衍生產(chǎn)品價格 圖31 股價和衍生產(chǎn)品二叉樹我們通過買入1股衍生產(chǎn)品和賣出a股股票構(gòu)造資產(chǎn)組合。資產(chǎn)組合的初始價值是： ∏0= V0a S0我們可以選擇a的值使得資產(chǎn)組合的價值與股票的最終狀態(tài)無關(guān)。 上升時 ∏u=Ua Su 下降時 ∏d=Da Sd如果令 Ua Su=Da Sd那么我們可以得到： a==比率ΔV/ΔS在期權(quán)和衍生產(chǎn)品定價中起到至關(guān)重要的作用 [15] 。我們把a代入計算： 資產(chǎn)組合的初始成本= V0a S0 資產(chǎn)組合的最終價值= Ua Su因為該資產(chǎn)組合投資沒有風險，并且無風險回報率是r ,我們一定有： V0a S0= erτ（Ua Su)解該方程，得到衍生產(chǎn)品的定價公式： V0= a S0+erτ（Ua Su) （31）與前面的介紹一樣，我們設(shè)股票在時間t=0的價格為S0,該股票在時間t=τ有兩個可能的價格（見圖32）[16] 。Su U S0 V0Sd D 股價二叉樹 衍生產(chǎn)品價格圖32 股價和衍生產(chǎn)品二叉樹我們可以通過采用一個資產(chǎn)組合復制的巧妙策略，得到有關(guān)衍生產(chǎn)品的價格。我們需要另外引入一個無風險資產(chǎn)假設(shè)無風險資產(chǎn)的利率由r表示，我們可以以這個利率在市場上進行短期借貸。再設(shè)我們的資產(chǎn)組合∏，包含了a單位的股票和b單位的債券。資產(chǎn)組合在時間t=0的價值∏0就是： ∏0= a S0+b讓我們計算時間t=τ時∏的價值。我們的股票模型給出資產(chǎn)組合的兩個未來價值。 上升狀態(tài)： ∏τ=a Su+berτ （32） 下降狀態(tài)： ∏τ=a Sd+berτ我們再令 a Su+berτ=U a Sd+berτ=D因此，我們資產(chǎn)組合的價值∏和衍生證券的價值一致 [17] 。該資產(chǎn)組合復制了衍生證券V。因為該資產(chǎn)組合和衍生證券在時間t=τ有相同的價值，它們今天應(yīng)該有相同的價值。畢竟，它們在未來的時間里價格是沒有差異的。我們得出結(jié)論： V0= a S0+b只要用公式（32）解出a和b，V0的表達式就會有一個顯性的形式。a和b可以用如下兩個線性方程加以表達： a= b=（USu）erτ盡管這些表達式看上去很復雜。它們在計算資產(chǎn)組合的價值時是比較簡單的。結(jié)合上面三個表達式，我們可以得到： V0= a S0+（U a Su）erτ它就是前面的定價公式（31）我們特別需要關(guān)注的是V0的表在式（就是a S0+b） V0=S0+ （USu）erτ [18]如果將U項和D項分開，得到：V0=U(+ erτ +erτ)+D(+erτ)= e rτU()+e –rτD()這里有一些值有特定的含義。忽略指數(shù)項，U的系數(shù)是： q=D的系數(shù)是： =1q所以我們資產(chǎn)組合的價值簡化為 V0= erτ[qU+（1q）D] [19] BlackScholes期權(quán)定價公式以“布萊克一斯科爾斯模型”為核心的現(xiàn)代期權(quán)理論經(jīng)過莫頓的發(fā)展，已經(jīng)為評估衍生品價值提供了堅實的理論和有效的方法，并成為財務(wù)學和投資學最為重要的理論之一。布萊克和休斯在一系列嚴格的假設(shè)條件下，通過嚴密的數(shù)學推導和論證，提出了后來被廣泛稱為“布萊克一斯科爾斯期權(quán)定價模型”的全新的期權(quán)定價模型 [20] 。 假設(shè)條件（1）短期無風險利率為一穩(wěn)定常數(shù)；（2）期權(quán)所依附標的物的價格呈隨機走勢連續(xù)不斷變動，服從幾何或?qū)Σ祭蔬\動，且其方差的變動率與標的物價格本身的平方成一定比例，即其方差具有一定的穩(wěn)定性；（3）期權(quán)所依附的標的物不派發(fā)股息及其他類似收益；（4）期權(quán)是歐洲式期權(quán)，亦即期權(quán)只能在到期日才能執(zhí)行；（5）沒有交易成本和稅收，投資者可以按照短期利率進行任何數(shù)量的借貸，且所有的標的物都高度可分，允許賣空行為存在 [21] 。 BlackScholes看漲期權(quán)定價公式 V= S0N(d1) Xe rτN(d2) X=執(zhí)行價 τ=到期時間 σ=股價波動率（常數(shù)） μ=股價漂移率（常數(shù)） r=無風險利率 （常數(shù)） S0=股票現(xiàn)價N(x)表示標準正態(tài)分布函數(shù)，即： N(x)=P[Z≤x] d1= d2= d1σ在此應(yīng)當說明兩點：第一該模型中無風險利率必須是連續(xù)復利形式。一個簡單的或不連續(xù)的無風險利率(設(shè)為r0)一般是一年復利一次，而r要求利率連續(xù)復利。r0必須轉(zhuǎn)化為r方能代入上式計算。兩者換算關(guān)系為：r=1n(1十r0)。第二，期權(quán)有效期τ的相對數(shù)表示，即期權(quán)有效天數(shù)與一年365天的比值。如果期權(quán)有效期為100天，則τ=100/365= 。 BlackScholes看跌期權(quán)定價公式假設(shè)我們賣空一份帶拋補的看漲期權(quán)，也就是說，以S的價格買入一股股票，同時由于擔心股價下跌，以C的價格賣出一份看漲期權(quán)。由于股價有可能下跌，所以以買了一份價格為P，到期時間和執(zhí)行價與看漲期權(quán)相同的看跌期權(quán) [22] 。那么： 今天頭寸的成本=S+PC如果ST≥X，則到期收益為X。看跌期權(quán)價值為0，我們以X的價格將股票賣給看漲期權(quán)的購買者；如果STX，則到期收益為X。看漲期權(quán)價值為0，我們以X的價格將股票賣給看跌期權(quán)的出售者。因此，無論股票價格如何，到期收益均相同。另外，根據(jù)無套利均衡條件，應(yīng)該： (S+PC) e rτ=X即： P=CS+ e rτX將看漲期權(quán)定價公式C= S0N(d1) Xe rτN(d2)代入得： P= S0N(d1) Xe rτN(d2) S0+ e rτX = S0 [N(d1)1]+ e rτX[1 N(d2)] = S0N(d1) + e rτX N(d2)這就是歐式看跌期權(quán)的BlankScholes價格 [23] ?？赊D(zhuǎn)換債券具有債券性，它有一定的面額，明確規(guī)定還本付息期限及利率水平，若在轉(zhuǎn)換期內(nèi)未轉(zhuǎn)換成股票，則可轉(zhuǎn)債發(fā)行公司到期必須無條件地還本付息。因此可轉(zhuǎn)換債券的定價原則首先服從于普通債券的定價原則。4．1 債券定價中須考慮的原則（1）債券的價格與債券的收益率成反比例關(guān)系。換句話說，當債券價格上升時，債券的收益率下降；反之，當債券價格下降時，債券的收益率上升。（2）當債券的收益率不變，即債券的息票率與收益率之間的差額固定不變時，債券的到期時間與債券價格的波動幅度之間成正比關(guān)系。換言之，到期時間越長，價格波動幅度越大；反之，到期時間越短，價格波動幅度越小。這不僅適用于不同債券之間的價格波動的比較，而且可以解釋同一債券的期滿時間的長短與其價格波動之間的關(guān)系。（3）隨著債券到期時間的臨近，債券價格的波動幅度減少，并且是以遞增的速度減少；反之，到期時間越長，債券價格波動幅度增加，并且是以遞減的速度增加。這個定理同樣適用于不同債券之間的價格波動的比較，以及同一債券的價格波動與其到期時間的關(guān)系。（4）對于期限既定的債券，由收益率下降導致的債券價格上升的幅度大于同等幅度的收益率上升導致的債券價格下降的幅度。換言之，對于同等幅度的收益率變動