【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 okes公式是Green公式的推廣[1]。（二）環(huán)量與環(huán)量密度類(lèi)似于平面向量場(chǎng)沿平面閉曲線的環(huán)量，空間向量場(chǎng)沿空間閉曲線的線積分稱(chēng)為A(x,y,z)沿閉曲線的環(huán)量，它同樣表示了A繞旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)的大小。以n為法向量，過(guò)點(diǎn)M作任一微小曲面，它的邊界曲線記為。并選取的正向使與n復(fù)合右手螺旋法則。當(dāng)很小時(shí)，A沿的環(huán)量與小曲面的面積之比，近似的反映出A點(diǎn)在M點(diǎn)附近繞方向n的旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)大小。讓小曲面（）在保持n為其法向量的前提下任意縮向點(diǎn)M，若上述比值的極限存在，則稱(chēng)此極限值為A在M點(diǎn)沿n方向的環(huán)量密度，記作，即（三）環(huán)量的應(yīng)用流體動(dòng)力學(xué)中的一個(gè)著名的定理。內(nèi)容是：在無(wú)粘性、正壓流體中（見(jiàn)正壓流體），若外力有勢(shì)，則沿由相同流體質(zhì)點(diǎn)組成的封閉曲線的速度環(huán)量在隨體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中恒不變。在流體力學(xué)中，沿封閉曲線的速度環(huán)量定義為線積分：式中Γ 為速度環(huán)量；v為速度矢量；dr為封閉曲線L的線段元矢量。速度環(huán)量和渦通量（見(jiàn)渦旋）通過(guò)下列斯托克斯公式聯(lián)系起來(lái)： 式中S是張?jiān)诜忾]曲線L上的曲面；Ω和dS分別為渦旋矢量和面積元矢量。由開(kāi)爾文定理可推出反映渦旋保持性的渦旋不生不滅定理：假設(shè)流體是無(wú)粘性和正壓的，且外力有勢(shì)，若初始時(shí)刻在某部分流體內(nèi)無(wú)旋，則在此時(shí)刻以前或以后的任一時(shí)刻中，這部分流體皆無(wú)旋。反之，若初始時(shí)刻該部分流體有旋，則在以前或以后的任一時(shí)刻，這一部分流體皆有旋。因?yàn)槿舫跏紩r(shí)刻某區(qū)域內(nèi)的流體運(yùn)動(dòng)無(wú)旋，則根據(jù)斯托克斯公式（2）,該區(qū)域內(nèi)沿任一封閉曲線的速度環(huán)量為零。設(shè)過(guò)一時(shí)刻此區(qū)域內(nèi)的流體運(yùn)動(dòng)到一新區(qū)域，從開(kāi)爾文定理易見(jiàn)，在新區(qū)域內(nèi)沿任一可能的封閉曲線的速度環(huán)量也為零。換言之，線積分與積分路徑無(wú)關(guān),它只是時(shí)間t以及變動(dòng)點(diǎn)B的坐標(biāo)r和固定點(diǎn)A的坐標(biāo)r0的標(biāo)量函數(shù)，可記為故，即存在速度勢(shì)Φ(r，t)。由，推出整個(gè)流動(dòng)是無(wú)旋的。對(duì)于在重力場(chǎng)作用下的無(wú)粘性不可壓縮均質(zhì)流體，考察均勻來(lái)流定常繞流和從靜止起動(dòng)的流體運(yùn)動(dòng)。顯然，兩種情形都滿足流體無(wú)粘性、正壓和外力有勢(shì)三個(gè)條件。流場(chǎng)中任一流體質(zhì)點(diǎn)都來(lái)自無(wú)窮遠(yuǎn)處或初始的靜止流體。因無(wú)窮遠(yuǎn)處均勻來(lái)流和靜止流體都是無(wú)旋的，根據(jù)渦旋的不生不滅可以看出，整個(gè)流場(chǎng)都是無(wú)旋的。由此得到開(kāi)爾文定理的一個(gè)重要推論：對(duì)于在工程實(shí)際中大量遇到的無(wú)粘性不可壓縮均質(zhì)流體在重力作用下的均勻來(lái)流定常繞流問(wèn)題和靜止起動(dòng)問(wèn)題，整個(gè)流體運(yùn)動(dòng)時(shí)時(shí)處處都是無(wú)旋的。由于無(wú)旋運(yùn)動(dòng)有些特殊性質(zhì)，處理這類(lèi)流動(dòng)可作許多數(shù)學(xué)上的簡(jiǎn)化（見(jiàn)拉普拉斯無(wú)旋運(yùn)動(dòng)）。升力， 也就是向上的力大于向下的力，其合力可以使物體上升。 這個(gè)力就是升力。升力的成因較復(fù)雜，因?yàn)橐紤]實(shí)際流體的粘性、可壓縮性等諸多條件。目前大多用的是庫(kù)塔儒可夫斯基定理，它是工程師計(jì)算飛機(jī)升力最精確的方法。具體內(nèi)容就是由繞翼環(huán)流導(dǎo)致升力，產(chǎn)生了上下壓力差，這個(gè)壓力差就是升力 (Y)，升力和向后的誘導(dǎo)阻力（d）合成為空氣動(dòng)力（R）。流過(guò)各個(gè)剖面升力總合就是機(jī)翼的升力。升力維持飛機(jī)在空中飛行。（1）升力的來(lái)源升力來(lái)源于機(jī)翼上下表面氣流的速度差導(dǎo)致的氣壓差。但機(jī)翼上下表面速度差的成因解釋較為復(fù)雜，通?？破沼玫牡葧r(shí)間論和流體連續(xù)性理論均不能完整解釋速度差的成因。航空界常用二維機(jī)翼理論，主要依靠庫(kù)塔條件、繞翼環(huán)量、庫(kù)塔茹可夫斯基定理和伯努利定理來(lái)解釋。（2）庫(kù)塔條件在真實(shí)且可產(chǎn)生升力的機(jī)翼中，氣流總是在后緣處交匯，否則在機(jī)翼后緣將會(huì)產(chǎn)生一個(gè)氣流速度很大的點(diǎn)。這一條件被稱(chēng)為庫(kù)塔條件，只有滿足該條件，機(jī)翼才可能產(chǎn)生升力。（3）庫(kù)塔如茹可夫斯基方程式由滿足庫(kù)塔條件所產(chǎn)生的繞翼環(huán)量導(dǎo)致了機(jī)翼上表面氣流向后加速，由伯努利定理可推導(dǎo)出壓力差并計(jì)算出升力，這一環(huán)量最終產(chǎn)生的升力大小亦可由庫(kù)塔茹可夫斯基方程計(jì)算（適用于不可壓縮流體）：物體單位長(zhǎng)度上所受到的升力：其中環(huán)量是流體的速度沿著一條閉曲線的路徑積分。如果v是流體的速度，ds是沿著閉曲線C的單位向量，那么：環(huán)量的量綱是長(zhǎng)度的平方除以時(shí)間。這一方程同樣可以計(jì)算馬格努斯效應(yīng)的氣動(dòng)力。不過(guò)以上理論僅適用于亞音速（），在超聲速飛行時(shí)由于空氣是可壓縮的，伯努利定理不成立，此時(shí)無(wú)環(huán)流運(yùn)動(dòng)，升力主要靠機(jī)翼上下表面的激波所導(dǎo)致的壓力差。當(dāng)飛機(jī)以一定迎角在超聲速流中飛行時(shí)上表面前端處與來(lái)流成一個(gè)凸面，形成膨脹波，氣流流過(guò)膨脹波時(shí)壓力下降，而下表面與來(lái)流形成一個(gè)凹面，導(dǎo)致激波，氣流流過(guò)激波時(shí)壓力增加。因此上表面壓強(qiáng)小，下表面壓強(qiáng)大，產(chǎn)生升力。（四）旋度若在場(chǎng)A(M)中一點(diǎn)M處存在這樣一個(gè)向量，其方向?yàn)槭笰在點(diǎn)M環(huán)量密度最大的方向，其模等于環(huán)量密度的最大值，則稱(chēng)此向量為場(chǎng)A(M)在點(diǎn)M的旋度，為旋度的計(jì)算公式。 利用旋度，還可將Stokes公式寫(xiě)成下列形式（5） 旋度的應(yīng)用1. 平面矢量場(chǎng)的旋度 旋度最早是通過(guò)研究水流的渦旋建立起來(lái)的概念[5]。河水流動(dòng)時(shí)，由于水有內(nèi)摩擦力，因而靠?jī)砂端俣容^小，河中間速度較大。故漂在水面上的救生圈一邊順流而下，一邊還會(huì)旋轉(zhuǎn)，這說(shuō)明水中有渦旋，如下圖所示。圖5 速度分布和渦旋特征 在平面流速場(chǎng)中作有向封閉曲線L，則流速場(chǎng)V沿L的環(huán)流(圖3） 在均勻流速場(chǎng)中，由于，所以沿L的環(huán)流環(huán)流不等于零，在區(qū)域內(nèi)無(wú)渦旋。由特殊到一般，對(duì)于任一平面矢量場(chǎng)如果說(shuō)明在區(qū)域內(nèi)有渦旋。如果說(shuō)明在區(qū)域內(nèi)無(wú)渦旋。因此環(huán)流是平面矢量場(chǎng)A在區(qū)域內(nèi)有無(wú)渦旋的量度。 環(huán)流的大小與封閉曲線L所包圍的面積△s有關(guān)，所以不能用環(huán)流的大小來(lái)量度渦旋的強(qiáng)弱。而用環(huán)流與面積△S之比，即平均渦旋強(qiáng)度來(lái)量度△S區(qū)域內(nèi)的渦旋強(qiáng)度。當(dāng)，且收縮到P點(diǎn)時(shí)，用極限來(lái)量度p點(diǎn)處的渦旋強(qiáng)度。此極限稱(chēng)為平面流速場(chǎng)V在p點(diǎn)的旋度，用表示，即 可見(jiàn)，旋度是環(huán)流對(duì)面積的變化率。 特殊到一般，任一平面矢量場(chǎng)直在p點(diǎn)的旋度在直角坐標(biāo)系中，平面矢量場(chǎng)在點(diǎn)的旋度例1 水池中的水漏掉時(shí)，會(huì)形成渦旋，如下圖所示。圖6 水池中的渦旋以p點(diǎn)為回心，作兩個(gè)圓周L1和L2，兩圓周面積相等，均為,它們的法線,的方向與L1和L2的繞向符合右手螺旋法則。顯然除以，得可見(jiàn)，同一點(diǎn)p繞方向的平均渦旋強(qiáng)度大于繞方向的平均渦旋強(qiáng)度。為了量度場(chǎng)中任意一點(diǎn)的渦旋強(qiáng)度，必須把取得很小，同時(shí)為了能比較不同點(diǎn)的渦旋強(qiáng)度，應(yīng)使L的空間取向能得瓢最大的環(huán)流。在圖6中，流速場(chǎng)沿Ll的環(huán)流最大?，F(xiàn)在，可以得到任一空間矢量場(chǎng)旋度的定義:矢量場(chǎng)在p點(diǎn)的旋度是一個(gè)矢量，其大小為當(dāng)面積趨于零時(shí)單位面積上的最大環(huán)流，其方向?yàn)楫?dāng)面積的取向使得環(huán)流為最大時(shí)該面積的法線方向(法線方向的單位矢量，的方向與不的繞向符合右手螺旋法則)，即