【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 構(gòu)經(jīng)必要近似簡(jiǎn)化后，由一組剛體或彈性體經(jīng)一組彈簧(線性剛度及角剛度)和阻尼器(線性阻尼及角阻尼)，在滿足系統(tǒng)相關(guān)約束條件下組合連接起來(lái)，并受到瞬態(tài)激勵(lì)(力、力矩或位移、速度、加速度等)作用的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題可歸結(jié)為：當(dāng)系統(tǒng)受到瞬變載荷激勵(lì)作用時(shí)，選擇并優(yōu)化一組設(shè)計(jì)變量，X＝(x1，x2，…，xk)T(其中，xi可能代表某結(jié)構(gòu)構(gòu)件的截而積、結(jié)合部的彈簧剛度ki及阻尼系數(shù)ci，構(gòu)件質(zhì)量mi或系統(tǒng)各構(gòu)件的實(shí)際尺寸等)，以使設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)在滿足約束條件的情況下達(dá)到最優(yōu)或取極值。優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)通常表現(xiàn)為：在一段時(shí)間區(qū)間中，系統(tǒng)中某些所關(guān)心位置或坐標(biāo)的瞬時(shí)動(dòng)態(tài)響應(yīng)(位移、速度、加速度)最小，或滿足某種行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)或規(guī)范規(guī)定的要求(即滿足標(biāo)準(zhǔn)或規(guī)范中人為規(guī)定的某種要求，因而也可簡(jiǎn)稱為人工目標(biāo)函數(shù)，一般情況下，可將其表達(dá)為目標(biāo)泛函的形式)。而約束條件則可能表現(xiàn)為：在目標(biāo)函數(shù)規(guī)定的時(shí)間區(qū)間中滿足系統(tǒng)規(guī)律或運(yùn)動(dòng)方程的約束，滿足系統(tǒng)各種瞬時(shí)動(dòng)態(tài)性能的規(guī)定(振幅或相對(duì)振幅極限、應(yīng)力、應(yīng)變破壞極限等，即在瞬變動(dòng)載荷作用的一段時(shí)間內(nèi)，動(dòng)態(tài)性能和破壞約束條件必須始終得到滿足)，以及滿足設(shè)計(jì)變量、固有頻率等的允許變化范圍的約束等。一般情況下，可將其歸結(jié)為一系列與時(shí)間t有關(guān)或無(wú)關(guān)的等式及非等式約束。因?yàn)橄到y(tǒng)受到瞬變動(dòng)載荷的激勵(lì)，描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的狀態(tài)變量是時(shí)間t的函數(shù)，故其運(yùn)動(dòng)方程為常微分方程(或差分方程)或狀態(tài)方程，其解為系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。此類動(dòng)態(tài)優(yōu)化問(wèn)題最為復(fù)雜。如果系統(tǒng)受到的是與時(shí)間t有關(guān)的穩(wěn)態(tài)簡(jiǎn)諧激勵(lì)，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為系統(tǒng)中某些關(guān)心位置或坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)最小，則此類問(wèn)題可簡(jiǎn)化為求解系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題?？梢哉f(shuō)，這是前一類問(wèn)題的特例，情況要簡(jiǎn)單些。如果系統(tǒng)受到與時(shí)間無(wú)關(guān)的靜載荷作用，則其運(yùn)動(dòng)微分方程或狀態(tài)方程均簡(jiǎn)化為靜力平衡方程，系統(tǒng)的響應(yīng)則為靜力變形。此時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題已蛻化為靜態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。 如前所述，在動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，若將時(shí)間變量t取定值，則動(dòng)態(tài)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型僅為設(shè)計(jì)變量X的函數(shù)，問(wèn)題歸結(jié)為靜態(tài)優(yōu)化問(wèn)題。所以，靜態(tài)優(yōu)化是動(dòng)態(tài)優(yōu)化問(wèn)題中時(shí)間變量取定值的特殊情況，可將某一時(shí)間區(qū)間內(nèi)的動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，通過(guò)對(duì)該時(shí)間區(qū)間的離散化，將其轉(zhuǎn)化為一系列特定時(shí)刻的靜態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題來(lái)處理?？梢?jiàn)，動(dòng)、靜態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題既有區(qū)別，又有聯(lián)系。動(dòng)態(tài)優(yōu)化是靜態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的延伸和發(fā)展。 綜上所述，機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題可描述為：系統(tǒng)在已知瞬變動(dòng)載荷作用下，選擇一組設(shè)計(jì)變量，使目標(biāo)泛函在滿足各種約束條件下取極值，即求解目標(biāo)泛函的條件極值問(wèn)題。故可用變分原理求解此類問(wèn)題，這就是本節(jié)所要討論的主要內(nèi)容。9．2．1 機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型 機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型是對(duì)機(jī)械系統(tǒng)在動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中的物理特性的數(shù)學(xué)描述。求解此數(shù)學(xué)模型，可獲得該機(jī)械系統(tǒng)的各種優(yōu)化信息。 為解決機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，人們提出了許多方法，如人機(jī)交互式動(dòng)態(tài)優(yōu)化法[11]、離散時(shí)間動(dòng)態(tài)優(yōu)化法[3，4]、基于模態(tài)柔度和能量平衡原理的動(dòng)態(tài)優(yōu)化法、以及基于變分原理及最優(yōu)控制理論的動(dòng)態(tài)優(yōu)化法[1，3]。不同的優(yōu)化方法所建的數(shù)學(xué)模型也不相同。人機(jī)交互式動(dòng)態(tài)優(yōu)化法遵循分析—修改—再分析—再修改，直至最優(yōu)的優(yōu)化原則，因此，數(shù)學(xué)模型就是本書第2章所建的理論模型，結(jié)合第5章結(jié)構(gòu)動(dòng)力修改方法，實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)優(yōu)化的目的。離散時(shí)間動(dòng)態(tài)優(yōu)化法是將時(shí)間微分離散后，按分段靜態(tài)優(yōu)化逼近原動(dòng)態(tài)優(yōu)化問(wèn)題，因此數(shù)學(xué)模型就是以線性或非線性規(guī)劃為基礎(chǔ)的靜態(tài)優(yōu)化模型。基于模態(tài)柔度和能量平衡原理的動(dòng)態(tài)優(yōu)化法，則是以提高機(jī)械系統(tǒng)的抗振性能為目標(biāo)，根據(jù)機(jī)械系統(tǒng)各階模態(tài)柔度要小且應(yīng)盡可能相等、各階模態(tài)阻尼比要大、結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的能量分布必須均衡的原則，實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的分析、修改與優(yōu)化。具體建模方法見(jiàn)第9．1節(jié)。 與控制理論不盡相同，機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型中的狀態(tài)變量zi除與動(dòng)載荷F(t)有關(guān)外，還與zi所在的幾何空間位置有關(guān)。zi的幾何空間位置取決于機(jī)械結(jié)構(gòu)的形狀、尺寸等因素，它們通過(guò)機(jī)械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)方案設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和形狀設(shè)計(jì)來(lái)確定。也就是說(shuō)，在系統(tǒng)方案設(shè)計(jì)中，構(gòu)成系統(tǒng)的部件(或子結(jié)構(gòu))數(shù)和位置已經(jīng)基本確定；在各部件(或子結(jié)構(gòu))的結(jié)構(gòu)和形狀設(shè)計(jì)中，其結(jié)構(gòu)、形狀和尺寸已經(jīng)初步確定。因此若在動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)中考慮機(jī)械結(jié)構(gòu)各構(gòu)件的幾何參數(shù)(如模截面積、結(jié)構(gòu)尺寸、實(shí)際形狀等)，和物理參數(shù)(如剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)、構(gòu)件質(zhì)量等)，則上述因素可作為系統(tǒng)動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)的初始設(shè)計(jì)變量X＝(x1，x2，…，xk)T來(lái)描述。設(shè)計(jì)的初始變量xi規(guī)定了機(jī)械結(jié)構(gòu)各構(gòu)件的幾何參數(shù)和物理參數(shù)以及各結(jié)合部的彈性聯(lián)接力和阻尼力。設(shè)計(jì)的目標(biāo)就是優(yōu)化初始設(shè)計(jì)變量向量，以使系統(tǒng)在受到已知外加動(dòng)載荷時(shí)滿足各種工程需要的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)性能等約束條件，并在某種意義或準(zhǔn)則下使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)。數(shù)學(xué)模型可表示如下：選擇設(shè)計(jì)變量 X＝(x1，x2，…，xk)T (917a)確定狀態(tài)變量 z(t)＝[z1(t)，z2(t)，…，zn(t)，z1′(t)，z2′(t)，…，zn′(t)]T (917b)建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程 z′(t)＝p[X，t，z(t)，F(xiàn)(t)] (917c)滿足初始條件 z(t0)＝z0，z′(t0)＝z0′ (917d)給定目標(biāo)函數(shù)并取極值 (917e)滿足約束條件 hu[X，t，z(t)]＝0 u＝l，2，…，pgv[X，t，z(t)]≤0 v＝l，2，…，mqi(ζ，X) ≤0 i＝l，2，…，k (917f)式中，X 為系統(tǒng)的設(shè)計(jì)變量向量，由系統(tǒng)的幾何參數(shù)和物理參數(shù)組成，是一組待求的實(shí)數(shù)的集合；z(t)是系統(tǒng)的狀態(tài)變量向量，由表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的廣義坐標(biāo)如位移、速度等組成，也是系統(tǒng)動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)中需要控制的性能指標(biāo)；ζ為結(jié)構(gòu)的特征疽。狀態(tài)方程或運(yùn)動(dòng)方程是機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)描述，也是系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)描述。動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)之前，必須根據(jù)初定結(jié)構(gòu)，選定某種動(dòng)力學(xué)建模方法，建立其運(yùn)動(dòng)方程或狀態(tài)方程。動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)必須在此運(yùn)動(dòng)規(guī)律下進(jìn)行。因此，狀態(tài)方程或運(yùn)動(dòng)方程作為等式約束條件，規(guī)定了設(shè)計(jì)變量和狀態(tài)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 式(917)中，等式和非等式約束條件包含了狀態(tài)變量和設(shè)計(jì)變量，是對(duì)機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)參數(shù)(如位移、速度、加速度等)和動(dòng)力參數(shù)(如應(yīng)力、應(yīng)變、能量等)的限制，同時(shí)還包括了對(duì)設(shè)計(jì)變量X及特征值ζ取值范圍qi(ζ，X)≤0(i＝2，…，k)和運(yùn)動(dòng)誤差的限制等。 目標(biāo)函數(shù)以泛函的形式出現(xiàn)在機(jī)械結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型中，描述了機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)所追求的各種性能指標(biāo)。它可能包括結(jié)構(gòu)的位移、速度、加速度、應(yīng)力、應(yīng)變、自重、固有頻率ζ1/2或誤差等。結(jié)構(gòu)的自重和固有頻率與時(shí)間無(wú)關(guān)，故可用g(ζ，X)表示，但承受動(dòng)載荷時(shí)，位移和應(yīng)力等則與時(shí)間有關(guān)，故用泛函表達(dá)。所以，式(917)中的目標(biāo)泛函是一般化的表達(dá)形式。 從機(jī)械結(jié)構(gòu)靜、動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型式(84)和式(917)可見(jiàn)，兩種模型中的設(shè)計(jì)變量X是相同的，均表示為在設(shè)計(jì)過(guò)程中由設(shè)計(jì)者選擇并最終需要確定的各項(xiàng)獨(dú)立變量，且與時(shí)間無(wú)關(guān)。但動(dòng)態(tài)優(yōu)化中增加了與時(shí)間t有關(guān)的狀態(tài)變量z(t)，它反映了機(jī)械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，是一個(gè)與空間和時(shí)間有關(guān)的變量。因此，動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題需用初值一邊值問(wèn)題來(lái)描述。一般來(lái)說(shuō)，設(shè)計(jì)者不能直接控制狀態(tài)變量，而只能通過(guò)調(diào)節(jié)或改變?cè)O(shè)計(jì)變量來(lái)間接控制狀態(tài)變量。一旦設(shè)計(jì)變量確定，機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性就成為時(shí)間的函數(shù)。本書所討論的機(jī)械結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，就是在選定初始設(shè)計(jì)變量的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，因此，狀態(tài)變量z(t)僅表現(xiàn)為時(shí)間的函數(shù)。 如前所述，一般情況下，機(jī)械結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)為一泛函，因此，需使用變分法求其泛函的條件極值問(wèn)題。變分法的基本原理以及含有等式約束條件的泛函極值問(wèn)題，已在本書第1章中作過(guò)討論。現(xiàn)再對(duì)其含有不等式約束條件的泛函極值問(wèn)題作一簡(jiǎn)介，因?yàn)楣こ虒?shí)踐中大多數(shù)動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題都含有不等式約束。 根據(jù)上述動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)汁問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型式(917)，優(yōu)化問(wèn)題中含有m個(gè)及k個(gè)不等式約束條件。根據(jù)變分法求解泛函極值問(wèn)題的基本原理，對(duì)于含有不等式約束條件的泛函極值問(wèn)題，拉格朗日乘子法不能直接使用。但若能設(shè)法將不等式約束化為等式約束，則仍可使用拉格朗日乘子法求解其極值問(wèn)題。例如，對(duì)于數(shù)學(xué)模型中的不等式約束式，可以引入松弛變量αv，使其轉(zhuǎn)換為等式約束 gv[X，t，z(t)]+αv2＝0 v=1，2，…，m (918) 該函數(shù)在拉格朗日函數(shù)中的形式為μv{gv[X，t，z(t)]+αv2}，因而對(duì)應(yīng)于αv的歐拉方程為[1，12]2μvαv＝0 (919)顯然，若αv＝0，表明最優(yōu)軌跡處于約束邊界上；若μv＝0，則表明該約束實(shí)際上為不起作用約束，最優(yōu)軌跡在約束的內(nèi)部。 工程實(shí)踐中，也可對(duì)上述不等式約束gv≤0作如下的等價(jià)處理[5]：設(shè)約束函數(shù)為gv[X，t，z(t)]≤0，(0≤t≤τ)，v＝1，2，…，m。若gv為連續(xù)函數(shù)，可用等價(jià)積分約束條件 (920)代替不等式約束gv≤0。式中 (921) 顯然，函數(shù)gv(t)為一非負(fù)函數(shù)。它表示不等式約束gv≤0必須滿足，等價(jià)積分約束條件式(920)才能夠成立。于是，根據(jù)上述動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，可構(gòu)造如下的拉格朗日函數(shù)[12，13] (922)式中，向量q(ζ，X)為與時(shí)間無(wú)關(guān)的不等式約束，如對(duì)設(shè)計(jì)變量的尺寸及特征值約束等。向量g＝(g1, g2,…, gm)T，向量h＝(h1, h2,…,hp)T。對(duì)式(922)取一次變分并令其等于零，得(923)對(duì)式中項(xiàng)作分部積分，得將上式代入式(923)，得 (924)因δζ，δX，δz取值為任意的且不為零，故可由式(924)得下列方程組 (925) 理論上，求解方程組式(925)，即可求得最優(yōu)解X*。但實(shí)際上，直接求解上述方程組非常困難，一般需采用迭代法求其近似解。 由于上述優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型不大可能同時(shí)是z和X的線性方程，所以，優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題很少歸結(jié)為凸規(guī)劃問(wèn)題。對(duì)于一般的非線性規(guī)劃問(wèn)題，最優(yōu)點(diǎn)往往落在可行域的邊界上。若目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)在可行域之外，則目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度方向也指向可行域之外，因而沿目標(biāo)函數(shù)負(fù)梯度方向的迭代已不能繼續(xù)進(jìn)行，否則將破壞約束條件。此時(shí)，為了使搜索最優(yōu)解的迭代過(guò)程能繼續(xù)下去，不僅要求搜索方向具有使目標(biāo)函數(shù)下降的性質(zhì)，而且要求滿足約束條件，即要求在這個(gè)方向上有可行點(diǎn)。這個(gè)具有可行點(diǎn)的方向稱為可行方向。在此方向上進(jìn)行迭代，即可求得最優(yōu)解X*。 關(guān)于上述非線性規(guī)劃問(wèn)題，也可根據(jù)下述庫(kù)恩—塔克最優(yōu)性必要條件導(dǎo)出。 設(shè)z*，X*為非線性規(guī)劃問(wèn)題 minf(z，X)，X∈En (926a) 滿足約束條件 gv(z，X)≤0，v＝1，2，…，m (926b) hu(z，X)=0，u＝1，2，…，p (926c)其中，f，gv，hu均假定具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。的最優(yōu)解。如果在z*，X*處，各起作用約束的梯度向量▽gv(z*，X*) (v＝1，2，…，m，v∈f(X*))和▽hu(z*，X*)(u＝1，2，…，p)線性無(wú)關(guān)，則存在乘子向量λ*∈Rp，μ*∈Rm，當(dāng)μ*≥0時(shí)，若定義廣義拉格朗日函數(shù) (927)則下述條件成立：?L(z*，X*)/?X＝0 (928a)?L(z*，X*)/?z＝0 (928b)g(z*，X*)≤0 (928c)h(z*，X*)=0 (928d)μ*T g(z*，X*)=0或μv*Tgv(z*，X*)=0，v＝1，2，…，m (928e)μ*≥0 (928f)滿足上述條件的點(diǎn)稱為庫(kù)恩—塔克點(diǎn)。 在一般非線性規(guī)劃問(wèn)題中，庫(kù)思—塔克點(diǎn)不一定是最優(yōu)點(diǎn)，即庫(kù)恩—塔克條件不是最優(yōu)解的充分條件。但對(duì)于凸規(guī)劃問(wèn)題(f是凸函數(shù)，gv是凹函數(shù)，hu為線性函數(shù))，庫(kù)恩—塔克條件則為充分必要條件[13]。于是，根據(jù)式(922)的拉格朗日函數(shù)，式(925)也可從庫(kù)恩—塔克準(zhǔn)則法歸結(jié)為另一種表達(dá)形式 (929)對(duì)于一般非線性規(guī)劃問(wèn)題，若要通過(guò)解等式與不等式方程組來(lái)求得庫(kù)恩—塔克點(diǎn)，通常是辦不到的，何況庫(kù)恩—塔克點(diǎn)不一定是最優(yōu)點(diǎn)。因此，需要用非線性規(guī)劃問(wèn)題的迭代方法(如后面討論的梯度投影算法)才能求得最優(yōu)解。 在完成機(jī)械結(jié)構(gòu)的總體方案、結(jié)構(gòu)及形狀設(shè)計(jì)后，整機(jī)結(jié)構(gòu)的初始設(shè)計(jì)已經(jīng)完成。在此基礎(chǔ)上，我們可以獲得設(shè)計(jì)變量的初始值，并建立起整機(jī)結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力分析和結(jié)構(gòu)修改。為獲得整機(jī)結(jié)構(gòu)的最佳設(shè)計(jì)方案，還應(yīng)對(duì)其進(jìn)行動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)，以使整機(jī)結(jié)構(gòu)在實(shí)際工況下具有最佳的動(dòng)態(tài)性能。