【文章內容簡介】 okes公式是Green公式的推廣[1]。（二）環(huán)量與環(huán)量密度類似于平面向量場沿平面閉曲線的環(huán)量，空間向量場沿空間閉曲線的線積分稱為A(x,y,z)沿閉曲線的環(huán)量，它同樣表示了A繞旋轉趨勢的大小。以n為法向量，過點M作任一微小曲面，它的邊界曲線記為。并選取的正向使與n復合右手螺旋法則。當很小時，A沿的環(huán)量與小曲面的面積之比，近似的反映出A點在M點附近繞方向n的旋轉趨勢大小。讓小曲面（）在保持n為其法向量的前提下任意縮向點M，若上述比值的極限存在，則稱此極限值為A在M點沿n方向的環(huán)量密度，記作，即（三）環(huán)量的應用流體動力學中的一個著名的定理。內容是：在無粘性、正壓流體中（見正壓流體），若外力有勢，則沿由相同流體質點組成的封閉曲線的速度環(huán)量在隨體運動過程中恒不變。在流體力學中，沿封閉曲線的速度環(huán)量定義為線積分：式中Γ 為速度環(huán)量；v為速度矢量；dr為封閉曲線L的線段元矢量。速度環(huán)量和渦通量（見渦旋）通過下列斯托克斯公式聯(lián)系起來： 式中S是張在封閉曲線L上的曲面；Ω和dS分別為渦旋矢量和面積元矢量。由開爾文定理可推出反映渦旋保持性的渦旋不生不滅定理：假設流體是無粘性和正壓的，且外力有勢，若初始時刻在某部分流體內無旋，則在此時刻以前或以后的任一時刻中，這部分流體皆無旋。反之，若初始時刻該部分流體有旋，則在以前或以后的任一時刻，這一部分流體皆有旋。因為若初始時刻某區(qū)域內的流體運動無旋，則根據(jù)斯托克斯公式（2）,該區(qū)域內沿任一封閉曲線的速度環(huán)量為零。設過一時刻此區(qū)域內的流體運動到一新區(qū)域，從開爾文定理易見，在新區(qū)域內沿任一可能的封閉曲線的速度環(huán)量也為零。換言之，線積分與積分路徑無關,它只是時間t以及變動點B的坐標r和固定點A的坐標r0的標量函數(shù)，可記為故，即存在速度勢Φ(r，t)。由，推出整個流動是無旋的。對于在重力場作用下的無粘性不可壓縮均質流體，考察均勻來流定常繞流和從靜止起動的流體運動。顯然，兩種情形都滿足流體無粘性、正壓和外力有勢三個條件。流場中任一流體質點都來自無窮遠處或初始的靜止流體。因無窮遠處均勻來流和靜止流體都是無旋的，根據(jù)渦旋的不生不滅可以看出，整個流場都是無旋的。由此得到開爾文定理的一個重要推論：對于在工程實際中大量遇到的無粘性不可壓縮均質流體在重力作用下的均勻來流定常繞流問題和靜止起動問題，整個流體運動時時處處都是無旋的。由于無旋運動有些特殊性質，處理這類流動可作許多數(shù)學上的簡化（見拉普拉斯無旋運動）。升力， 也就是向上的力大于向下的力，其合力可以使物體上升。 這個力就是升力。升力的成因較復雜，因為要考慮實際流體的粘性、可壓縮性等諸多條件。目前大多用的是庫塔儒可夫斯基定理，它是工程師計算飛機升力最精確的方法。具體內容就是由繞翼環(huán)流導致升力，產(chǎn)生了上下壓力差，這個壓力差就是升力 (Y)，升力和向后的誘導阻力（d）合成為空氣動力（R）。流過各個剖面升力總合就是機翼的升力。升力維持飛機在空中飛行。（1）升力的來源升力來源于機翼上下表面氣流的速度差導致的氣壓差。但機翼上下表面速度差的成因解釋較為復雜，通?？破沼玫牡葧r間論和流體連續(xù)性理論均不能完整解釋速度差的成因。航空界常用二維機翼理論，主要依靠庫塔條件、繞翼環(huán)量、庫塔茹可夫斯基定理和伯努利定理來解釋。（2）庫塔條件在真實且可產(chǎn)生升力的機翼中，氣流總是在后緣處交匯，否則在機翼后緣將會產(chǎn)生一個氣流速度很大的點。這一條件被稱為庫塔條件，只有滿足該條件，機翼才可能產(chǎn)生升力。（3）庫塔如茹可夫斯基方程式由滿足庫塔條件所產(chǎn)生的繞翼環(huán)量導致了機翼上表面氣流向后加速，由伯努利定理可推導出壓力差并計算出升力，這一環(huán)量最終產(chǎn)生的升力大小亦可由庫塔茹可夫斯基方程計算（適用于不可壓縮流體）：物體單位長度上所受到的升力：其中環(huán)量是流體的速度沿著一條閉曲線的路徑積分。如果v是流體的速度，ds是沿著閉曲線C的單位向量，那么：環(huán)量的量綱是長度的平方除以時間。這一方程同樣可以計算馬格努斯效應的氣動力。不過以上理論僅適用于亞音速（），在超聲速飛行時由于空氣是可壓縮的，伯努利定理不成立，此時無環(huán)流運動，升力主要靠機翼上下表面的激波所導致的壓力差。當飛機以一定迎角在超聲速流中飛行時上表面前端處與來流成一個凸面，形成膨脹波，氣流流過膨脹波時壓力下降，而下表面與來流形成一個凹面，導致激波，氣流流過激波時壓力增加。因此上表面壓強小，下表面壓強大，產(chǎn)生升力。（四）旋度若在場A(M)中一點M處存在這樣一個向量，其方向為使A在點M環(huán)量密度最大的方向，其模等于環(huán)量密度的最大值，則稱此向量為場A(M)在點M的旋度，為旋度的計算公式。 利用旋度，還可將Stokes公式寫成下列形式（5） 旋度的應用1. 平面矢量場的旋度 旋度最早是通過研究水流的渦旋建立起來的概念[5]。河水流動時，由于水有內摩擦力，因而靠兩岸速度較小，河中間速度較大。故漂在水面上的救生圈一邊順流而下，一邊還會旋轉，這說明水中有渦旋，如下圖所示。圖5 速度分布和渦旋特征 在平面流速場中作有向封閉曲線L，則流速場V沿L的環(huán)流(圖3） 在均勻流速場中，由于，所以沿L的環(huán)流環(huán)流不等于零，在區(qū)域內無渦旋。由特殊到一般，對于任一平面矢量場如果說明在區(qū)域內有渦旋。如果說明在區(qū)域內無渦旋。因此環(huán)流是平面矢量場A在區(qū)域內有無渦旋的量度。 環(huán)流的大小與封閉曲線L所包圍的面積△s有關，所以不能用環(huán)流的大小來量度渦旋的強弱。而用環(huán)流與面積△S之比，即平均渦旋強度來量度△S區(qū)域內的渦旋強度。當，且收縮到P點時，用極限來量度p點處的渦旋強度。此極限稱為平面流速場V在p點的旋度，用表示，即 可見，旋度是環(huán)流對面積的變化率。 特殊到一般，任一平面矢量場直在p點的旋度在直角坐標系中，平面矢量場在點的旋度例1 水池中的水漏掉時，會形成渦旋，如下圖所示。圖6 水池中的渦旋以p點為回心，作兩個圓周L1和L2，兩圓周面積相等，均為,它們的法線,的方向與L1和L2的繞向符合右手螺旋法則。顯然除以，得可見，同一點p繞方向的平均渦旋強度大于繞方向的平均渦旋強度。為了量度場中任意一點的渦旋強度，必須把取得很小，同時為了能比較不同點的渦旋強度，應使L的空間取向能得瓢最大的環(huán)流。在圖6中，流速場沿Ll的環(huán)流最大。現(xiàn)在，可以得到任一空間矢量場旋度的定義:矢量場在p點的旋度是一個矢量，其大小為當面積趨于零時單位面積上的最大環(huán)流，其方向為當面積的取向使得環(huán)流為最大時該面積的法線方向(法線方向的單位矢量，的方向與不的繞向符合右手螺旋法則)，即