【文章內(nèi)容簡介】 從欠采樣樣本中有效的恢復(fù)頻率稀疏信號。 D. Donoho 和 是信號處理領(lǐng)域采用 L1 范數(shù)最小化稀疏約束的先驅(qū)。但是地球物理學(xué)家早在 20 世紀(jì)七八十年代就開始利用 L1范數(shù)最小化來分析地震反射信號了。上世紀(jì) 90 年代，核磁共振譜處理方面提出采用稀疏重建方 法從欠采樣非等間隔樣本中恢復(fù)稀疏 Fourier 譜。同一時期，圖像處理方面也開始引入稀疏信號處理方法進(jìn)行圖像處理。在統(tǒng)計學(xué)方面，使用 L1 范數(shù)的模型選擇問題和相關(guān)的方法也在同期開始展開。壓縮感知理論在上述理論的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造性的將 L1 范數(shù)最小化稀疏約束與隨機(jī)矩陣結(jié)合，得到一個稀疏信號重建性能的最佳結(jié)果。 壓縮感知所代表的基本思路：從盡量少的數(shù)據(jù)中提取盡量多的信息，毫無疑問是一種有著極大理論和應(yīng)用前景的想法。它是傳統(tǒng)信息論的一個延伸，但是又超越了傳統(tǒng)的壓縮理論，成為了一門嶄新的子分支。它從誕生之日起到現(xiàn)在不過數(shù)年時 間，其影響卻已經(jīng)席卷了大半個應(yīng)用科學(xué)。 壓縮感知的主要原理內(nèi)容 總的說來，壓縮感知方法的處理流程可簡要描述為：基于待處理信號在某個基上的稀疏性或可壓縮性，設(shè)計合理的測量矩陣，獲得遠(yuǎn)小于信號維數(shù)但包含足夠信號特征信息的采樣，通過非線性優(yōu)化算法重構(gòu)信號。 在傳統(tǒng)理論的指導(dǎo)下，信號 X 的編解碼過程如圖 21 所示。編碼端首先獲得 X 的 N 店采樣值經(jīng)變換后只保留其中 K 個最大的投影系數(shù)并對它們的幅度和位置編碼，最后將編得的碼值進(jìn)行存儲或者傳輸。 解壓縮僅僅是編碼過程的逆變換。實(shí)際上，采樣得到的大部分?jǐn)?shù)據(jù)都是不重要 的，即 K 值很小，但由于奈奎斯特采樣定理的限制，采樣點(diǎn)數(shù) N 可能會非常大，采樣后的壓縮是造成資源浪費(fèi)的根本所在。 大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 9 采 樣 壓 縮 存 儲 或 傳 輸接 收 解 壓 縮XNKKNXN K 圖 21 傳統(tǒng)數(shù)據(jù)的編解碼過程 壓縮感知很好的解決了這一問題，它將信號的采樣、壓縮及編碼合并在了同一步驟中，不經(jīng)過 N 點(diǎn)采樣的中間過程而直接得到信號的表示，其編解碼過程如圖 22 所示?？蓧嚎s信號 X 通過一個線性觀測過程獲得 M 個觀測值后直接進(jìn)行存儲或傳輸。在滿足一定的條件下接收端可以根據(jù)這 M 個觀測值通過一個非線性優(yōu)化過程恢復(fù)出原信號 X。 接 收 重 構(gòu)線 性 觀 測 過 程（ 采 樣 、 壓 縮 、 編 碼 ）存 儲 或 傳 輸XNN KMMMX 圖 22 CS理論下數(shù)據(jù)的編解碼過程 信號的稀疏表示 信號的稀疏性或可壓縮性是壓縮感知的重要前提和理論基礎(chǔ)?，F(xiàn)考慮一個實(shí)值離散時間信號 X，長度為 N。 X 在時域的元素為 nx ， n=1， 2，?， N。假設(shè)追域的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基為 },{ 21 N??? ??? ，則信號 X 可以由 },{ 21 N??? ??? 線性表示為： Niii=1Xsφ?? 或 X=ΨS （ 21） 其中 X、 S 為 N 1 的列向量， ?為 N N 矩陣且 Ti i is X , X?? ? ?? ?（ T? 表示轉(zhuǎn)置）， ],[ 21 N??? ????? ?？梢姡?X 和 ? 是同一信號在不同域的等價表示。大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 10 如果 X 只是 K（ KN）個基向量的線性組合，那么信號 X 就是 K稀疏的。當(dāng)式（ 21）中僅有少量的大系數(shù)，而大部分的系數(shù)都很小時，就認(rèn)為信號 X 是可壓縮的。如果信號具有稀疏性或是可壓縮的，那么小系數(shù)的丟棄不會影響對原始信號的高概率重構(gòu)。 圖 22 中的線性觀測過程可以用一個 M N 的矩陣椎表示，對信號 X 觀測得到的 M 個觀測值為 jjy X,?? ? ? ， j 1,2, ,M? ??? 。其中jy是向量 Y（ M 1）中的元素， Tj? 是觀測矩陣 ?（ M N）的列向量。 寫成矩陣形式為： YX?? （ 22） 將式 （ 21） 代入式（ 22）中得： Y X S S? ? ? ? ? ? ? （ 23） 其中 ???? 是 M N 的 矩陣。該觀測過程是非自適應(yīng)的，也就是說 ? 是固定的，不隨信號 X 的變化而變化。有下面兩個問題需要解決： （ 1） 如何設(shè)計一個穩(wěn)定的觀測矩陣 ? 使得在從 NXR? 到 MYR? 的降維處理中可壓縮信號的重要信息不被 破壞。 （ 2） 如何設(shè)計重構(gòu)算法從 MK? 個測量值 Y 中恢復(fù)出 X。 測量矩陣的設(shè)計 在式（ 12）中，因方程的個數(shù) M 遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于未知數(shù)的個數(shù) N 故該線性方程組有無窮解。但是如果 X 是 K稀疏的即投影系數(shù) i{s }, i 1, 2, , N? ??? 中只有 K 個非零且這 K 個非零系數(shù)的位置已知，在 MK? 的前提下這個問題 就可以解決。如果觀測矩陣 ?滿足約束等距特性（ RIP），即對于任意 K稀疏向量 S， ? 滿 足 下式成立： 22S11S?? ? ? ? ? ? （ 24） 那么就可以從 M 個觀測值中解出 K 個投影系數(shù)。不過為了保證算法的穩(wěn)定性，對于 K稀疏信號，通常 要求 ?對任意的 3K稀疏向量滿足 RIP 準(zhǔn)則。RIP 準(zhǔn)則等價于觀測矩陣 ? 與稀疏基 ?不相關(guān)，當(dāng)觀測矩陣 ? 為隨機(jī)矩陣時，RIP 準(zhǔn)則及不相關(guān)性很容易滿足 [7]。 信號的重構(gòu)算法 假設(shè)在基矩陣 ? 下，信號 X 是 K稀疏的，那么可以通過求解最小 0范數(shù)大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 11 的問題從 Y 中恢復(fù) X。 ^ 39。0S arg m in S? . 39。SY?? （ 25） 可以證明只要利用 M=K+1 個獨(dú)立同分布的高斯測量值就可以用最小 0 范數(shù)法以高概率重構(gòu) K稀疏信號。但式 （ 25） 的求解復(fù)雜度高、穩(wěn)定性差而且是一個 NPhard 問題。 實(shí)際上，可以用更為簡單的最小 1范數(shù)代替最小 0范數(shù)求解該問題。 ^ 39。1S arg min S? . 39。SY?? （ 26） 只要利用 M c K log( N / K )? 個獨(dú)立同分布的高斯 測量值就可以以高概率重構(gòu) K稀疏信號。這是一個凸優(yōu)化問題，可轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題來求解，典型算法是基追蹤（ BP）算法，通過該算法可以精確重構(gòu)原信號，并且對噪聲干擾的抑制能力強(qiáng)，缺點(diǎn)是計算復(fù)雜度高，給硬件實(shí)現(xiàn)帶來了挑戰(zhàn)。 其他的重構(gòu)算法有迭代閾值法、子空間追蹤算法貪婪算法（包括正交匹配追蹤（ OMP），匹配追蹤（ MP）以及樹匹配追蹤（ TMP）等以及一些綜合的改進(jìn)算法 [8]。 壓縮感知的主要應(yīng)用 壓縮感知思想目前主要應(yīng)用在無線通信、陣列信號處理、成像、模擬信號轉(zhuǎn)換、生物傳感等方面。在無線通信方面又可針對認(rèn) 知無線電方向、信道編碼進(jìn)行探討。陣列信號處理方面主要分析波達(dá)方向估計和波束形成。 認(rèn)知 ：寬帶譜感知技術(shù)是認(rèn)識無線電應(yīng)用中的一個難點(diǎn)和重點(diǎn)。它通過快速尋找監(jiān)測頻段中沒有利用的無線頻譜，從而為認(rèn)知無線電用戶提供頻譜接入機(jī)會。傳統(tǒng)的濾波器組的寬帶檢測需要大量的射頻前端器件，并且不能靈活調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)。普通的寬帶接收電路要求很高的采樣率，它給模數(shù)轉(zhuǎn)換器帶來挑戰(zhàn)，并且獲得的大量數(shù)據(jù)處理給數(shù)字信號處理器帶來負(fù)擔(dān)。針對寬帶譜感知的難題，將壓縮感知方法應(yīng)用到寬帶譜感知中：采用一個寬帶數(shù)字電路，以較低的頻譜獲得欠采樣的隨機(jī)樣本 ，然后在數(shù)字信號處理器中采用稀疏信號估計算法得到寬帶譜感知結(jié)果。 信道編碼 ：利用壓縮傳感理論中關(guān)于稀疏性、隨機(jī)性和凸最優(yōu)化的結(jié)論可以直接應(yīng)用于設(shè)計快速誤差校正編碼，這種編碼方式在實(shí)時傳輸過程中不會受大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 12 到誤差的影響。在壓縮編碼過程中，稀疏表示所需要的基對于編碼器來說可能是未知的。 然而在壓縮傳感編碼過程中，它只在譯碼和重構(gòu)原信號時需要， 因此不需考慮它的結(jié)構(gòu)， 所以可以用通用的編碼策略進(jìn)行編碼。 Haupt 等通過實(shí)驗(yàn)表明如果圖像是高度可壓縮的或者 SNR 充分大，即使測量過程存在噪聲， 壓縮傳感方法仍可以準(zhǔn)確重構(gòu)圖像 。 波達(dá)方向估計 ：目標(biāo)出現(xiàn)的角度在整個掃描空間來看，是極少數(shù)。波達(dá)方向估計問題在空間譜估計觀點(diǎn)來看是一個欠定的線性逆問題。通過對角度個數(shù)的稀疏限制，可以完成壓縮感知的波達(dá)方向估計。 波束形成 ：傳統(tǒng)的自適應(yīng)波束形成因其高分辨率和抗干擾能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛地采用。但是同時它的高旁瓣水平和角度失匹配敏感度高等問題將大大降低接收性能。為了改進(jìn) Capon 波束形成的性能，這些通過稀疏波束圖整形的方法可以限制波束圖中陣列增益較大的元素的個數(shù)，同時鼓勵較大 的陣列增益集中在波束主瓣中，從而可以在達(dá)到降低旁瓣水平同時，提高主瓣中陣列增益水平，降低角度失匹配的影響。 成像 ：運(yùn)用壓縮傳感原理， RICE 大學(xué)成功研制了“單像素”壓縮數(shù)碼照相機(jī)。設(shè)計原理首先是通過光路系統(tǒng)將成像目標(biāo)投影到一個數(shù)字微鏡器件（ DMD）上，其反射光可以通過透鏡聚焦到單個光敏二極管上，而光敏二極管兩端的電壓值即為一個測量值 y，將此投影操作重復(fù) M 次，得到測量向量，然后用最小全變分算法構(gòu)建的數(shù)字信號處理器來重構(gòu)原始圖像。數(shù)字微鏡器件由數(shù)字電壓信號控制微鏡片的機(jī)械運(yùn)動從而實(shí)現(xiàn)對入射光線的調(diào)整。而且由于這 個壓縮數(shù)碼照相機(jī)直接獲取的是 M 次隨機(jī)線性測量值而不是獲取原始信號的 N（ M， N）個像素值，為低像素相機(jī)拍攝高質(zhì)量圖像提供了可能。 雷達(dá)成像 ：壓縮傳感技術(shù)也可以應(yīng)用于雷達(dá)成像領(lǐng)域，與傳統(tǒng)雷達(dá)成像技術(shù)相比壓縮傳感雷達(dá)成像實(shí)現(xiàn)了兩個重要改進(jìn)：在接收端省去脈沖壓縮匹配濾波器；同時由于避開了對原始信號的直接采樣，降低了接收端對模數(shù)轉(zhuǎn)換器件帶寬的要求。設(shè)計重點(diǎn)由傳統(tǒng)的設(shè)計昂貴的接收端硬件轉(zhuǎn)化為設(shè)計新穎的信號恢復(fù)算法，從而簡化了雷達(dá)成像系統(tǒng)。 模數(shù)轉(zhuǎn)換 ： 對于帶寬非常高的信號，例如雷達(dá)和通信信號處理系統(tǒng)涉及的射頻信號，根 據(jù)香農(nóng)采樣定理，要獲得完整的信號信息，所采用的模數(shù)轉(zhuǎn)換器必須有很高的采樣頻率。然而由于傳感器及轉(zhuǎn)換硬件性能的限制，獲得的信號大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 13 的帶寬遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于實(shí)際信號的帶寬，存在較大的信息丟失。對此 Kriolos 等設(shè)計了基于壓縮傳感理論的模擬 /信息轉(zhuǎn)換器，利用壓縮傳感理論中測量信息可以得到完整信號的原理，首先獲得原始信號的線性測量，再利用后端 DSP 重構(gòu)原始信號或直接計算原始信號的統(tǒng)計數(shù)據(jù)等信息。 生物傳感 ：生 物傳感中的傳統(tǒng) DNA 芯片能平行測量多個有機(jī)體，但是只能識別有限種類的有機(jī)體， Sheikh 等人運(yùn)用壓縮傳感和群組檢測原理設(shè) 計的壓縮傳感 DNA 芯片克服了這個缺點(diǎn)。壓縮傳感 DNA 芯片中的每個探測點(diǎn)都能識別一組目標(biāo)，從而明顯減少了所需探測點(diǎn)數(shù)量。此外基于生物體基因序列稀疏特性， Sheikh 等人驗(yàn)證了可以通過置信傳播的方法實(shí)現(xiàn)壓縮傳感 DNA 芯片中的信號重構(gòu) [9]。 大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 14 第 3 章 脈沖壓縮基本原理 雷達(dá)工作原理 雷達(dá)是 Radar（ Radio Detection And Ranging）的音譯詞，意為“無線電檢測和測距”，即為利用無線電波來檢測目標(biāo)并測定目標(biāo)的位置，這也是雷達(dá)設(shè)備在最初階段的功能。典型的雷達(dá)系統(tǒng)如圖 31， 它主要由發(fā)射機(jī)，天線，接收機(jī)，數(shù)據(jù)處理，定時控制，顯示等設(shè)備組成。利用雷達(dá)可以獲知目標(biāo)的有無，目標(biāo)斜距，目標(biāo)角位置，目標(biāo)相對速度等?，F(xiàn)代高分辨雷達(dá)擴(kuò)展了原始雷達(dá)概念，使它具有對運(yùn)動目標(biāo)（飛機(jī)，導(dǎo)彈等）和區(qū)域目標(biāo)（地面等）成像和識別的能力。雷達(dá)的應(yīng)用越來越廣 [10]。 圖 31 簡單脈沖雷達(dá)系統(tǒng)框圖 雷達(dá)發(fā)射機(jī)的任務(wù)是產(chǎn)生符合要求的雷達(dá)波形（ Radar Waveform），然后經(jīng)饋線和收發(fā)開關(guān)由發(fā)射天線輻射出去，遇到目標(biāo)后，電磁波一部分反射，經(jīng)接收天線和收發(fā)開關(guān)由接收機(jī)接收，對雷達(dá)回波信號做 適當(dāng)?shù)奶幚砭涂梢垣@知目標(biāo)的相關(guān)信息。 假設(shè)理想點(diǎn)目標(biāo)與雷達(dá)的相對距離為 R，為了探測這個目標(biāo)，雷達(dá)發(fā)射信號 s(t) ，電磁波以光速 C 向四周傳播，經(jīng)過時間 RC后電磁波到達(dá)目標(biāo)，照射到目標(biāo)上的電磁波可寫成： Rs(t )C 。電磁波與目標(biāo)相互作用，一部分電磁波被目標(biāo)散射，被反射的電磁波為 Rs(t )C?? ，其中 ? 為目標(biāo)的雷達(dá)散射截面大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 15 （ Radar Cross Section ，簡稱 RCS），反映目標(biāo)對電磁波的散射能力。再經(jīng)過時間 RC后，被雷達(dá)接收天線接收的信號為 Rs(t 2 )C??。 如果將雷達(dá)天線和目標(biāo)看作一個系統(tǒng)，便得到如圖 32 的等效系統(tǒng)，而且這是一個 LTI（線性時不變）系統(tǒng)。 等 效 L T I 系 統(tǒng) h ( t )S(t) rS (t)