【文章內(nèi)容簡介】 內(nèi)徑為30mm的銅管組成，二者由兩個直徑為10mm的鉚釘連接在一起。鉚接后，溫度升高40℃，試計算鉚釘剪切面上的切應(yīng)力。鋼與銅的彈性模量分別為Es = 200GPa與Ec=100GPa，線膨脹系數(shù)分別為=106℃1與=16106℃1。題328圖解：設(shè)溫度升高時鋼桿和銅管自由伸長量分別為和，由于二者被鉚釘連在一起，變形要一致，即變形協(xié)調(diào)條件為 或?qū)懗?這里，伸長量和縮短量均設(shè)為正值。引入物理關(guān)系，得 將靜力平衡條件代入上式，得 注意到每個鉚釘有兩個剪切面，故其切應(yīng)力為 由此得 329圖示結(jié)構(gòu)，桿1與桿2各截面的拉壓剛度均為EA，梁BD為剛體，試在下列兩種情況下，畫變形圖，建立補充方程。(1) 若桿2的實際尺寸比設(shè)計尺寸稍短，誤差為d；(2) 若桿1的溫度升高DT，材料的熱膨脹系數(shù)為al。題329圖(1)解：如圖329(1)a所示，當桿2未與剛性桿BD連接時，下端點位于，即。當桿2與剛性桿BD連接后，下端點鉛垂位移至，同時，桿1的下端點則鉛垂位移至。過作直線C’e垂直于桿1的軸線，顯然，即代表桿1的彈性變形，同時，即代表桿2的彈性變形。與上述變形相應(yīng)，桿1受壓，桿2受拉，剛性桿BD的受力如圖329(1)b所示。圖329(1)可以看出，即變形協(xié)調(diào)條件為而補充方程則為或 (2)解：如圖329(2)a所示，當桿1未與剛性桿BD連接時，由于其溫度升高，下端點位于，即。當桿1與剛性桿BD連接后，下端點C鉛垂位移至，而桿2的下端點D則鉛垂位移至。過作直線C’e垂直于直線，顯然，即代表桿1的彈性變形，同時，代表桿2的彈性變形。與上述變形相應(yīng)，桿1受壓，桿2受拉，剛性桿BD的受力如圖329(2)b所示。圖329(2)可以看出，故變形協(xié)調(diào)條件為而補充方程則為或330 圖示桁架，三桿的橫截面面積、彈性模量與許用應(yīng)力均相同，并分別為A，E與[]，試確定該桁架的許用載荷[F]。為了提高許用載荷之值，現(xiàn)將桿3的設(shè)計長度l變?yōu)?。試問當D為何值時許用載荷最大，其值[F]max為何。題330圖解:此為一度靜不定問題。節(jié)點處的受力及變形示如圖330a和b。圖330由圖a得平衡方程為 (a)由圖b得變形協(xié)調(diào)條件為 (b)依據(jù)胡克定律,有 (c)將式(c)代入式(b)，化簡后得補充方程為 (b’)將方程(b’)與方程(a)聯(lián)解，得 由此得 為了提高值，可將桿3做長D，由圖b得變形協(xié)調(diào)條件為 式中，均為受載后的伸長，依題意，有了D后，應(yīng)使三根桿同時達到，即 由此得 此時，各桿的強度均充分發(fā)揮出來，故有第四章 扭 轉(zhuǎn)45 一受扭薄壁圓管，外徑D = 42mm，內(nèi)徑d = 40mm，扭力偶矩M = 500N?m，切變模量G=75GPa。試計算圓管橫截面與縱截面上的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力，并計算管表面縱線的傾斜角。解：該薄壁圓管的平均半徑和壁厚依次為 于是，該圓管橫截面上的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為 依據(jù)切應(yīng)力互等定理，縱截面上的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為 該圓管表面縱線的傾斜角為 47 試證明，在線彈性范圍內(nèi)，且當R0/d≥10時，%。解：薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式為 設(shè)，按上述公式計算的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為 (a)按照一般空心圓軸考慮，軸的內(nèi)、外直徑分別為 極慣性矩為 由此得 (b)比較式(a)與式(b)，得 當時， 可見，當時，％。48 圖a所示受扭圓截面軸，材料的曲線如圖b所示，并可用表示，式中的C與m為由試驗測定的已知常數(shù)。試建立扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式，并畫橫截面上的切應(yīng)力分布圖。題48圖解：所研究的軸是圓截面軸，平面假設(shè)仍然成立。據(jù)此，從幾何方面可以得到 (a)根據(jù)題設(shè)，軸橫截面上距圓心為處的切應(yīng)力為 (b)由靜力學可知， (c)取徑向?qū)挾葹榈沫h(huán)形微面積作為，即 (d)將式(d)代入式(c)，得 由此得 (e)將式(e)代入式(b)，并注意到T=M ，最后得扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式為 橫截面上的切應(yīng)力的徑向分布圖示如圖48。 圖4849 在圖a所示受扭圓截面軸內(nèi)，用橫截面ABC和DEF與徑向縱截面ADFC切出單元體ABCDEF（圖b）。試繪各截面上的應(yīng)力分布圖，并說明該單元體是如何平衡的。題49圖解：單元體ABCDEF各截面上的應(yīng)力分布圖如圖49a所示。 圖49根據(jù)圖a，不難算出截面上分布內(nèi)力的合力為 同理，得截面上分布內(nèi)力的合力為 方向示如圖c。設(shè)作用線到軸線的距離為，容易求出 根據(jù)圖b，可算出單元體右端面上水平分布內(nèi)力的合力為 同理，左端面上的合力為 方向亦示如圖c。設(shè)作用線到水平直徑的距離為（見圖b），由 得 同理，作用線到水平直徑的距離也同此值。根據(jù)圖b，還可算出半個右端面上豎向分布內(nèi)力的合力為 設(shè)作用線到豎向半徑的距離為（見圖b），由 得 同理，可算出另半個右端面以及左端面上的豎向分布內(nèi)力的合力為 方向均示如圖c。它們的作用線到所在面豎向半徑的距離均為。由圖c可以看得很清楚，該單元體在四對力的作用下處于平衡狀態(tài)，這四對力構(gòu)成四個力偶，顯然，這是一個空間力偶系的平衡問題。 既然是力偶系，力的平衡方程（共三個）自然滿足，這是不言而喻的。上述討論中，所有的在數(shù)值上均等于。411 如圖所示，圓軸AB與套管CD用剛性突緣E焊接成一體，并在截面A承受扭力偶矩M作用。圓軸的直徑d = 56mm，許用切應(yīng)力[]=80MPa，套管的外徑D = 80mm，壁厚= 6mm，許用切應(yīng)力[]= 40MPa。試求扭力偶矩M的許用值。題411圖解：由題圖知，圓軸與套管的扭矩均等于M。 由此得的許用值為 2．由套管求的許用值 此管不是薄壁圓管。 由此得的許用值為 可見，扭力偶矩M的許用值為 413 圖示階梯形軸，由AB與BC兩段等截面圓軸組成，并承受集度為m的均勻分布的扭力偶矩作用。為使軸的重量最輕，試確定AB與BC段的長度l1與l2以及直徑d1與d2。已知軸總長為l，許用切應(yīng)力為[]。題413圖解：在截面處的扭矩最大，其值為 由該截面的扭轉(zhuǎn)強度條件 得 (a)段上的最大扭矩在截面處，其值為 由該截面的扭轉(zhuǎn)強度條件得 2．最輕重量設(shè)計軸的總體積為 根據(jù)極值條件 得 由此得 (b)從而得 (c) (d)該軸取式(a)~(d)所給尺寸，可使軸的體積最小，重量自然也最輕。414 一圓柱形密圈螺旋彈簧，承受軸向壓縮載荷F = 1kN作用。設(shè)彈簧的平均直徑D = 40mm，彈簧絲的直徑d = 7mm，許用切應(yīng)力[]= 480MPa，試校核彈簧的強度。解：由于 故需考慮曲率的影響，此時， 結(jié)論：，該彈簧滿足強度要求。420 圖示圓錐形薄壁軸AB，兩端承受扭力偶矩M作用。設(shè)壁厚為d，橫截面A與B的平均直徑分別為dA與dB，軸長為l，切變模量為G。試證明截面A和B間的扭轉(zhuǎn)角為題420圖證明：自左端向右取坐標，軸在處的平均半徑為 式中， 截面的極慣性矩為 依據(jù) 得截面和間的扭轉(zhuǎn)角為 421 圖示兩端固定的圓截面軸，承受扭力偶矩作用。試求支反力偶矩。設(shè)扭轉(zhuǎn)剛度為已知常數(shù)。題421圖 (a)解：此為靜不定軸，但有對稱條件可以利用。設(shè)A與B端的支反力偶矩分別為，它們的轉(zhuǎn)向與扭力偶矩相反。由于左右對稱，故知 由可得 即 (b)解：此為靜不定軸，可解除右端約束，代之以支反力偶矩，示如圖421b。 圖421b變形協(xié)調(diào)條件為 (a)利用疊加法，得 (b)將式(b)代入式(a)，可得 進而求得 （轉(zhuǎn)向與相反）(c)解：此為靜不定軸，與(a)類似，利用左右對稱條件，容易得到 的轉(zhuǎn)向與相反。(d)解：此為靜不定軸，可解除右端約束，代之以支反力偶矩，從變形趨勢不難判斷，的轉(zhuǎn)向與相反。變形協(xié)調(diào)條件為 (c)利用疊加法，得到（從左端向右?。? (d)將式(d)代入式(c)，可得 進而求得 的轉(zhuǎn)向亦與相反。422 圖示軸，承受扭力偶矩M1=400N?m與M2=600N?m作用。已知許用切應(yīng)力[]=40MPa，單位長度的許用扭轉(zhuǎn)角[]=(176。) / m，切變模量G = 80GPa。試確定軸徑。題422圖解：此為靜不定軸，設(shè)端支反力偶矩為，該軸的相當系統(tǒng)示如圖422a。 圖422利用疊加法，得 將其代入變形協(xié)調(diào)條件，得 該軸的扭矩圖示如圖422b。由扭矩圖易見， 將其代入扭轉(zhuǎn)強度條件， 由此得 將最大扭矩值代入 得 結(jié)論：最后確定該軸的直徑。423 圖示兩端固定階梯形圓軸AB，承受扭力偶矩M作用。已知許用切應(yīng)力為[t]，為使軸的重量最輕，試確定軸徑d1與d2。題423圖解：1. 求解靜不定設(shè)A與B端的支反力偶矩分別為MA與MB，則軸的平衡方程為 (a)AC與CB段的扭矩分別為 ， 代入式（a），得 (b) 設(shè)AC與CB段的扭轉(zhuǎn)角分別為jAC與jCB，則變形協(xié)調(diào)條件為 (c)利用扭轉(zhuǎn)角與扭矩間的物理關(guān)系，分別有 ， 代入式（c），得補充方程為 (d) 最后，聯(lián)立求解平衡方程（b）與補充方程（d），得 ， (e)2. 最輕重量設(shè)計從強度方面考慮，要使軸的重量最輕，應(yīng)使AC與CB段的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的數(shù)值相等，且當扭力偶矩M作用時，最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力均等于許用切應(yīng)力，即要求 由此得 將式（e）代入上式，得 并從而得 ， 根據(jù)圓軸扭轉(zhuǎn)強度條件，于是得軸的直徑為 424 圖示二平行圓軸，通過剛性搖臂承受載荷F作用。已知載荷F=750N，軸1和軸2的直徑分別為d1=12mm和d2=15mm，軸長均為l=500mm，搖臂長度a =300mm，切變模量G = 80GPa，試求軸端的扭轉(zhuǎn)角。題424圖解：這是一度靜不定問題。變形協(xié)調(diào)條件為 或 (a)這里，D1