多媒體應(yīng)用基礎(chǔ)第六節(jié)(丘成桐集合的魅力)(編輯修改稿)
2025-07-18 08:23 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 里 h 是環(huán)柄個數(shù) ?對于球面 , h=0, ?2(1h) 稱為 歐拉數(shù) 歐 拉 數(shù) ?環(huán)柄數(shù)分別為 1, 2, 3 對稱性 —正多面形 ? 正多面體、磚瓦面、幾何圖案給出對稱性概念，支配著幾何學(xué)的發(fā)展。 ? 晶體按照對稱群分類 高斯 —博涅公式 ? 對多面體我們可以指定與某個頂點(diǎn) v 相連的面的曲率為 與 v 相連的面的內(nèi)夾角 ? 所有頂點(diǎn)處曲率之和為 ? 高斯 博涅 魏依 艾倫多夫和陳省身推廣了上述公式 高斯 —博涅公式 ? 這類聯(lián)系幾何信息和拓?fù)淞康墓皆诂F(xiàn)代幾何學(xué)和現(xiàn)代物理學(xué)中有著顯著的重要性。（在物理語言中，這類公式聯(lián)系著拓?fù)浜桑負(fù)淙毕?。? ? 這類理論建立在陳類基礎(chǔ)上。 1960年 阿蒂亞 辛格 作出了光輝的推廣。分析和幾何產(chǎn)生了緊密的聯(lián)系。 天 文 測 量 ? 希臘天文學(xué)家將幾何學(xué)應(yīng)用于天文測量。例如，地球的直徑（在賽伊尼的埃拉斯特尼 (公元前 275年 195年 ))。 ? 對天文測量的愿望反過來又影響著幾何學(xué)和三角學(xué)的發(fā)展。 … 相信我，如果我可以重新開始學(xué)習(xí)，我將聽從柏拉圖的建議，從數(shù)學(xué)開始。 ——伽利略 文藝復(fù)興時期 ? 笛卡兒 (15961650) ? 解析幾何：笛卡兒坐標(biāo)系 ?德薩格 (15911661) ? 射影幾何 ?費(fèi)馬 (16011665) ? 變分原理：測地線 ?牛頓 (16421727) ? 微積分 ? 萊布尼茨 (16461716) ? 微積分 源于少數(shù)原理， … 卻結(jié)出累累碩果， 這就是幾何的驕傲。 ——牛頓 拓?fù)浜蛶缀蔚默F(xiàn)代發(fā)展 ? 歐拉 (17071783) ? 多面體的歐拉公式，組合幾何，變分分析，幾何與力學(xué)，極小曲面。 ? 高斯 (17771855) ? 雙曲幾何 ( 和羅巴切夫斯基 ( 17921856), 波爾約 (18021829)一起 )，高斯曲率的內(nèi)蘊(yùn) 定義。 ) 曲率的內(nèi)蘊(yùn)定義 ? 一張紙的曲率為零。可以將紙彎成一個圓柱面。 ? 兩個曲面是相同的：不拖長或撕裂曲面。兩曲面的形狀不同。 ?兩類幾何： ? 內(nèi)蘊(yùn)度量給出高斯曲率 ? 外蘊(yùn)形狀給出主曲率 ?懸鏈面 – 螺旋面 (等距形變 )。 demo 高斯 (1817) ? 我越來越確信幾何的必然性無法被驗(yàn)證，至少現(xiàn)在無法被人類或?yàn)榱巳祟惗?yàn)證。我們或許能在未來領(lǐng)悟到那無法知曉的空間的本質(zhì)。 ? 我們無法把幾何和純粹是先驗(yàn)的算術(shù)歸為一類。幾何和力學(xué)卻不可分割。 黎曼 (18261866) ? 在抽象定義的空間上引入黎曼度量 ? 在無窮小近似下就是歐氏幾何。然而只在一階近似下是等同的。 ? 二階近似由度量的曲率張量來衡量。 ? 導(dǎo)致了幾何學(xué)的革命。 克里斯托費(fèi)爾，列維 齊維塔，比安基…… ，發(fā)展了這類抽象空間上的微積分。 黎 曼 面 ? 后來人們意識到對二維空間，每個黎曼度量都可以寫成 ? 如果引入復(fù)數(shù) ? 度量可寫成 黎 曼 面 ? 這樣的復(fù)坐標(biāo)在相差一個全純變換的意義下是唯一的。 ? 具有這樣復(fù)坐標(biāo)的抽象二維空間稱為黎曼面。 ? 此概念應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)。 黎 曼 面 ● 曲面間的全純變換 demo 高斯曲率 ? 黎曼面的高斯曲率為 ? 黎曼面給出稱為復(fù)流形的首個例子。 ? 問題：如何重新發(fā)現(xiàn)度量？ ? 有一個黎曼面，即給出一個復(fù)坐標(biāo) z。 ? 有一個定義在黎曼面上的曲率函數(shù) K。 高斯曲率 黎曼度量的曲率 ? 在高維情形，黎曼度量的曲率遠(yuǎn)不是一個數(shù)量函數(shù)，它依賴于空間在某個截面上是如何彎曲的，稱為曲率張量。 ? 可以對全部曲率張量縮并，得到一個小的張量，稱為里奇張量。記為 。 ? 里奇張量是一個對稱張量，其跡稱為數(shù)量曲率。 記為 。 愛因斯坦方程 ? 黎曼幾何被愛因斯坦 (在格羅斯曼、希爾伯特幫助下 )用來描述廣義相
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