【文章內(nèi)容簡介】 轉(zhuǎn)屈曲，應(yīng)針對構(gòu)件有扭轉(zhuǎn)變形作用于構(gòu)件中的扭矩而后求解其扭轉(zhuǎn)屈曲荷載。構(gòu)件失穩(wěn)時(shí)產(chǎn)生的變形可能受到與其相連接構(gòu)件約束的影響，有時(shí)甚至還可能與整個(gè)結(jié)構(gòu)的變形有關(guān)，因此需要著眼于整個(gè)結(jié)構(gòu)來分析穩(wěn)定問題。由于所研究的結(jié)構(gòu)變形與荷載之間呈非線性關(guān)系，因此穩(wěn)定計(jì)算屬于幾何非線性問題，采用的是二階分析的方法。這種分析方法與普通結(jié)構(gòu)力學(xué)中的內(nèi)力計(jì)算不同。對于靜定結(jié)構(gòu)，內(nèi)力計(jì)算與結(jié)構(gòu)的變形無關(guān)，屬于一階分析；對于超靜定結(jié)構(gòu)，雖然在確定其中贅余力的過程中要計(jì)及結(jié)構(gòu)變形協(xié)調(diào)，但是在已經(jīng)確定了贅余力之后，是在原來未變形結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上計(jì)算各部分的內(nèi)力的，沒有再考慮結(jié)構(gòu)的變形，因此又恢復(fù)到了一階分析的方法。計(jì)算所得內(nèi)力，如拉力、壓力、切力或彎矩都是結(jié)構(gòu)的荷載效應(yīng)。穩(wěn)定計(jì)算將涉及構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的一系列初始條件，如結(jié)構(gòu)體系、構(gòu)件的幾何長度、連接條件、截面的組成、形狀、尺寸和殘余應(yīng)力分布，以及鋼材性能和外荷載作用等。穩(wěn)定計(jì)算所給出的，不論是屈曲荷載還是極限荷載，都標(biāo)志著所計(jì)算構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定承載力。鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)如果不符合穩(wěn)定承載力要求，有可能由于個(gè)別構(gòu)件喪失穩(wěn)定性而導(dǎo)致整個(gè)結(jié)構(gòu)塌落[27]。穩(wěn)定問題的計(jì)算方法有以下三種： 平衡法中性平衡法或靜力平衡法，簡稱平衡法，是求解結(jié)構(gòu)穩(wěn)定極限荷載的最基本的方法。對于有平衡分岔點(diǎn)的彈性穩(wěn)定問題，在分岔點(diǎn)存在著兩個(gè)極為鄰近的平衡狀態(tài)，一個(gè)是原結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)，一個(gè)是已經(jīng)有了微小變形的結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)。平衡法是根據(jù)已產(chǎn)生了微小變形后結(jié)構(gòu)的受力條件建立平衡方程而后求解的。如果得到的符合平衡方程的解有不止一個(gè)，那么其中具有最小值的一個(gè)才是該結(jié)構(gòu)的分岔屈曲荷載。平衡法只能求解屈曲荷載，但不能判斷結(jié)構(gòu)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。盡管如此，由于常常只需要得到結(jié)構(gòu)的屈曲荷載，所以經(jīng)常采用平衡法。在許多情況下，采用平衡法可以獲得精確解。 能量法如果結(jié)構(gòu)承受著保守力，可以根據(jù)有了變形的結(jié)構(gòu)的受力條件建立總的勢能，總的勢能是結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能和外力勢能兩項(xiàng)之和。如果結(jié)構(gòu)處在平衡狀態(tài)，那么總勢能必有駐值。根據(jù)勢能駐值原理，先由總勢能對于位移的一階變分為零,可得到平衡方程，再由平衡方程求解分岔屈曲荷載。按照小變形理論，能量法一般只能獲得屈曲荷載的近似解；但是，如果事先能夠了解屈曲后的變形形式。采用此變形形式作計(jì)算可以得到精確解。能量法用于大撓度理論分析，可以判斷屈曲后的平衡是否穩(wěn)定．，當(dāng)有微小干擾時(shí)其勢能有變化，在平衡位置勢能對位移的一階微分都是零。(a)的勢能具有最小值，她的二階微分是正值，平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。穩(wěn)定平衡時(shí)總勢能最小的原理稱為最小勢能原理。(b)的勢能具有最大值，它的二階微分是負(fù)值，平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。(c)的二階微分仍為零，屬于中性平衡。這就是說，用總勢能駐值原理可以求解屈曲荷載，而用總勢能最小原理可以判斷屈曲后平衡的穩(wěn)定性。 動(dòng)力法處于平衡狀態(tài)的結(jié)構(gòu)體系，如果施加微小干擾使其發(fā)生振動(dòng)，這時(shí)結(jié)構(gòu)的變形和振動(dòng)的加速度都和已經(jīng)作用在結(jié)構(gòu)上的荷載有關(guān)。當(dāng)荷載小于穩(wěn)定的極限值時(shí)，加速度和變形的方向相反，因此干擾撤去以后，運(yùn)動(dòng)趨于靜止，結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的；當(dāng)荷載大于極限值時(shí)，加速度和變形的方向相同，即使將干擾撤去，運(yùn)動(dòng)仍然是發(fā)散的，因此結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的；臨界狀態(tài)的荷載即為結(jié)構(gòu)的屈曲荷載，可由結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率為零的條件解得[28]。在平衡法和能量法的運(yùn)算過程中，有用解析法求解的，也有用數(shù)值法求解的。利用計(jì)算機(jī)技術(shù)的數(shù)值法已經(jīng)成為近代研究結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問題的一種基本方法。 穩(wěn)定計(jì)算的近似方法平衡法建立微彎狀態(tài)時(shí)的平衡微分方程來求解屈曲荷載，可以得到精確解，但是很多軸心受壓構(gòu)件，如非等截面的或者壓力沿軸線變化的構(gòu)件等，因?yàn)樗⒌氖亲兿禂?shù)微分方程，求解十分困難，有時(shí)甚至無法直接求解，這時(shí)需要采用近似法。能量法是解決受力條件較復(fù)雜或者結(jié)構(gòu)組成條件較復(fù)雜的彈性穩(wěn)定問題的很有效的近似法。有的近似法如能量法在求解過程中需預(yù)先假定構(gòu)件的近似的變形曲線，用一個(gè)有限自由度的體系來代替實(shí)際的無限自由度的連續(xù)體，前者用一個(gè)或一組代數(shù)方程表示，而后者用一個(gè)或幾個(gè)微分方程表示。用比較容易求解的代數(shù)方程，來代替很難求解甚至無法求解的微分方程，這是許多近似方法采用的處理方法。數(shù)值法有時(shí)采用局部范圍的插值函數(shù)來逼近構(gòu)件實(shí)際的撓曲線，由于數(shù)值法的計(jì)算過程具有很強(qiáng)的規(guī)律性，因此便于應(yīng)用電子計(jì)算機(jī)求解，且有條件提高求解的精確度，特別是用于求解彈塑性穩(wěn)定問題。本文將闡述幾種求解的近似方法[2932]。 瑞利一里茲法瑞利—里茲法是應(yīng)用勢能駐值原理，直接求解總勢能為不變時(shí)的條件變分極值問題。這一瑞利—里茲法可用于解決三向位移的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問題。今假定結(jié)構(gòu)屈曲時(shí)在坐標(biāo)軸X，Y和Z三個(gè)方向的位移分別是u，v和w，它們的試解函數(shù)可以用下列多項(xiàng)函數(shù)表示： (2．1) (2．2) (2．3)式中,包括(i=1,2，3，…n)是待定的3n個(gè)獨(dú)立參數(shù)。稱為廣義坐標(biāo)：，和是3n個(gè)連續(xù)的獨(dú)立坐標(biāo)函數(shù)，這些坐標(biāo)函數(shù)雖然可以任意假定，但是必須滿足幾何邊界條件。這樣將它們代入總勢能表達(dá)式后，根據(jù)勢能駐值原理，即總勢能的一階變分為零，就可確定這具有3n個(gè)獨(dú)立參數(shù)結(jié)構(gòu)的三個(gè)方向的位移。這相當(dāng)于把具有無限自由度的連續(xù)體轉(zhuǎn)化為3n個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)體系。在分岔屈曲的穩(wěn)定問題中，面臨的將是3n個(gè)線性齊次方程組。為了得到，和的非零解，有它們的系數(shù)形成的行列式應(yīng)為零。由于在行列式中含有荷載項(xiàng)，從而可以得到屈曲荷載。所以用瑞利—里茲法求解得到的并非是結(jié)構(gòu)的位移函數(shù)，而是屈曲荷載。如果在3n個(gè)代數(shù)方程組中含有常數(shù)項(xiàng)，那么用瑞利—里茲法可以得到荷載和位移之間的關(guān)系式。 迦遼金法瑞利—里茲法先要寫出在外力作用下結(jié)構(gòu)的總勢能，再有一階變分為零這一條件引出一組聯(lián)立方程，這一組方程都是通過微分得到的。而迦遼金法則直接利用了勢能駐值條件中的平衡微分方程式，不再需要寫出總勢能，但是這樣做的前提是所選位移函數(shù)必須滿足幾何邊界條件，又滿足自然邊界條件，這樣得到的平衡方程將是： 如果用L(y)，表示上面括弧中的諸項(xiàng)，也即(El+py)，這樣一來，上面的平衡方程可以寫成更普遍的形式：設(shè)位移函數(shù),對此位移求一階變分，得到：將式()代入式()，但是在上式中，…,。都是不等于零的微小的任意值，而式()是恒等式，因此只有 ()式()稱為迦遼金方程組，它們都具有積分的形式，經(jīng)過積分以后，得到含有,…。的幾個(gè)聯(lián)立方程組，如果此方程組均為無常數(shù)項(xiàng)的齊次方程，則通過其系數(shù)行列式為零可得到構(gòu)件的屈曲荷載。如式()為非齊次方程組，則可解得,…。，從而得到近似的撓曲線函數(shù)、最大撓度和最大彎矩。 其它數(shù)值方法用差分法求解構(gòu)件的屈曲荷載時(shí)。分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)用了其相鄰兩分段點(diǎn)之間的斜率，如分段數(shù)太少，分段點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的誤差將很大，這樣用差分法求解得到的屈曲載荷必然誤差較大。對于彈塑性狀態(tài)失穩(wěn)的構(gòu)件，如壓彎構(gòu)件的彈塑性彎扭屈曲問題，由于沿構(gòu)件的軸線方向諸截面因彈性區(qū)不同，因此有效的幾何性質(zhì)是變化的，撓曲線上各相鄰點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)必然有較大差別，其高階導(dǎo)數(shù)相差更大，為了提高精確度，必須加密分段點(diǎn)，這樣勢必加大計(jì)算工作量，同時(shí)邊界點(diǎn)延伸線上虛擬點(diǎn)的函數(shù)也會(huì)帶來誤差。為了獲得較高精確解，還有別的數(shù)值方法可供選用，如有限積分法，和有限元法，本文將不再論述這兩種方法，有興趣的讀者，可以去查看文獻(xiàn)。 本文將采用瑞利—里茲法對幾組楔形鋼梁的穩(wěn)定性進(jìn)行研究。 懸臂鋼梁總勢能公式 構(gòu)件的總勢能∏是應(yīng)變能U和外力勢能V之和。由于構(gòu)件的壓縮應(yīng)變能和剪切應(yīng)變能的影響較小，故可忽略不計(jì)。這樣應(yīng)變能包括了平面內(nèi)的彎曲應(yīng)變能，側(cè)向彎曲應(yīng)變能，純扭矩應(yīng)變能和翹曲應(yīng)變能四個(gè)部分。，彎曲應(yīng)變能和的計(jì)算公式為： () () 構(gòu)件發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，微段dz的扭轉(zhuǎn)角變化為d,因純扭矩M，引起的應(yīng)變能增量為d=,而，故： （） 翹曲應(yīng)變能增量包括翹曲正應(yīng)力和翹曲剪應(yīng)力與相應(yīng)的應(yīng)變所做功之和，但因引起的應(yīng)變能與引起的應(yīng)變能相比小很多，通常可略去不計(jì)，這樣： () 上面式()、式()、式()、式()中：E彈性模量G剪變模量對x軸的截面慣性矩對Y軸的截面慣性 扇性慣性矩(翹曲慣性矩) 抗扭慣性矩(圣維南扭轉(zhuǎn)常數(shù)) u，v，如圖2．8所示位移因此 ()外力勢能等于外力功的負(fù)值，即V=W，為了得到外力勢能，可以先計(jì)算外力功。對任意截面簡支壓彎構(gòu)件，在構(gòu)件兩端作用有軸心壓力P和雙向彎矩M，和M，的條件下，得出外力功計(jì)算公式:()式中：極回轉(zhuǎn)半徑，殘余應(yīng)力的Wagner效應(yīng)系數(shù)，不對稱截面常數(shù)，剪心坐標(biāo)這樣壓彎構(gòu)件總勢能的表達(dá)式為： ()因?yàn)槲从?jì)屈曲前變形，故()式與求解彎扭屈曲無關(guān)，在梁中性平衡狀態(tài)時(shí)的總勢能計(jì)算中，以Y方向的位移v已經(jīng)發(fā)生過的狀態(tài)為參考狀態(tài)，這樣計(jì)算較簡便，同時(shí)知位移v的方程與求臨界彎矩?zé)o關(guān)。即以v已經(jīng)發(fā)生過而u尚未發(fā)生的狀態(tài)為參考狀態(tài)，則應(yīng)變能只與側(cè)向撓度u及轉(zhuǎn)角變形有關(guān)，即只與()、()、()式有關(guān)。，在橫向均布荷載和自由端集中荷載作用下，不計(jì)殘余應(yīng)力的影響，用能量法求解臨界彎矩時(shí)的總勢能。當(dāng)構(gòu)件發(fā)生側(cè)移時(shí)，荷載在平易過程中，總的勢能并無變化；但是當(dāng)構(gòu)件饒截面的剪心扭轉(zhuǎn)時(shí)，荷載作用點(diǎn)位于剪心之上的距離為 a 時(shí)將下落一端距離,因此增加的外力勢能是。這樣一來總勢能的表達(dá)式為 () 式中：E彈性模量G剪變模量對y軸的截面慣性 扇性慣性矩(翹曲慣性矩) 不對稱截面系數(shù) 3 楔形截面懸臂鋼梁臨界載荷公式推導(dǎo)及有限元分析 楔形截面懸臂鋼梁臨界荷載公式推導(dǎo)由于變截面構(gòu)件的截面尺寸是連續(xù)變化的，所以在分析過程中要考慮截面變化傾角的影響。在本文中只研究變截面懸臂鋼梁的整體穩(wěn)定性，變截面鋼梁應(yīng)滿足三個(gè)基本條件：(1)截面為雙軸對稱工字型截面；(2)翼緣尺寸不變；(3)腹板厚度不變，高度隨鋼梁長度線性變化。 基本假定及計(jì)算簡圖1．基本假定根據(jù)變截面構(gòu)件及其滿足形變理論假定，在變截面梁整體穩(wěn)定分析過程中采用下列假設(shè)：(1)材料是彈性體，且為各向同性的；(2)梁的長度大小同截面的尺寸相比是很大的；(3)每個(gè)截面在它自身的平面內(nèi)是剛性的；(4)構(gòu)件中性面上的剪切變形可以忽略不計(jì)。(5)構(gòu)件的加載過程為簡單加載；(6)荷載作用在腹板平面內(nèi)，無偏心；(7)外荷載作用點(diǎn)發(fā)生位移時(shí)，假定荷載作用線方向保持不變；(8)變形微小。2．計(jì)算簡圖 總勢能公式的簡化處理由上圖可知，懸臂梁坐標(biāo)z處的腹板高度為hztga坐標(biāo)z處繞Y軸的截面慣性矩令，故: ()坐標(biāo)z處截面的翹曲慣性矩令，故：