數(shù)值分析第五版答案(全)(編輯修改稿)
2024-07-21 21:25 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 4。用辛普森公式求積分并估計誤差。解：辛普森公式為此時，從而有誤差為5。推導下列三種矩形求積公式：證明：兩邊同時在上積分，得即兩邊同時在上積分，得即兩連邊同時在上積分，得即6。若用復(fù)化梯形公式計算積分，問區(qū)間應(yīng)人多少等分才能使截斷誤差不超過？若改用復(fù)化辛普森公式，要達到同樣精度區(qū)間應(yīng)分多少等分？解：采用復(fù)化梯形公式時，余項為又故若，則當對區(qū)間進行等分時，故有因此，將區(qū)間213等分時可以滿足誤差要求采用復(fù)化辛普森公式時，余項為又若，則當對區(qū)間進行等分時故有因此，將區(qū)間8等分時可以滿足誤差要求。7。如果，證明用梯形公式計算積分所得結(jié)果比準確值大，并說明其幾何意義。解：采用梯形公式計算積分時，余項為又且又即計算值比準確值大。其幾何意義為，為下凸函數(shù)，梯形面積大于曲邊梯形面積。8。用龍貝格求積方法計算下列積分，使誤差不超過.解：0123因此01因此012345因此9。用的高斯勒讓德公式計算積分解：令，則用的高斯—勒讓德公式計算積分用的高斯—勒讓德公式計算積分10 地球衛(wèi)星軌道是一個橢圓，橢圓周長的計算公式是這是是橢圓的半徑軸，c是地球中心與軌道中心（橢圓中心）的距離，記h為近地點距離，H為遠地點距離，R=6371（km）為地球半徑，則我國第一顆地球衛(wèi)星近地點距離h=439(km)，遠地點距離H=2384(km）。試求衛(wèi)星軌道的周長。解：從而有。012即人造衛(wèi)星軌道的周長為48708km11。證明等式 試依據(jù)的值，用外推算法求的近似值。解 若又此函數(shù)的泰勒展式為當時, 當時, 當時, 由外推法可得n369故12。用下列方法計算積分，并比較結(jié)果。(1)龍貝格方法；(2)三點及五點高斯公式；(3)將積分區(qū)間分為四等分，用復(fù)化兩點高斯公式。解(1)采用龍貝格方法可得k01234故有(2)采用高斯公式時此時令則利用三點高斯公式，則利用五點高斯公式，則(3)采用復(fù)化兩點高斯公式將區(qū)間四等分，得作變換，則作變換，則作變換，則作變換，則因此，有，并估計誤差。的值由下表給出：x F(x) 解：由帶余項的三點求導公式可知又又又故誤差分別為利用數(shù)值積分求導，設(shè)由梯形求積公式得從而有故又且從而有故即解方程組可得第5章 數(shù)值分析課后習題全解第5章：解線性方程組的直接方法1． 證明：由消元公式及A的對稱性得 故對稱2．證明：（1）因A對稱正定，故 其中=（0,…,0,1,0,...,0）為第i個單位向量.(2)由A的對稱性及消元公式得 == =，I,j=2,…,n 故也對稱. 又 = 其中 顯然非其異,從而對任意的x0,有 X0,(x,AX)=(x, AX)0 (由A的正定性)故正定.又=,而0,故正定. 由矩陣乘法簡單運算即得證. 設(shè)有分解 = 由公式 其中,分別是系數(shù)矩陣的主對角線元素及下邊和上邊的次對角線元 從而有 = 故 = =, == =, = 故=1,=,=,=5. 解 (1)設(shè)U為上三角陣 =因=，故=.因 +=,故 =,i=n1,n2,1當U為下三角陣時 = 得,=, =,i=2,3,…,n.(2)除法次數(shù)為n,乘法次數(shù)為 1+2+…+(n1)=n(n1)/2故總的乘法次數(shù)為n+n(n1)/2=n(n+1)/2.(3)設(shè)U為上三角陣,=S, =得 , i=1,2,…,n =,j=i+1,i+2,…,n。 i=n1,n2,…,1當U為下三角陣時,由 = 得 ,i=1,2,…,n=,i=2,3,…,n。j=1,2,…,i16. 證明 (1)因A是對稱正定陣,故存在唯一的分解A=L,其中L是具有正對 =(L)=()L=(L) L (A)===故是對稱矩陣. 又非奇異,故對任意的 x0,有x0,故 X==0故是對稱正定矩陣,即也對稱正定. (2)由A對稱正盯,故A的所有順序主子式均不為零,從而A有唯一的Doolittle分解A= U==D 其中D為對三角陣, 為單位上三角陣,于是 A=U=D 又 A==D由分解的唯一性即得 =從而有 A=D又由A的對稱正定性知 =0, =0 (i=2,3,…,n)故 D== =故A=D==()()=LL其中L=為三角元為正的下三角矩陣.7. 解[A|I]= == 8． 解 設(shè)有分解 = 由公式 其中，分別是系數(shù)矩陣的主角線元素及其下邊和上邊的次對角線元素，則有 ， ， ， ， ， ， ， 由 得=，，
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