【文章內容簡介】 就可通過簡單的平移計算轉換為世界坐標系下的坐標。這里，局部坐標系和世界坐標系不可以脫離開來理解，否則這個局部坐標系的點坐標無法準確地用統(tǒng)一的坐標系（世界坐標系）的坐標值來表示。三角形面的頂點(x,y,z)坐標值已成功解決了 3D物體表面的位置定位問題，要保存 3D物體的顏色值等頂點信息可用 VC++語言的結構體來表示。當頂點的顏色值確定以后，三角形面的內部點的顏色值就可以通過某種插值方法計算出來，從而整個 3D物體表面上的點的顏色值也就確定下來了。此外，考慮到光照對 3D物體表面顏色的影響，通常需要根據(jù)具體的三角形面的頂點坐標數(shù)據(jù)，計算出頂點處的法向量。因為一個頂點往往是多個鄰接三角形面的公共交點，因此，頂點處的法向量通常是一個平均法向量。北京郵電大學世紀學院畢業(yè)設計（論文）8把頂點的法向量和光線的方向向量作某種數(shù)學運算，就可修正該頂點光源貢獻的實際顏色值。由此，頂點的結構體必須添加一個反映其上法向量的變量域。這一步通常需要將網絡化的 3D物體從各自的局部坐標系中放入同一個世界坐標系中，并通過相應的數(shù)學計算（平移變換）得出 3D物體在世界坐標系中的頂點坐標，并按光照模型計算出每個頂點的顏色值。從以上的討論很自然地引出如下的幾個待解決的 3D數(shù)學問題：平移坐標變換的坐標計算問題。已知點在一個坐標系下的坐標值，計算在另一個平移坐標系下的新坐標。法向量的計算，如何根據(jù)已知的三個點坐標，計算出所在平面的法向量。點和向量的統(tǒng)一表示，尋找一種可以統(tǒng)一三維空間中點和向量的表示方法，使得點和向量的坐標計算在形式上能統(tǒng)一起來，并且保證運算上的形式簡潔。 攝影坐標系三維場景的空間范圍可以是無限的，計算機屏幕的大小卻是有限的。因而不可能，也不需要把三維場景中的物體同時在有限的屏幕上全部顯示出來。這就要求對三維場景進行必要的可視范圍的選擇。顯然這是符合人對周圍環(huán)境觀察特性的，不同角度、不同距離看同一景致，會產生不同的視覺圖像。于是，就有必要在世界坐標系中引入一個觀察者來確定當前哪些場景物體應該被顯示出來。這個觀察者也可以理解為照相機或攝影機。觀察者可由世界坐標系中的一個點和一個指示觀察方向的向量來決定。如圖世界坐標系局部坐標系 2局部坐標系 1圖 世界坐標系與局部坐標系的關系 圖 頂點的法向量北京郵電大學世紀學院畢業(yè)設計（論文）9。觀察者及其觀察方向圖 世界坐標系下的觀察者位置及觀察方向從觀察者位置出主，沿著視線的觀察方向可構造一個棱錐體的視覺區(qū)域，此時，再通過一個遠平面和一個近平面進行截割，形成一個去除了錐頭的棱臺體，這個棱臺體就是觀察進的可見區(qū)域范圍。如圖 ，其中遠平面和近平面又稱為遠視截圖和近視截圖。而棱臺體又稱為視截體。遠視截面近視截面觀察者圖 決定觀察可風區(qū)域的視截體垂直視角 a除了遠、近兩個視截面限制了可見范圍的縱深外，還需要利用視域的垂直視角a來限制在垂直方向上張開的視角區(qū)域大小。至于視域的寬度限制則不使用角度來說明，而是采用任一截平面的寬高比率 Aspect來指定。為了不使透視投影后的圖像在計算機屏幕上顯示時產生比例失真，Aspect 一般取值為屏幕的寬高比，即Aspect=顯示器屏幕寬度/顯示器屏幕高度。視截體確定以后，下一步就要對三維物體的哪些三角形面需要顯示出來或部分顯示出來，哪些三角形面由于位于視截體外而不需要進行顯示進行計算分析，這個過程稱為三維剪裁。北京郵電大學世紀學院畢業(yè)設計（論文）10為了方便三維剪裁的處理，首先需要對視截體的 6個面（左側面、右側面、頂面、底面、近視截面和遠視截面）的坐標方程進行簡化。為此，在觀察者處建立一個所謂的攝影坐標系，并使其 z軸方向指向觀察方向，如圖 。xyz圖 攝影坐標系在攝影坐標系下，左側面、右側面、頂面和底面由于都經這坐標原點，因此它們的坐標方程都簡化為一個齊次方程（如 ax+by+c=0） ，而近視和遠視截面的方程式更簡單，為 z=n和 z=f的形式，這也是選擇 z軸指向觀察方向的原因。這里，自然也會提出如下 4個 3D數(shù)學問題：如何從數(shù)學上描述攝影坐標系與世界坐標系的關系。已知的世界坐標系下的點的坐標在攝影坐標系下的坐標值應如何計算出來。已知在攝影坐標系下的視截體的 6個面的方程式，如何逆向計算出這些面在世界坐標系下的方程。在攝影坐標系下，如何將 6個視截體的面的法向量計算出來。 剪裁和透視投影三維視截體的剪裁并不是獨立進行的，而是結合透視投影來進行的。透視投影就是將三維物體按照透視幾何的方法投影到一個平面上，從而實現(xiàn)三維圖形到二維圖形的轉化。例如，在 z=1的位置上，可建立一個投影窗口，對于視截體內的任一點 P，它的透視投影對應點 P’為 OP線段與投影窗口的交點，如圖 6所示。北京郵電大學世紀學院畢業(yè)設計（論文）11遠視截面近視截面觀察者 O圖 投影窗口和透視投影投影窗口 z=1xyzPP’從幾何特性看，對于同等大小的物體（如三角形面） ，透視投影把更遠處的物體投影得更小，即具有“近大遠小”的特別，完全符合人的視覺感受。顯然，透視投影只需要對那些們于視截體內的三角形面的頂點進行投影，這意味著投影前要對頂點是否位于視截體內進行判斷，即進行剪裁處理，以減少不必要的計算。只有位于視截體內未被剪裁掉的頂點才進行透視投影。為了簡化剪裁的判斷處理，實際并不采用圖 ，而是尋找一個具有透視投影性質，同時又可將視截體轉換為立方體的變換，從而使頂點是否在視截體內的判斷，變?yōu)轫旤c的坐標分量 x、y 和 z是否分別介于區(qū)間[1,1]、[－1,0]和[0,1]的判斷。滿足這種性質的變換又稱為齊次投影剪裁變換。以二維剪裁為例（不難推廣到三維情形） ，如圖 ，假設剪裁區(qū)域由一個正方形來決定，圖中有 3個三角形，最左側的三角形 3個頂點都位于正方形內，因此這個三角形應該被顯示出來。而最右側的三角形頂點均不在正方形內，因此被剪裁掉不顯示。中間的三角形部分位于正方形區(qū)域內（1 個頂點在正方形內，2 個頂點在外） ，因此通過求交取得三角形邊與正方形右邊線段交戰(zhàn)，從而確定出新的三角形 ABC被顯示到屏幕上。北京郵電大學世紀學院畢業(yè)設計（論文）12ABC圖 二維剪裁由于上面的剪裁區(qū)域為一個規(guī)則的矩形，因此點是否落在矩形內是很容易判斷的。相反，如果直接以攝影空間中的視截體為剪裁區(qū)域，那么必須計算棱臺 6個面的法向量，然后通過點向量與法向量的點積運算結果（正數(shù)或負數(shù)）來判斷點在棱臺內或棱臺外。因此，將視截體棱臺轉制為立方體對于剪裁處理是十分必要的。當便于剪裁處理的透視投影變換選定后，就可以攝影空間中三維物體的各個微分三角形面頂點坐標進行投影變換計算，得到每個頂點的新坐標值 ，其中)39。,39。(zyx。這樣集合]1,0[39。],[39。],1[39。 ???zyx可表示出頂點在平面上投影情況，而})(|)39。{ 標為 透 視 投 影 后 的 頂 點 坐仍可反映出頂點的縱深度。為了更直觀地看待這個可將視截體轉換為立方體的透39。z視投影的作用，可想象在攝影空間的三維物體的頂點都被投影到一個 平面上xOy（可理解為投影窗口） ，它的頂點坐標可從上同的 獲得，而在每個投影頂點)39。,(yx都關聯(lián)著一個表示原來頂點的縱深度的 坐標值。z 3D 游戲技術數(shù)學基礎三維物體從取景到投影，需要經過一系列的坐標，才能生成二維的圖形數(shù)據(jù)加以顯示。因此，變換后的坐標計算就成了三維圖形淡定中的一個基本數(shù)學問題。例如，三角形面的頂點的坐標變換計算、三角形面的法向量的變換計算以及視截體的平面方程的計算等。在三維圖形開發(fā)中，三維的點和向量實際是采用四維向量或 來統(tǒng)一處理的，這樣，才可以將各種變換的式子用齊次的矩陣)1,(zyx)0,(zyx形式表示出來。下面除了要介紹向量和矩陣的基本數(shù)學運算外，還將具體計算坐標系的平衡、縮放和旋轉變換的矩陣。北京郵電大學世紀學院畢業(yè)設計（論文）13 向量在物理學的研究中，一些既有大小，又有方向的量，如力、速度等物理量，用一條有方向的線段（有向線段）來表示。這個有向線段就是向量，又稱為矢量。雖然向量是一個與坐標系無關的幾何量，但是可以引入坐標系來加以研究。如果將方向相同、大小相等的向量定義為相等的向量，那么可將向量的起始點移到原點處，其箭頭所在的端點的坐標 或三維坐標系下的 將與向量一一對應，),(yx),(zyx從而在坐標系下的向量可用一組標量坐標值 或 給出，實現(xiàn)了向量由形),(yx,到數(shù)的轉變。向量的坐標表示對于游戲開發(fā)來說是必需的，在世界坐標系下或攝影坐標系下的三角形面的法線、光線的方向和觀察者的方向等都是通過向量的坐標形式來準確給出的。甚至還要根據(jù)真實空間（二維或三維）的特性，從已知的向量出發(fā)計算某一新向量的各個坐標值。 矩陣在線性方程組的求解上，變元較少的方程組（如僅有兩個未知數(shù) 和 的方程組）xy的解很容易表達出來，但是推廣到較為復雜的更多變元的情形，如何推測方程組的解以及如何用的式子表達出來，引發(fā)了對行列式的提出和研究。行列式實質上是方陣數(shù)據(jù)的一種運算，由此自然地想到，可對一般陣列數(shù)據(jù)定義代數(shù)運算，就像對向量定義運算一樣。這樣是矩陣運算的產生歷史。矩陣的出現(xiàn)使得方程組的求解可用矩陣的運算來演繹，求解過程更為簡潔。矩陣的另一個常見應用就是用來表示坐標系平移、旋轉變換后，點或向量的新舊坐標對應關系。這就是矩陣對3D開發(fā)的關鍵所在，因為開發(fā)中往往涉及到世界坐標系、攝影坐標系和投影坐標系之間的坐標變換計算。 坐標變換坐標變換可以用兩種不同觀點去理解。以幾何點的坐標變換為例，一種觀點是保持幾何點空間位置不變，在空間中建立新的坐標系（例如將原來的坐標系平行移動到新的位置），要求計算出該點在新坐標系的坐標。另一種觀點是保持坐標系不變，幾何點移動到新的位置處，要求計算新位置處幾何點的坐標。兩種觀點在不同的應用場合各有方便之處。在世界坐標系已知的情況下，建立攝影坐標系，以簡化北京郵電大學世紀學院畢業(yè)設計（論文）14視截體的平面方程，又或利用透視投影變換將三維的圖形數(shù)據(jù)轉換為二維的圖形數(shù)據(jù)，都是涉及到新、舊兩個坐標系的轉換，此時采用坐標系變換的第一種觀點去理解比較適合；當3D游戲中的精靈在三維場景中移動時，則采用點移動的第二種比較適于思考。下面將結合以上兩種觀點來介紹平移、縮放和旋轉這3個最基本的變換。（一）平移變換考慮某一坐標系 下的任意一點 ，在坐標系中任選一點xyz),(zyxP?，建立一個新的坐標系 ， 各坐標軸正向平行于 軸。)39。,39。(39。 zyxO? 39。39。 xyz現(xiàn)在需要求出點 在新坐標系 下的坐標 。P39。z)39。,(zyx，構造3個向量來推導出點 在 下的坐標 。由空39。z)39。,39。(zyxP?間幾何的向量性質得式(21)：(21)OP??39。圖 平移坐標變換O’O xx’yy’zz’P從而，展開向量的坐標分量取得如下的方程組(22)：(22)??????zzyyxxPO39。39。39。39。39。于是， ， 。PO??39。 39。39。?由此可以看到，坐標系 可看成是坐標系 平行移動而來的，其中 軸方y(tǒng)xxyx向平移 單位， 軸方向平移 單位， 軸方向平移 單位。在這種坐標系的平x39。y39。zzO39。移變換下，點的坐標變換關系工是將相應的 、 和 坐標值減少對應的平移單位北京郵電大學世紀學院畢業(yè)設計（論文）15大小。再考慮在 中選定一點 ，建立另一個平移坐標系 ，39。zyx )39。,39。39。(zyxO39。39。zyx那么點 在這個 下的坐標 滿足式 (23)：P39。39。39。P(23)39。39。P??這里， ， 。),(39。39。39。39。zyx?)39。,39。(zyx顯然，以上變換式子還需要進一步轉換為關于 和 的齊次等式來表示，39。(P才可以簡化連續(xù)多個變換（包括將要介紹的旋轉變換）下的坐標關系式。可以利用矩陣將此等式構造出來。為此，先將點 與一個四維向量 一一對應起來，然后，),(zyxP)1,(zyx可根據(jù) 等式建立如下等價的齊次關系等式(24)。39。39。OP??(24)?????????139。39。39。 001),()1,(39。39。39。 zyxzyxzyx Q等式右邊的矩陣稱為平移變換矩陣，它由坐標系平移到點 的坐標值來決定，39?？珊唵伪硎緸?，如式 (25)。)39。(QT(25)?????????139。39。39。 001)39。( zyxQ三維向量和三維的點都可以用四維向量統(tǒng)一表示出來。四維向量的第4個分量又稱為齊次坐標，四維向量的空間則稱為齊次空間。以上平移坐標變換，是計算原有坐標系中的點和向量在新坐標系中的坐標。如果采用同一個坐標系下，點或向量的平行移動觀點去理解平移變換，即一個點或向量（隨著坐標軸）平行移動到一個新的位置，要求計算該點或向量的新坐標值，那么相當于求出在原坐標系中的坐標。因此，平移后的點或向量的坐標值將使用如下的矩陣來計算（相差一個負號） 。如式(26)。 (26)???????139。39。39。 001)39。(zyxQT北京郵電大學世紀學院畢業(yè)設計（論文）16上面的矩陣就是DirectX平移變換所使用的矩陣。通常三維物體已在它的局部坐標系中建立了各個頂點的坐標，繪制該三維物體時，需要先移入世界坐標系中。此時，可想象該三維物體的局部坐標系的原