【文章內(nèi)容簡介】 了兩者的破壞特征，并揭示了蜂窩梁的受力特性，從而對(duì)蜂窩梁的彈塑性工作狀態(tài)有了較為全面的了解，在此基礎(chǔ)上提出了端實(shí)腹蜂窩梁的結(jié)構(gòu)形式。李霞[51]提出了一種分析方法以計(jì)算臥式似橢圓孔蜂窩梁等效抗彎剛度，此方法是根據(jù)純彎臥式似橢圓孔蜂窩梁的有限元分析結(jié)果反算其剛度，通過做出了大量的有限元分析，得到了在多種不同的孔況下式中腹板的剛度折減系數(shù)表，并且給出臥式似橢圓孔情形下的系數(shù)計(jì)算公式。近年來沈陽建筑大學(xué)鋼結(jié)構(gòu)課題組對(duì)蜂窩鋼結(jié)構(gòu)做了較為系統(tǒng)的研究[5259]。通過對(duì)蜂窩構(gòu)件的研究，提出了蜂窩式壓彎構(gòu)件強(qiáng)度、剛度及平面內(nèi)穩(wěn)定設(shè)計(jì)的計(jì)算方法。 本文的研究工作及思路(1) 驗(yàn)證模型的有效性。首先根據(jù)薄板穩(wěn)定理論，對(duì)薄板運(yùn)用有限元分析進(jìn)行特征值屈曲分析，把得到的結(jié)果和由薄板穩(wěn)定理論得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，當(dāng)誤差在允許范圍內(nèi)，即可認(rèn)為應(yīng)用有限元分析薄板穩(wěn)定問題是可行的。然后對(duì)文獻(xiàn)[60]中的開孔薄板和蜂窩構(gòu)件進(jìn)行進(jìn)行有限元分析，將兩者結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，當(dāng)誤差在允許范圍內(nèi)時(shí)，即可認(rèn)為應(yīng)用有限元分析蜂窩構(gòu)件腹板穩(wěn)定問題是可行的。(2) 分析開六邊形孔薄板的穩(wěn)定性，首先觀察開孔薄板的彈性屈曲變形模式，然后分析開孔大小對(duì)開孔薄板彈性屈曲荷載的影響，把用有限元計(jì)算得到的開孔薄板彈性屈曲荷載和同高厚比的未開孔薄板進(jìn)行對(duì)比分析，得到開孔大小對(duì)彈性屈曲荷載的影響系數(shù)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行擬合，最后得到可運(yùn)用于計(jì)算開孔薄板彈性屈曲荷載的計(jì)算公式。(3) 分析翼緣對(duì)蜂窩構(gòu)件腹板的約束作用，首先觀察蜂窩構(gòu)件彈性屈曲變形模式，然后分析開孔大小對(duì)蜂窩構(gòu)件彈性屈曲荷載的影響，把用有限元計(jì)算得到的蜂窩構(gòu)件彈性屈曲荷載和與其對(duì)應(yīng)的開孔薄板進(jìn)行對(duì)比分析，得到翼緣對(duì)彈性屈曲荷載的影響系數(shù)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行擬合，最后得到可運(yùn)用于計(jì)算蜂窩構(gòu)件彈性屈曲荷載的計(jì)算公式及高厚比限值。第二章 薄板穩(wěn)定理論及有限元分析 薄板的屈曲特點(diǎn)如果板的厚度與幅面最小寬度相比很小時(shí)，板內(nèi)的橫向剪力引起的剪切變形與彎曲變形相比很微小，可以忽略不計(jì)，這種板稱為薄板。薄板既具有抗彎能力還可能存在薄膜拉力。這些受力的薄板常常是受壓和受彎構(gòu)件的組成部分，如I形截面構(gòu)件的翼緣和腹板以及冷彎薄壁型鋼中的板件。與受壓和受彎構(gòu)件的屈曲問題比較，板的屈曲有以下幾個(gè)特點(diǎn)：(l)作用于板中面的外力，無論是一個(gè)方向還是在兩個(gè)方向都作用有外力，發(fā)生屈曲時(shí)板都會(huì)產(chǎn)生的出平面的凸曲現(xiàn)象，發(fā)生雙向彎曲變形，因此板中的任何一點(diǎn)的扭矩和彎矩以及板的撓度都與這點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)。(2)板的平衡微分方程是屬于二維的偏微分方程，只有均勻受壓的四邊簡支理想的薄板可以直接采用平衡法求解其分岔屈曲荷載，其他受力條件和邊界條件的板，很難用平衡法直接求解，常采用能量法，例如瑞利一里茲法和迎遼金法，或者是數(shù)值法，例如差分法和有限單元法，在彈塑性階段，采用數(shù)值法可以得到精確度很高的板的屈曲荷載。(3)平直的薄板失穩(wěn)問題屬于穩(wěn)定分岔失穩(wěn)問題。但是對(duì)于有剛強(qiáng)側(cè)邊支承的薄板，凸曲變形后板的中面會(huì)產(chǎn)生薄膜應(yīng)變，進(jìn)而產(chǎn)生薄膜應(yīng)力。如果是板的一個(gè)方向有外力作用而發(fā)生凸曲時(shí)，那么另一個(gè)方向的薄板拉力會(huì)對(duì)其產(chǎn)生支持作用，進(jìn)而增強(qiáng)板的抗彎剛度，提高板的強(qiáng)度，這種凸曲變形后強(qiáng)度的提高稱為屈曲后強(qiáng)度。屈曲后的單向均勻受壓板會(huì)因各點(diǎn)薄膜應(yīng)力不同而轉(zhuǎn)變?yōu)殡p向不均勻的受力的板，因此，板的有些部位應(yīng)力可能遠(yuǎn)超過屈曲應(yīng)力然后達(dá)到材料的屈曲強(qiáng)度,此時(shí)板很快將破壞。它標(biāo)志著薄板的承載力已經(jīng)不再是分岔屈曲荷載了，而是板的邊緣纖維達(dá)到屈曲強(qiáng)度后的極限荷載。(4)按照板的小撓度理論分析得到的是板的分岔屈曲荷載，按照有限撓度理論，或稱板的大撓度理論分析得到的是板的屈曲后強(qiáng)度和板的撓度。常用于分析薄板屈曲的方法主要有三種[61]:靜力平衡法、數(shù)值方法和能量法。（1）靜力平衡法對(duì)于承受中面力作用的薄板，其穩(wěn)定的平衡方程為: （）式中 =，單位板寬的彎曲剛度，又稱柱面剛度；ω——板件屈曲的面外撓度；——沿各自方向作用的中面力。式()是建立在小撓度穩(wěn)定理論基礎(chǔ)之上，因?yàn)楹雎粤饲鷷r(shí)中面產(chǎn)生的薄膜力效應(yīng)，所以使該偏微分方程的求解線性化。在采用平衡法求解時(shí)，根據(jù)不同的受力及邊界條件，首先要假定一個(gè)與邊界條件相滿足的撓度函數(shù)，然后代入上述平衡微分方程中，那么滿足該方程的最小荷載即為板的屈曲臨界荷載。通過應(yīng)用平衡法歷史上已經(jīng)求得了均勻受壓的四邊(至少為兩邊)理想的簡支矩形板的屈曲荷載的精確解，為板的穩(wěn)定理論分析奠定了基礎(chǔ)。但對(duì)于邊界條件及受力較為復(fù)雜的板，由于在數(shù)學(xué)分析上的困難，因才在實(shí)際上很難應(yīng)用平衡法直接求解。上述運(yùn)用線性理論來確定的臨界荷載也被稱為經(jīng)典屈曲臨界荷載。當(dāng)位移超過臨界點(diǎn)的平衡位移時(shí)，板將出現(xiàn)有限變形，這時(shí)中面的薄膜力效應(yīng)不可忽略，應(yīng)進(jìn)行板的大撓度屈曲分析?？ㄩT大撓度方程組即是板非線性大撓度屈曲的平衡微分方程式，適用范圍為發(fā)生小應(yīng)變的非線性屈曲、中等轉(zhuǎn)動(dòng)及屈曲后性態(tài)的研究。在此時(shí)的平衡微分方程組中必須要考慮變形協(xié)調(diào)方程，沿三個(gè)坐標(biāo)方向的力平衡方程與小撓度時(shí)形式上是完全相同的，但是各薄膜力都不再是常量。要求得該多變量的非線性方程組得精確解變得非常困難。在實(shí)際中常采用能量法對(duì)其進(jìn)行求近似解，要得到更高精度的解時(shí)就要運(yùn)用有限元法求解。對(duì)于板的彈塑性屈曲問題，求解途徑主要有兩種：一是把進(jìn)入非彈性階段的板看作是各向異性的，因?yàn)槠鋸澢鷦偠妊胤较蚝头较蛴兴煌紤]采用相應(yīng)的換算模量，進(jìn)而引入塑性折減系數(shù)對(duì)其彈性臨界應(yīng)力進(jìn)行修正，塑性折減系數(shù)與板的形狀比、邊界條件荷載類型、材料的曲線形狀等因素有關(guān)。按這種觀點(diǎn)，建立了柏拉希近似計(jì)算方法。二是以塑性理論為基礎(chǔ)，在流動(dòng)理論和非彈性變形理論之上運(yùn)用數(shù)值近似方法求解。(2) 能量法求解板的穩(wěn)定性問題另一類常用方法是以平衡穩(wěn)定性能量準(zhǔn)則為基礎(chǔ)的能量變分法，許多運(yùn)用靜力平衡方法難于解決的問題都可以采用該法來解決。因此該方法廣泛的應(yīng)用在板件的穩(wěn)定分析中。在運(yùn)用能量法求解板的屈曲荷載時(shí)，要先建立板在微彎條件下的總勢(shì)能方程。這時(shí)的總勢(shì)能是外力勢(shì)能和板的應(yīng)變能之和。 （）其中： ——板的撓度； ——鋼材的泊松比； ——板單位寬度的抗彎剛度，即柱面剛度。在能量法中應(yīng)用最廣泛的是瑞利—里茲法和迦遼金法。（1）瑞利—里茲法運(yùn)用瑞利—里茲法求解板的屈曲荷載時(shí)，需首先建立滿足幾何邊界條件的板的撓曲面函數(shù)，通常假定此函數(shù)形式為： （）式中： ——板屈曲時(shí)在x方向的半波數(shù)；—— 板屈曲時(shí)在Y方向的半波數(shù)；—— 各項(xiàng)坐標(biāo)函數(shù)的待定常數(shù)。將上面的撓曲面函數(shù)帶入前面的總勢(shì)能的計(jì)算公式()中，根據(jù)勢(shì)能駐值原理積分后，建立關(guān)于，…… 的一組線性代數(shù)方程組，當(dāng)此方程組有非零解時(shí)，其系數(shù)行列式為零，即得到板的屈曲方程。此方程組的最小值即是板的屈曲荷載。（2）迦遼金法迦遼金法表達(dá)體系的總勢(shì)能是應(yīng)用板屈曲時(shí)的平衡微分方程。已知板的平衡偏微分方程是 （）首先需假定滿足板的力學(xué)邊界條件和幾何邊界條件的撓曲面函數(shù)，假設(shè)此位移函數(shù)的級(jí)數(shù)形式為 （）通過應(yīng)用變分原理，可建立如下迦遼金方程組:…… （）上式通過積分后可得關(guān)于,，…的線性方程組。要得到它們的非零解，方程組系數(shù)行列式應(yīng)為零，因此可得屈曲方程，最終可得屈曲臨界荷載。上述求解方法的適用范圍僅限于薄板的小撓度屈曲情形，當(dāng)對(duì)板進(jìn)行大撓度屈曲問題分析時(shí)，那么總勢(shì)能就應(yīng)該包括由中面彎曲應(yīng)變所引起的薄膜應(yīng)變能，即有 （）（3）數(shù)值計(jì)算法隨著近代計(jì)算工具及計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，數(shù)值計(jì)算法的優(yōu)越性在工程問題分析中顯得越來越強(qiáng)大，應(yīng)用適宜的數(shù)值計(jì)算法求解板的彈性及彈塑性穩(wěn)定問題時(shí)，可以得到較精確的板件屈曲臨界荷載[62,63]。有限差分法是早期使用數(shù)值法中的一種，有限單元法是目前應(yīng)用最廣泛的方法。本文只介紹有限單元法在薄板穩(wěn)定問題中的應(yīng)用。運(yùn)用有限單元法求解穩(wěn)定問題的基本方法是：對(duì)于所求解的物體，用一個(gè)參數(shù)因子改變其初應(yīng)力的大小，所求解物體受擾動(dòng)后新的平衡位置用所設(shè)定位移函數(shù)來描述，然后根據(jù)虛功原理推導(dǎo)其剛度矩陣。就象前面所說的，在屈曲平衡狀態(tài)下，穩(wěn)定問題的求解就歸結(jié)為求解齊次方程組的特征值問題[61]。Fig The plant under the film force，設(shè)作用在板中面的薄膜力列陣為[61] （）設(shè)板的撓度為，那么由虛位移引起的虛應(yīng)變?yōu)? （）其中薄膜虛應(yīng)變彎曲虛應(yīng)變由虛功原理可得板上荷載的虛功 () = 其中 上式()中右端第一項(xiàng)積分是板彎曲時(shí)彎曲應(yīng)力所作的虛功，第二項(xiàng)積分是由薄膜力所引起的與轉(zhuǎn)動(dòng)自由度相對(duì)應(yīng)的廣義力在虛轉(zhuǎn)角上作的虛功。表示板厚，、分別為板中面單位長度上的薄膜剪切力和薄膜法向力。分析板失穩(wěn)問題的關(guān)鍵就是尋求薄膜力、的臨界值。對(duì)簡支單板進(jìn)行有限元分析，首先對(duì)板進(jìn)行單元?jiǎng)澐?，選定結(jié)點(diǎn)后在單元內(nèi)設(shè)定位移函數(shù)，進(jìn)而可以得到用結(jié)點(diǎn)位移表示的單元位移， （）其中結(jié)點(diǎn)位移為則 （） 令由虛功方程()，得由于的任意性可得 （）其中板的彎曲剛度矩陣為板的幾何剛度矩陣為當(dāng)進(jìn)行板組的整體分析時(shí)可采用與單板的整體分析相類似的方法，首先進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，然后對(duì)應(yīng)集成總剛及等效結(jié)點(diǎn)力，進(jìn)而得到平衡方程 （）然后引入位移邊界條件，仍用式()表示總體平衡方程，式中為屈曲位移。當(dāng)整體求解時(shí)，假設(shè)一確定的軸向初應(yīng)力狀態(tài)，然后求得板的幾何剛度矩陣，接著用因子改變初應(yīng)力的大小，即用來控制軸向荷載的大小，那么由項(xiàng)所引起的幾何剛度矩陣也就隨著變化，成為，則式()成為 （）上式()表示板件在屈曲平衡狀態(tài)時(shí)的總體平衡方程。處于臨界平衡狀態(tài)時(shí)，板件可保持微凸和平面兩種平衡狀態(tài)，在此平面狀態(tài)時(shí)，位移，則 （）由于式()及式(()同時(shí)成立，故得到 （）其中薄膜力、和是通過參數(shù)因子與初始的薄膜力、和 聯(lián)系，所以臨界荷載。在臨界狀態(tài)時(shí)，板可以保持屈曲平衡，即。那么齊次方程組(217)的解就歸結(jié)為求與系數(shù)行列式為零相對(duì)應(yīng)的特征值及相應(yīng)的特征向量，即 （）在進(jìn)行非線性有限元分析中，還必須用增量法來求解穩(wěn)定問題，即是求 （）的漸近解。在各增量步都要發(fā)生變化，這種變化既有來自增量過程中單元位形的變化，也有來自單元應(yīng)力狀態(tài)的改變。如果都以未變形的初始位移為參考計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃?，則只與其上一步由增量產(chǎn)生的應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)。僅由應(yīng)力狀態(tài)所確定的單元?jiǎng)偠染仃嚤环Q為幾何剛度矩陣，或叫做初應(yīng)力矩陣，用表示。因此可以將歐拉失穩(wěn)時(shí)的臨界狀態(tài)近似看成是一種初應(yīng)力狀態(tài)，所以歐拉穩(wěn)定性問題也可采用非線性方程式求解。在求得某一已知的初應(yīng)力狀態(tài)所對(duì)應(yīng)的幾何剛度矩陣后，當(dāng)以一個(gè)參數(shù)因子去改變初應(yīng)力的大小時(shí)，隨之幾何剛度矩陣也就變成，于是上式可以寫成： （）假定此時(shí)達(dá)到臨界狀態(tài)，那么必然存在撓動(dòng)的位形，所以其位形為，在外力不變的條件下系統(tǒng)也處于平衡狀態(tài)(歐拉穩(wěn)定性概念)。因此有: （）將()，()兩式相減得到: （）由此可知，利用幾何剛度矩陣來求解歐拉穩(wěn)定性問題最終可歸結(jié)成求解一個(gè)廣義特征值問題，各階臨界荷載和相應(yīng)的屈曲形式分別用廣義特征值為，和特征向量為 ()來表示。當(dāng)然，我們求解的目標(biāo)是最小的臨界荷載和與其對(duì)應(yīng)的屈曲形狀。綜上所述，非線彈性穩(wěn)定性問題可以歸結(jié)為歐拉穩(wěn)定的廣義特征值解和極值穩(wěn)定問題的增量法解。按照有限元理論結(jié)果分析，特征值屈曲分析最終可歸結(jié)為一個(gè)特征值公式，其中是移特征矢量；是曲剛度矩陣；是應(yīng)力剛度矩陣；是特征值(也稱為比例因子和荷載因子)。根據(jù)剛度應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力，初應(yīng)力剛度矩陣可以減弱或加強(qiáng)結(jié)構(gòu)的剛度。對(duì)于平面內(nèi)受壓構(gòu)件，如果壓力增大到某個(gè)荷載，弱化效應(yīng)將超過結(jié)