【文章內(nèi)容簡介】 參數(shù)的估計量，如果對任意都有, 則稱是的相合估計量（或一致估計量）。，無論總體X服從什么分布，只要其階原點矩 存在，則對任意 都有，所以樣本的階原點矩始終是總體階原點矩的相合估計。 進一步地, 可以證明：只要相應(yīng)的總體矩存在，矩估計必定是相合估計。特別地， 總是 的相合估計, 樣本方差 和樣本的二階中心矩都是總體方差 的相合估計和又都是的相合估計。由相合性定義可以看出，若是的相合估計，當(dāng)樣本容量很大時，一次抽樣得到的值便可作為的較好近似值[14]。3 現(xiàn)代譜估計由上一章討論可知，經(jīng)典功率譜估計方法的方差性較差，分辨率較低。方差性能差的原因是無法實現(xiàn)功率譜密度原始定義中的求均值和求極限的運算。分辨率低的原因，對周期圖法是假定了數(shù)據(jù)窗以外的數(shù)據(jù)全為零，對自相關(guān)法是假定了在延遲窗以外的自相關(guān)函數(shù)全為零。當(dāng)然，這種假定是不符合實際的，正是由于這些不符合實際的假定產(chǎn)生了經(jīng)典譜估計較差的分辨率。在第一章已經(jīng)簡潔的介紹了現(xiàn)代譜估計的基本方法，這些方法技術(shù)的目標(biāo)在于努力改善譜估計的分辨率。參數(shù)模型法是現(xiàn)代譜估計的主要內(nèi)容，也是本章討論的重點，參數(shù)模型法的思路如下：（1）假定所研究的過程是由一個輸入序列激勵一個線性系統(tǒng)的輸出。（2）由已知的，或其自相關(guān)函數(shù)來估計的參數(shù)。（3）由的參數(shù)來估計的功率譜。是一個因果的線性移不變離散時間系統(tǒng)，當(dāng)然，它應(yīng)該是穩(wěn)定的，其單位抽樣響應(yīng)是確定的。輸出序列可以是平穩(wěn)的隨機序列，也可以是確定性的時間序列。若是確定性的，那么是一個沖激序列，若是隨機序列，那么應(yīng)是一個白噪聲序列。工程實際中所遇到的功率譜大體分為三種，一種是“平滑”，即白噪聲的譜，另一種是“線譜”，這是由一個或多個純正弦信號所組成的信號的功率譜，這兩種是極端的情況；介于二者之間的是既有峰值又有谷值，這種譜稱為ARMA譜。顯然，由于ARMA模型是一個零極點模型，它易于反映功率譜中的峰值和谷值。不難想象，AR模型易于反映譜中的峰值，而MA模型易于反映譜中的谷值。AR,MA和ARMA是功率譜估計中最主要的參數(shù)模型。本章將會詳細的討論AR模型參數(shù)的計算、譜的性能及其他算法（如線性預(yù)測、最大熵譜估計等）的關(guān)系，最后簡要給出MA模型及ARMA模型譜估計算法[23]。 AR模型的正則方程與參數(shù)計算 正則方程的求導(dǎo)參數(shù)模型法功率譜估計的主要思想是：將廣義平穩(wěn)的過程表示成一個輸入序列激勵線性系統(tǒng)的輸出；由已知的或其自相關(guān)函數(shù)來估計的參數(shù)；由的參數(shù)估計的功率譜。AR模型又稱為自回歸模型，它是一個全極點模型，其當(dāng)前輸出是現(xiàn)在輸入和過去輸入的加權(quán)和，表示如下(其中為白噪聲序列；p為AR模型的階數(shù)): (41) (42)由隨機信號通過線性系統(tǒng)理論知輸出序列的功率譜 (43)其中為白噪聲序列的方差，因此進行功率譜估計，必需求得AR模型的參數(shù)(k=l，2…p)及。假定、都是平穩(wěn)的隨機信號，為白噪聲，方差為，現(xiàn)在，我們希望建立AR模型的參數(shù)和的自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系，也即AR模型的正則方程[24]。將方程（41）兩邊同乘以，并求得均值，最后得到 (44)又因為 (45)由Z變換的定義，在（42）式中，當(dāng)時，有，綜合（44）和（45）兩式，有 (46)在上面的推導(dǎo)中，應(yīng)用了自相關(guān)函數(shù)的偶對稱性。上式寫成矩陣形式，即上述兩式即是AR模型的正則方程，又稱YuleWalker方程[25]。 AR模型參數(shù)求解的典型算法用線性方程組的常用解法(例如高斯消元法)解Yule—Walker方程，需要的運算量數(shù)量級為，但若利用系數(shù)矩陣的對稱性和Toeplitz性質(zhì)，則可構(gòu)成一些高效算法，Levinson—Durbin算法是其中最著名、應(yīng)用最廣泛的一種，這種算法的運算量數(shù)量級為。這是一種按階次進行遞推的算法，即首先以和模型參數(shù)作為初始條件，計算模型參數(shù)；然后根據(jù)這些參數(shù)計算模型參數(shù)等，一直到計算出模型參數(shù)為止，當(dāng)整個迭代計算結(jié)束后，不僅求得了所需要的P階AR模型參數(shù)，而且還得到了所有各低階模型的參數(shù)。根據(jù)線性預(yù)測理論知：一個P階AR模型的個參數(shù)同樣可用來構(gòu)成P階的最佳線性預(yù)測器，其預(yù)測的最小均方誤差等于AR模型激勵白噪聲的能量，即AR模型是在最小方差意義上對數(shù)據(jù)的擬合。“前向預(yù)測”是利用n之前的P個值對性預(yù)測，如公式(48)、(49)、(410)所示；與之對應(yīng)的“后向預(yù)測”公式為(411)、(412)、(413)，其中為為預(yù)測誤差，P預(yù)測誤差功率，f表示前向預(yù)測，b表示后向預(yù)測。模型參數(shù)算法就是基于上述最小均方誤差時由模型參數(shù)估計信號功率的方法，主要有以下幾種經(jīng)典算法：自相關(guān)法(BT法)。用自相關(guān)法進行功率譜估計，但估計時令前向預(yù)測誤差功率最小，即對前后都加窗構(gòu)成，Wiener—Hopf方程系數(shù)為Toepli tz矩陣，使用Levinson—Durbin算法可方便快速的求解AR系數(shù)。因此自相關(guān)法也是已知所有AR系數(shù)求解方法中簡單的一種，但譜分辨率相對較差[26]。Burg算法。用Burg算法進行功率譜估計時令前后向預(yù)測誤差功率之和最小，即對、前后都不加窗，使用Levinson—Durbin遞推可快速的求解AR系數(shù)。Burg算法是建立在數(shù)據(jù)基礎(chǔ)之上的，避免了先計算自相關(guān)函數(shù)從而提高計算速度；是較知為通用的方法，計算不太復(fù)雜，且分辨率優(yōu)于自相關(guān)個法，但對于白噪聲加正弦信號有時會出現(xiàn)譜線分裂現(xiàn)象。計算步驟如下：①由初始條件 ，再由式 (47)求出；②由 得時的參數(shù),③求出 和，再由估計；④依照Levinson遞推關(guān)系，求時的參數(shù) 及；⑤重復(fù)上述過程，直到，求出所有階次時的AR參數(shù)。 (1) 改進協(xié)方差算法。同Burg算法一樣，改進協(xié)方差算法進行功率譜估計時令前后向預(yù)測誤差功率之和最小，即對、前后都不加窗，但得到的協(xié)方差矩陣不是Toeplitz矩陣，因此正則方程不能用Levinson遞推算法求解。Marple于1980年提出實現(xiàn)協(xié)方差方程求解的快速算法，大大提高了譜估計的性能[27]。 MA模型譜估計給出模型的三個方程 由（41）得 將上式兩邊同乘以，并求均值，得 （48）式中。因為 (49)對模型，由式(2) 式得 。 所以，可以求出模型的正則方程，即有 (410)的功率譜為 (411)等效于經(jīng)典譜估計中的自相關(guān)法，即MA譜估計等效為信號長度為的自相關(guān)法譜估計。 ARMA模型譜估計ARMA(p,q)模型的差分方程 (412)式中。類似地，可導(dǎo)出其正則方程如下： (413)式中是系數(shù)和的函數(shù)，前個方程是高度非線性的。從第個方程開始是線性的，可以解出AR部分的系數(shù)，將上式中的第二個方程寫成如下展開形式：上式雖然可解出AR部分的系數(shù)，但存在以下兩個問題：①由于式中的真實自相關(guān)函數(shù)是未知的，因此只能使用估計值來代替，且要用到大延遲的估計值（最大延遲是），而對于給定的信號長度，這將造成估計很不準(zhǔn)確。因而，也就不能得到AR部分系數(shù)的準(zhǔn)確估計。②式中階次和都是未知的，需要事先指定。實際上是式中自相關(guān)陣的維數(shù)，和決定了的選用范圍。因此和的不正確指定有可能導(dǎo)致自相關(guān)陣出現(xiàn)奇異。因此，在實際應(yīng)用中，對自相關(guān)陣采用更一般的形式，即取L個方程，這里 ，即，式中，由此得到的最小二乘解為 求得ARMA(p,q)模型中的AR參數(shù)，余下的任務(wù)就是求解MA部分的參數(shù)[30]。利用求得的AR系數(shù)先得到一個FIR系統(tǒng)為序列經(jīng)此FIR系統(tǒng)濾波，得到一個輸出序列，ARMA(p,q)模型與FIR系統(tǒng)級聯(lián)，近似于模型。因此，可以利用輸出序列估計自相關(guān)序列并按MA(q)模型譜估計公式來得到MA譜，即，得到MA譜估計后，利用下式即可求得ARMA譜估計： AR模型功率譜估計實驗、實驗內(nèi)容AR過程的線性建模與功率譜估計?？紤]AR過程：是單位方差白噪聲。(a) 取b(0)=1, a(1)=, a(2)=, a(3)=, a(4)=，產(chǎn)生x(n)的N=64個樣點。(b) 計算其自相關(guān)序列的估計，并與真實的自相關(guān)序列值相比較。(c) 將的DTFT作為x(n)的功率譜估計，即：。(d) 利用所估計的自相關(guān)值和YuleWalker法(自相關(guān)法)，估計和的值，并討論估計的精度。(e) 用(d)中所估計的和來估計功率譜為：。(f) 將(c)和(e)的兩種功率譜估計與實際的功率譜進行比較，畫出它們的重疊波形。(g) 重復(fù)上面的(d)~(f)，只是估計AR參數(shù)分別采用如下方法：(1) 協(xié)方差法；(2) Burg方法；(3) 修正協(xié)方差法。試比較它們的功率譜估計精度。、實驗分析 計算真實的自相關(guān)值時，采用逆LevinsonDurbin遞歸方法，由a、b參數(shù)得到，，其中為濾波器的階數(shù)，再采用公式外推得到的自相關(guān)值； 實際功率譜，可調(diào)用Matlab中的FFT算法得到； 自相關(guān)序列的估計值采用公式得到； 采用各種功率譜估計方法對功率譜進行估計。、實驗結(jié)果及分析 仿真參數(shù)設(shè)置：采樣點數(shù)為64，頻域采樣點數(shù)為128自相關(guān)序列的估計與真實自相關(guān)序列值的比較見圖1，由圖可知估計值與真實值存在一定的誤差，但整體變化趨勢相差不大。圖1 自相關(guān)序列 題目（c）中功率譜的估計方法實際為周期圖法，周期圖法估計的功率譜與自相關(guān)法估計的功率譜的比較見圖2，由圖可知，周期圖能辨認(rèn)出兩個峰值，而自相關(guān)法不能，說明周期圖的分辨率大于自相關(guān)法。圖2 周期圖法和自相關(guān)法得到的功率譜圖3～圖7的（a）部分分別為采用周期圖法、自相關(guān)法、協(xié)方差法、Burg方法、修正協(xié)方差法進行功率譜50次估計的交疊圖，（b）部分給出了其整體平均及真實的功率譜。由這些圖可以看出，對于這一AR（4）過程，除自相關(guān)法外，所有估計都能分辨出兩個峰值，且峰值的位置大致相似。此外，周期圖法的方差大于其它估計方法。（a）(b)圖3 周期圖法估計AR(4)過程的功率譜（a）(b)圖4 自相關(guān)法估計AR(4)過程的功率譜（a）(b)圖5 協(xié)方差法估計AR(4)過程的功率譜（a）(b)圖6 Burg法估計AR(4)過程的功率譜（a）(b)圖7 修正協(xié)方差法估計AR(4)過程的功率譜表1為采用自相關(guān)法、協(xié)方差法、Burg方法、修正協(xié)方差法得到