【文章內(nèi)容簡介】 障率是初始故障率和質(zhì)量與可靠性交互作用系數(shù)的函數(shù)，從而得出加工系統(tǒng)要素故障對系統(tǒng)可靠性的影響。 根據(jù)假設(shè)7，可得加工系統(tǒng)要素在當(dāng)前生產(chǎn)周期沒有故障的條件下，下一生產(chǎn)周期發(fā)生故障的條件概率與上游輸入產(chǎn)品尺寸偏差有關(guān)。同時加工系統(tǒng)要的故障率也與該要素的衰退狀態(tài)有關(guān)，如果系統(tǒng)要素磨損、疲勞等衰退狀況不嚴(yán)重，那么發(fā)生故障的概率就相對低，如果系統(tǒng)要素衰退嚴(yán)重，那么則發(fā)生故障的概率相對就高。 （12）其中為初始故障率。為非負(fù)的質(zhì)量可靠性交互系數(shù)，描述上游產(chǎn)品質(zhì)量對加工系統(tǒng)要素故障率的影響作用。為衰退可靠性系數(shù)，描述加工系統(tǒng)要素的衰退對其故障率的影響。為關(guān)鍵產(chǎn)品特征的規(guī)定目標(biāo)值，當(dāng)時，既關(guān)鍵產(chǎn)品特征為規(guī)定目標(biāo)值時，要素故障率最小。根據(jù)假設(shè)8，不同關(guān)鍵產(chǎn)品特征對加工系統(tǒng)要素故障的影響相互獨(dú)立，通過對公式（12）求期望，可得到要素i在生產(chǎn)周期t的故障率為： （13）其中。令表示對于所有p個加工系統(tǒng)要素到生產(chǎn)周期t為止，沒有發(fā)生要素故障的事件。對于多工序加工系統(tǒng)復(fù)雜的工序間偏差傳遞關(guān)系，傳統(tǒng)的系統(tǒng)可靠性分析理論僅僅考慮了各要素之間的相互關(guān)系，沒有考慮產(chǎn)品質(zhì)量和各要素的交互作用，不再適合于多工序加工系統(tǒng)可靠性分析。加工系統(tǒng)要素故障反映了加工要素的可靠性，關(guān)鍵產(chǎn)品特征反映了產(chǎn)品質(zhì)量，針對兩者的交互作用及其在多工序加工系統(tǒng)環(huán)境下的傳遞關(guān)系，提出了質(zhì)量可靠性集成模型（Quality Reliability Integrated Model, QRIM）。系統(tǒng)可靠性（System Reliability）是指生產(chǎn)系統(tǒng)可以正常運(yùn)行（加工系統(tǒng)要素機(jī)床、刀具、夾具等沒有發(fā)生故障）同時生產(chǎn)出合格產(chǎn)品（關(guān)鍵產(chǎn)品特征合格）的概率，表達(dá)式為：對系統(tǒng)可靠性建模如圖所示。由下圖可以看出，加工系統(tǒng)要素可靠性模型和產(chǎn)品質(zhì)量合格率模型除了分別和上一節(jié)提到的加工系統(tǒng)要素故障模型和下游產(chǎn)品偏差模型有關(guān)，還都與加工系統(tǒng)要素的衰退模型有關(guān)。圖23 多工序加工系統(tǒng)質(zhì)量可靠性集成建?？蚣芙Y(jié)構(gòu) 由于質(zhì)量可靠性交互作用中有多種因素的影響，質(zhì)量可靠性集成建模面臨著如下幾個相互不獨(dú)立的隨機(jī)過程：（1）隨機(jī)事件和相互不獨(dú)立：隨機(jī)事件和都和系統(tǒng)要素的狀態(tài)變量有關(guān)，因此兩者不是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件，既。 （2）系統(tǒng)要素的狀態(tài)變量和相互不獨(dú)立：通常來說，一個系統(tǒng)要素在當(dāng)前生產(chǎn)周期的狀態(tài)變量，不僅與該要素前一周期的狀態(tài)變量有關(guān)，還與其他系統(tǒng)要素有關(guān)。因此系統(tǒng)要素的衰退過程不是相互獨(dú)立的。 （3）不同系統(tǒng)要素的發(fā)生故障的事件相互不獨(dú)立：當(dāng)前工序的系統(tǒng)要素故障率取決于上游輸入產(chǎn)品的關(guān)鍵產(chǎn)品特征，而上游產(chǎn)品的關(guān)鍵特征尺寸又取決于上游不同系統(tǒng)要素的狀態(tài)變量。同一個關(guān)鍵產(chǎn)品特征可影響不同的系統(tǒng)要素故障，同一個關(guān)鍵產(chǎn)品特征又受到上游不同的系統(tǒng)要素狀態(tài)的影響。因此不同系統(tǒng)要素之間發(fā)生故障的事件不相互獨(dú)立。 （4）系統(tǒng)要素故障的雙隨機(jī)過程：由公式（13）和公式（9）可得，系統(tǒng)要素的故障率和隨機(jī)變量上游產(chǎn)品質(zhì)量有關(guān)，而上游產(chǎn)品質(zhì)量又和隨機(jī)變量上游系統(tǒng)要素狀態(tài)有關(guān)，因此質(zhì)量可靠性集成建模中的系統(tǒng)要素的故障是一個“雙重隨機(jī)泊松過程”[21]。為了解決上節(jié)所提到的幾個相互不獨(dú)立的隨機(jī)過程，本文將質(zhì)量可靠性的集成建模過程分三個步驟完成。步驟（1），假定所有系統(tǒng)要素在全部生產(chǎn)周期的狀態(tài)變量為確定事件，因此系統(tǒng)要素故障由一個雙重隨機(jī)泊松過程變成一個非齊次泊松過程，從而消除隨機(jī)事件和的相關(guān)性。步驟（2），通過對系統(tǒng)要素狀態(tài)變量求期望，由第一步得到的條件概率，得到隨機(jī)事件和的概率，進(jìn)而得到系統(tǒng)可靠性的概率。步驟（3），將第二步得到的表達(dá)式轉(zhuǎn)換成多元正態(tài)隨機(jī)分布的概率密度函數(shù)形式，通過蒙特卡洛模擬得到相應(yīng)的值。步驟（1），確定狀態(tài)變量，消除隨機(jī)事件和的相關(guān)性。1）系統(tǒng)要素不發(fā)生故障的概率令，通過確定加工系統(tǒng)要素的衰退路徑，使隨機(jī)事件和相互獨(dú)立所以多工序加工系統(tǒng)可靠性為： （14） 由于確定了系統(tǒng)要素的衰退路線，要素的故障變?yōu)闉楠?dú)立的非齊次泊松過程?？紤]到所有的要素串聯(lián)在一起，所以系統(tǒng)要素不發(fā)生故障的概率為： （15）由公式（13）和公式（9）可得：其中，將以上結(jié)果代入公式（15），可得到：令因?yàn)榫仃囍械脑鼐鶠榉秦?fù)值，并且矩陣為半正定矩陣，所以矩陣也為半正定矩陣。令。同時，令，可得:。 （16）又令，其中，為KK的單位矩陣。由公式（15）和公式（16）可得： （17） 2）產(chǎn)品質(zhì)量合格的概率 如果出現(xiàn)質(zhì)量不合格產(chǎn)品，說明加工系統(tǒng)無法完成既定功能，根據(jù)本文系統(tǒng)可靠性的定義，視為該系統(tǒng)不可靠。定義一個域，當(dāng)系統(tǒng)要素狀態(tài)變量在這個域中時，對應(yīng)的產(chǎn)品質(zhì)量合格，根據(jù)公式（9）和公式（10）可得： 如果記，否則，記。那么有： （18） 3）系統(tǒng)可靠性由前文定義可知，多工序加工系統(tǒng)系統(tǒng)可靠性指加工系統(tǒng)要素沒有故障同時生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量合格，由公式（14）、公式（17）和公式（18）可得，當(dāng)確定了系統(tǒng)要素衰退路徑以后，系統(tǒng)可靠性為： （19） 步驟（2），對系統(tǒng)要素狀態(tài)變量求期望，得到系統(tǒng)可靠性的表達(dá)式。對公式（19）求期望可得： （20） 由公式（3）可知，為多元正態(tài)分布。令，其期望矩陣和協(xié)方差矩陣可通過下列公式獲得。 存在一個常矩陣，使得 （21）其中。由公式（21）得：， 為了表達(dá)方便，做如下標(biāo)記： 因?yàn)榫隙嘣龖B(tài)分布，所以可得： 由此可知，代入公式（20）可得：（22）步驟（3），通過概率密度函數(shù)轉(zhuǎn)換和蒙特卡洛模擬求得多工序加工系統(tǒng)可靠性的值。觀察公式(23)，尋找合適代換，將其轉(zhuǎn)換成多元正態(tài)分布概率密度函數(shù)的表達(dá)式。因?yàn)槭钦ň仃?，是半正定矩陣，所以為正定矩陣。令，，所以有：?3） 令為一個符合元正態(tài)分布的隨機(jī)變量，那么根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)可知，的概率密度函數(shù)為： （24） 將公式（23）和公式（24）帶入公式（22），可得系統(tǒng)可靠性表達(dá)式為： （25）（1）蒙特卡洛法介紹蒙特卡洛法是通過隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)或隨機(jī)摸擬，求解數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)問題近似解的數(shù)值方法，因此也稱為統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)法或隨機(jī)模擬法。對求解問題本身就具有概率和統(tǒng)計(jì)性的情況，例如中子在介質(zhì)中的傳播，核衰變過程等，我們可以使用直接蒙特卡洛模擬方法。該方法是按照實(shí)際問題所遵循的概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律，用電子計(jì)算機(jī)進(jìn)行直接的抽樣試驗(yàn)，然后計(jì)算其統(tǒng)計(jì)參數(shù)。直接蒙特卡洛模擬法最充分體現(xiàn)出蒙特卡洛方法無可比擬的特殊性和優(yōu)越性，因而在物理學(xué)的各種各樣問題中得到廣泛的應(yīng)用。該方法也就是通常所說的“計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)”。蒙特卡洛方法也可以人為地構(gòu)造出一個合適的概率模型，依照該模型進(jìn)行大量的統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)，使它的某些統(tǒng)計(jì)參量正好是待求問題的解。當(dāng)問題可以抽象為某個確定的數(shù)學(xué)問題時，應(yīng)當(dāng)首先建立一個恰當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ?，即確定某個隨機(jī)事件A或隨機(jī)變量X，使得待求的解等于隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率或隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值。然后進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，即重復(fù)多次地模擬隨機(jī)事件A或隨機(jī)變量X。最后對隨機(jī)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均，求出A出現(xiàn)的頻數(shù)或X的平均值作為問題的近似解。這也就是所謂的間接蒙特卡洛方法。由于高速電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展，蒙特卡洛方法在工程領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。在可靠性設(shè)計(jì)中，蒙特卡洛方法可以確定復(fù)雜隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)字特征，通過隨機(jī)模擬估算系統(tǒng)和零件的可靠度，模擬隨機(jī)過程、尋求系統(tǒng)最優(yōu)化參數(shù)等。它是以統(tǒng)計(jì)抽樣理論為基礎(chǔ)，用隨機(jī)數(shù)對有關(guān)獨(dú)立隨機(jī)變量進(jìn)行抽樣實(shí)驗(yàn)或隨機(jī)模擬，以求得隨機(jī)函數(shù)的函數(shù)值、統(tǒng)計(jì)數(shù)字特征值(如均值、概率等)和分布，作為待解問題的數(shù)值解?？蓱?yīng)用于隨機(jī)函數(shù)服從任意分布，既可解決不確定的問題，也可以用于解決確定性的問題。概率論中的大數(shù)法則和中心極限定理是蒙特卡洛方法的基礎(chǔ)。大數(shù)法則反映了大量隨機(jī)數(shù)之和的性質(zhì)。大數(shù)法則保證了在抽取足夠多的隨機(jī)樣本后，計(jì)算得到的積分的蒙特卡洛估計(jì)值將收斂于該積分的正確結(jié)果。若要對收斂的程度進(jìn)行研究，并做出各種誤差估計(jì)，則要用到中心極限定理。中心極限定理告訴我們：在有足夠大，但又有限的抽樣數(shù)n的情況下，蒙特卡洛估計(jì)值是如何分布的。中心極限定理可以給出蒙特卡洛估計(jì)值的偏差（2）蒙特卡洛法求多元積分由于積分域的復(fù)雜性和積分的多元性，為了提高計(jì)算效率，采用蒙特卡洛法。首先，產(chǎn)生個符合期望為方差為的多元正態(tài)分布隨機(jī)變量，通過代入到推導(dǎo)出的概率模型，可得到其中的個變量在域中，因此即為積分的值。令為產(chǎn)生的隨機(jī)變量在域之內(nèi)的概率。根據(jù)相關(guān)研究[22]，的方差為，當(dāng)很大時，可得到置信水平為的的取值范圍為： （26）當(dāng)時， 的取值區(qū)間最大。例如當(dāng)，時，既。如果時，誤差值會更小。另外，蒙特卡洛方法的誤差與抽樣數(shù)n有關(guān)。為了減小誤差，就應(yīng)當(dāng)選取最優(yōu)的隨機(jī)變量，使其方差最小。對同一個問題，往往會有多個可供選擇的隨機(jī)變量，這時就應(yīng)當(dāng)擇優(yōu)而用之。在方差固定時，增加模擬次數(shù)可以有效地減小誤差。如試驗(yàn)次數(shù)增加100倍，精度提高10倍。當(dāng)然這樣做就增加了計(jì)算的機(jī)時，提高了費(fèi)用。所以在考慮蒙特卡洛方法的精確度時，不能只是簡單地減少方差和增加模擬次數(shù)，還要同時兼顧計(jì)算費(fèi)用，即機(jī)時耗費(fèi)。通常以方差和費(fèi)用的乘積作為衡量方法優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)?？紤]到公式（22）中的多維積分可視為一個重要抽樣方法[23]來降低蒙特卡洛模擬的復(fù)雜程度。觀察公式（22）可將積分轉(zhuǎn)化為多元正態(tài)隨機(jī)變量概率密度函數(shù)被積函數(shù)的形式，大大的提高了計(jì)算效率。在公式（25）中的積分維數(shù)為，而且為與生產(chǎn)周期成正比，生產(chǎn)周期越長，積分維數(shù)就越多。在利用蒙特卡洛法計(jì)算時，需要產(chǎn)生非常多的隨機(jī)變量，運(yùn)算時間長，因此需要對模型進(jìn)行優(yōu)化，以提高運(yùn)算效率，減少運(yùn)算時間。當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量指數(shù)在生產(chǎn)周期減小時，表明產(chǎn)品質(zhì)量在該周期得到提升。根據(jù)公式（9），系統(tǒng)要素的衰退不會使加工系統(tǒng)生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量得到提高，也就是說，隨著生產(chǎn)周期的延長，系統(tǒng)要素衰退的增加，產(chǎn)品質(zhì)量只會逐漸降低，而不會自我提高。當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量隨生產(chǎn)周期逐漸降低時，利用多元正態(tài)分布的性質(zhì)，系統(tǒng)可靠性模型的計(jì)算將會得到很大的優(yōu)化。由于公式（9）中的為半正定矩陣，根據(jù)假設(shè)4和假設(shè)5，當(dāng)矩陣中所有元素為正的時候，產(chǎn)品質(zhì)量隨生產(chǎn)周期逐漸降低。當(dāng)滿足產(chǎn)品質(zhì)量隨生產(chǎn)周期逐漸降低這個條件時，要保證產(chǎn)品質(zhì)量在所有生產(chǎn)周期均合格，只需保證產(chǎn)品質(zhì)量在最后一個生產(chǎn)周期合格。令：如果記，否則，記。那么有：。公式（25）可寫為： （27） 公式(27)可做進(jìn)一步的變換： （28）經(jīng)過優(yōu)化以后的系統(tǒng)可靠性的積分域只由決定，而與無關(guān)，也就是說，計(jì)算時只需要最后一個生產(chǎn)周期的要素狀態(tài)變量，而不需要所有周期的要素狀態(tài)變量。的分布可由的邊緣密度求得。維數(shù)為，而且與生產(chǎn)周期K無關(guān)，因此積分維數(shù)由原來的維減少為只有維。 隨機(jī)變量服從多元正態(tài)分布，其中。將寫成如下形式： 由上式很容易的出。所以公式（28）中的積分部分為 可利用蒙特卡洛法求得上式中的積分。本章介紹了影響多工序加工系統(tǒng)可靠性的三個因素，既加工系統(tǒng)要素的性能衰退、加工系統(tǒng)要素的故障和產(chǎn)品質(zhì)量不合格，給出了新的系統(tǒng)可靠性的定義，創(chuàng)新性的提出了質(zhì)量可靠性交互作用對系統(tǒng)可靠性的影響。本章第二節(jié)詳細(xì)介紹了質(zhì)量可靠性交互作用和它的兩種表現(xiàn)形式，既RQeffect和QReffect，并做出了相應(yīng)的假設(shè)，建立了質(zhì)量可靠性交互作用模型。本章第三節(jié)多詳細(xì)介紹工序加工系統(tǒng)質(zhì)量可靠性集成建模，給出了質(zhì)量可靠性集成模型與底層模型加工系統(tǒng)要素故障模型、加工系統(tǒng)要素衰退模型和下游產(chǎn)品偏差模型以及相關(guān)參數(shù)的邏輯關(guān)系。通過分三個步驟，解決了加工系統(tǒng)要素故障模型與下游產(chǎn)品偏差模型關(guān)于要素狀態(tài)變量的耦合問題，得到系統(tǒng)要素不發(fā)生故障概率、產(chǎn)品質(zhì)量合格概率和質(zhì)量可靠性集成模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并利用蒙特卡洛法進(jìn)行求解。最后對模型進(jìn)行了優(yōu)化，極大的提高了運(yùn)算效率。 第三章 多工序加工系統(tǒng)質(zhì)量可靠性實(shí)例研究根據(jù)第二章提出的質(zhì)量可靠性集成模型，本章以一個三個工序的加工系統(tǒng)為研究對象，分析和驗(yàn)證本文提出的研究方法。為了簡化計(jì)算，另每一個工序分別包含一個系統(tǒng)要素狀態(tài)變量和兩個系統(tǒng)要素噪聲變量。 該加工系統(tǒng)有三個工序，分別記為工序工序工序3。在每一個工序中分別有一個系統(tǒng)要素狀態(tài)變量，反映加工加工系統(tǒng)要素的衰退狀態(tài)，記為。同時，加工系統(tǒng)存在六個噪聲變量，可影響產(chǎn)品的加工質(zhì)量，記為。關(guān)鍵產(chǎn)品特征一共有四個，記為，其中在工序1完成后測的，在工序2完成后測得，和為完成工序3的最終關(guān)鍵產(chǎn)品特征。發(fā)動機(jī)缸蓋加工工序示意圖如下：圖31三個工序加工系統(tǒng)示意圖 通過采集加工過程歷史數(shù)據(jù)，利用實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法，可得到變量相關(guān)關(guān)系。下游偏差模型，既系統(tǒng)要素狀態(tài)變量和噪聲變量對質(zhì)量特征的影響為： （29）（30）（31） （32）其中，噪聲變量的分布為：根據(jù)公式（1），對于任意關(guān)鍵產(chǎn)品特征令，參數(shù)可由公式（29）到公式（32）得到：根據(jù)公式（3）系統(tǒng)要素衰退模型為：其中。系統(tǒng)要素狀態(tài)變量在生產(chǎn)周期的初始值，其中： 系統(tǒng)要素狀態(tài)變量每經(jīng)過一個生產(chǎn)周期的衰退量，其中：每一個生產(chǎn)周期生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)為：根據(jù)公式（9），產(chǎn)品質(zhì)量指數(shù)為： 通過公式（9）中和的定義，由公式（29）到公式（32）可知：產(chǎn)品質(zhì)量指數(shù)的閾值分別為：，，既對工序1和工序2的關(guān)鍵產(chǎn)品特征不設(shè)置質(zhì)量指數(shù)閾值，只對工序3完成后的關(guān)鍵產(chǎn)品特征設(shè)置閾值。根據(jù)系統(tǒng)要素故障模型，工序2的要素故障率受工序1生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量的影響，而工序3的要素故障率受到工序2生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量的影響，在本系統(tǒng)中，經(jīng)過大量的實(shí)驗(yàn)觀察的出：和公式（13）比較得，系統(tǒng)要素的初始衰退率為：質(zhì)量可靠性交互系數(shù)