和差化積、積化和差、萬能公式(編輯修改稿)
2025-07-20 06:04 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ；正弦的和差化作異名三角函數(shù)的乘積。 (αβ)/2的三角函數(shù)名規(guī)律為：和化為積時，以cos(αβ)/2的形式出現(xiàn)；反之，以sin(αβ)/2的形式出現(xiàn)。 由函數(shù)的奇偶性記憶這一點是最便捷的。如果要使和化為積，那么α和β調(diào)換位置對結(jié)果沒有影響，也就是若把(αβ)/2替換為(βα)/2，結(jié)果應(yīng)當(dāng)是一樣的，從而(αβ)/2的形式是cos(αβ)/2；另一種情況可以類似說明。 余弦余弦差公式中的順序相反/負(fù)號 這是一個特殊情況，完全可以死記下來。 當(dāng)然，也有其他方法可以幫助這種情況的判定，如(0,π]內(nèi)余弦函數(shù)的單調(diào)性。因為這個區(qū)間內(nèi)余弦函數(shù)是單調(diào)減的，所以當(dāng)α大于β時，cosα小于cosβ。但是這時對應(yīng)的(α+β)/2和(αβ)/2在(0,π)的范圍內(nèi)，其正弦的乘積應(yīng)大于0，所以要么反過來把cosβ放到cosα前面，要么就在式子的最前面加上負(fù)號。積化和差公式 sinαsinβ=[cos(αβ)cos(α+β)]/2（注意：此時差的余弦在和的余弦前面） 或?qū)懽鳎簊inαsinβ=[cos(α+β)cos(αβ)]/2（注意：此時公式前有負(fù)號） cosαcosβ=[cos(αβ)+cos(α+β)]/2 sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(αβ)]/2 cosαsinβ=[sin(α+β)sin(αβ)]/2 編輯本段證明 積化和差恒等式可以通過展開角的和差恒等式的右手端來證明。 即只需要把等式右邊用兩角和差公式拆開就能證明： sinαsinβ=1/2[2sinαsinβ] =1/2[(cosαcosβsinαsinβ)(cosαcosβ+sinαsinβ)] =1/2[cos(α+β)cos(αβ)] 其他的3個式子也是相同的證明方法。 ?。▍⒁姾筒罨e） 編輯本段作用 積化和差公式可以將兩個三角函數(shù)值的積化為另兩個三角函數(shù)值的和乘以常數(shù)的形式，所以使用積化和差公式可以達(dá)到降次的效果。 在歷史上，對數(shù)出現(xiàn)之前，積化和差公式被用來將乘除運算化為加減運算，運算需要利用三角函
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