【文章內(nèi)容簡介】 11 解：設(shè)B點(diǎn)是繩子AB與圓盤的切點(diǎn)，由于繩子相對(duì)圓盤無滑動(dòng)，所以，由于繩子始終處于拉直狀態(tài)，因此繩子上A、B兩點(diǎn)的速度在 A、B兩點(diǎn)連線上的投影相等，即： （a）因?yàn)? （b）將上式代入（a）式得到A點(diǎn)速度的大小為： （c）由于，（c）式可寫成：，將該式兩邊平方可得：將上式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得：將上式消去后，可求得： (d)由上式可知滑塊A的加速度方向向左，其大小為 AOBR取套筒A為研究對(duì)象，受力如圖所示，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)矢量形式的運(yùn)動(dòng)微分方程有：將該式在軸上投影可得直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程：其中：, 將其代入直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程可得1－13解：動(dòng)點(diǎn)：套筒A；動(dòng)系：OC桿；定系：機(jī)座；運(yùn)動(dòng)分析：絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)速度合成定理有：，因?yàn)锳B桿平動(dòng)，所以，由此可得：，OC桿的角速度為，所以 當(dāng)時(shí)，OC桿上C點(diǎn)速度的大小為： x1－15解：動(dòng)點(diǎn)：銷子M動(dòng)系1：圓盤動(dòng)系2：OA桿定系：機(jī)座；運(yùn)動(dòng)分析：絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：曲線運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)根據(jù)速度合成定理有， 由于動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)速度與動(dòng)系的選取無關(guān)，即，由上兩式可得： (a)將（a）式在向在x軸投影,可得：由此解得：1－17解：動(dòng)點(diǎn)：圓盤上的C點(diǎn)；動(dòng)系：O1A桿；定系：機(jī)座；運(yùn)動(dòng)分析：絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)； 相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)（平行于O1A桿）； 牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)速度合成定理有 （a）將（a）式在垂直于O1A桿的軸上投影以及在O1C軸上投影得：，，根據(jù)加速度合成定理有 （b）將（b）式在垂直于O1A桿的軸上投影得其中：，由上式解得：1－19解：由于ABM彎桿平移，所以有 ?。簞?dòng)點(diǎn)：滑塊M；動(dòng)系：OC搖桿；定系：機(jī)座；運(yùn)動(dòng)分析：絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)速度合成定理 可求得：，根據(jù)加速度合成定理 將上式沿方向投影可得：由于，，根據(jù)上式可得：， 120 MOAB解：取小環(huán)M為動(dòng)點(diǎn)，OAB桿為動(dòng)系運(yùn)動(dòng)分析絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。由運(yùn)動(dòng)分析可知點(diǎn)的絕對(duì)速度、相對(duì)速度和牽連速度的方向如圖所示，其中：根據(jù)速度合成定理： 可以得到： ，MOAB加速度如圖所示，其中：，根據(jù)加速度合成定理：將上式在軸上投影，可得：,由此求得：1－21Ox’y’解：求汽車B相對(duì)汽車A的速度是指以汽車A為參考系觀察汽車B的速度。取：動(dòng)點(diǎn)：汽車B；動(dòng)系：汽車A（Ox’y’）；定系：路面。運(yùn)動(dòng)分析絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（汽車A繞O做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)）求相對(duì)速度，根據(jù)速度合成定理 將上式沿絕對(duì)速度方向投影可得： y’因此 其中：，由此可得：x’O求相對(duì)加速度，由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)為圓周運(yùn)動(dòng)，相對(duì)速度的大小為常值，因此有：123 質(zhì)量為銷釘M由水平槽帶動(dòng)，使其在半徑為的固定圓槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)。設(shè)水平槽以勻速向上運(yùn)動(dòng)，不計(jì)摩擦。求圖示瞬時(shí)，圓槽作用在銷釘M上的約束力。MOMO 解：銷釘M上作用有水平槽的約束力和圓槽的約束力（如圖所示）。由于銷釘M的運(yùn)動(dòng)是給定的，所以先求銷釘?shù)募铀俣?，在利用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程求約束力。取銷釘為動(dòng)點(diǎn)，水平槽為動(dòng)系。由運(yùn)動(dòng)分析可知銷釘?shù)乃俣葓D如圖所示。MOMO根據(jù)速度合成定理有 由此可求出： 。再根據(jù)加速度合成定理有：由于絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是圓周運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)是勻速直線平移，所以，并且上式可寫成：因?yàn)?，所以根據(jù)上式可求出: 。根據(jù)矢量形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程有：將該式分別在水平軸上投影： 由此求出： 124 圖示所示吊車下掛一重物M，繩索長為，初始時(shí)吊車與重物靜止。若吊車從靜止以均加速度沿水平滑道平移。試求重物M相對(duì)吊車的速度與擺角的關(guān)系式。M解：由于要求重物相對(duì)吊車的速度，所以取吊車為動(dòng)系，重物M為動(dòng)點(diǎn)。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程有將上式在切向量方向投影有因?yàn)椋陨鲜娇蓪懗烧砩鲜娇傻脤⑸鲜椒e分：其中為積分常數(shù)（由初始條件確定），因?yàn)橄鄬?duì)速度，上式可寫成初始時(shí)，系統(tǒng)靜止，根據(jù)速度合成定理可知，由此確定。重物相對(duì)速度與擺角的關(guān)系式為：RRoFθORRoO126 水平板以勻角速度繞鉛垂軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，小球M可在板內(nèi)一光滑槽中運(yùn)動(dòng)（如圖78），初始時(shí)小球相對(duì)靜止且到轉(zhuǎn)軸O的距離為，求小球到轉(zhuǎn)軸的距離為時(shí)的相對(duì)速度。解：取小球?yàn)閯?dòng)點(diǎn)，板為動(dòng)系，小球在水平面的受力如圖所示（鉛垂方向的力未畫出）。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程有：將上式在上投影有 因?yàn)?，，所以上式可寫成整理該式可得? 將該式積分有： 初始時(shí),由此確定積分常數(shù)，因此得到相對(duì)速度為127 重為P的小環(huán)M套在彎成形狀的金屬絲上，該金屬絲繞鉛垂軸以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。試求小環(huán)M的相對(duì)平衡位置以及金屬絲作用在小環(huán)上的約束力。MM解：取小環(huán)為動(dòng)點(diǎn)，金屬絲為動(dòng)系，根據(jù)題意，相對(duì)平衡位置為，因?yàn)榻饘俳z為曲線，所以，因此在本題中相對(duì)平衡位置就是相對(duì)靜止位置。小環(huán)受力如圖所示。其中分別為約束力、牽連慣性力和小環(huán)的重力。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程有：其中：，將上式分別在軸上投影有 （a）以為，,因此 （b）由（a）式可得 （c）將和式（b）代入式（c），并利用 ，可得：再由方程（a）中的第一式可得 x21 解：當(dāng)摩擦系數(shù)足夠大時(shí)，平臺(tái)AB相對(duì)地面無滑動(dòng)，此時(shí)摩擦力取整體為研究對(duì)象，受力如圖，系統(tǒng)的動(dòng)量：將其在軸上投影可得：根據(jù)動(dòng)量定理有： 即：當(dāng)摩擦系數(shù)時(shí)，平臺(tái)AB的加速度為零。當(dāng)摩擦系數(shù)時(shí)，平臺(tái)AB將向左滑動(dòng)，此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)量為：將上式在軸投影有：根據(jù)動(dòng)量定理有：由此解得平臺(tái)的加速度為：（方向向左）x22 取彈簧未變形時(shí)滑塊A的位置為x坐標(biāo)原點(diǎn)，取整體為研究對(duì)象，受力如圖所示,其中為作用在滑塊A上的彈簧拉力。系統(tǒng)的動(dòng)量為：將上式在x軸投影：根據(jù)動(dòng)量定理有：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：2－4 取提起部分為研究對(duì)象，受力如圖(a)所示，提起部分的質(zhì)量為，提起部分的速度為，根據(jù)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)可知質(zhì)點(diǎn)并入的相對(duì)速度為，方向向下，大小為（如圖a所示）。y (a) (b)根據(jù)變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程有：將上式在y軸上投影有：由于，所以由上式可求得：。再取地面上的部分為研究對(duì)象，由于地面上的物體沒有運(yùn)動(dòng)，并起與提起部分沒有相互作用力，因此地面的支撐力就是未提起部分自身的重力，即：x2－5 將船視為變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)，取其為研究對(duì)象，受力如圖。根據(jù)變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程有：船的質(zhì)量為：，水的阻力為將其代入上式可得：將上式在x軸投影：。應(yīng)用分離變量法可求得由初始條件確定積分常數(shù)：，并代入上式可得：28 圖a所示水平方板可繞鉛垂軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，板對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)沿半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)，其相對(duì)方板的速度大小為（常量）。圓盤中心到轉(zhuǎn)軸的距離為。質(zhì)點(diǎn)在方板上的位置由確定。初始時(shí)，方板的角速度為零，求方板的角速度與角的關(guān)系。oM 圖a 圖 b解：取方板和質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象，作用在研究對(duì)象上的外力對(duì)轉(zhuǎn)軸z的力矩為零，因此系統(tǒng)對(duì)z軸的動(dòng)量矩守恒。下面分別計(jì)算方板和質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩。設(shè)方板對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩為，其角速度為，于是有設(shè)質(zhì)點(diǎn)M對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩為，取方板為動(dòng)系，質(zhì)點(diǎn)M為動(dòng)點(diǎn)，其牽連速度和相對(duì)速度分別為。相對(duì)速度沿相對(duì)軌跡的切線方向，牽連速度垂直于OM連線。質(zhì)點(diǎn)M相對(duì)慣性參考系的絕對(duì)速度。它對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩為其中：系統(tǒng)對(duì)z軸的動(dòng)量矩為。初始時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)對(duì)z軸的動(dòng)量矩為當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到圖812位置時(shí)，系統(tǒng)對(duì)z軸的動(dòng)量矩為由于系統(tǒng)