【文章內(nèi)容簡介】 ???????????? （3??10cos/tfut??1）由上式可得到公式（32） （3???10212()cosNt utFufN???????????2）歸一化離散余弦變換過程如下所示：其中正變換為 （3?????1010212cosNttfuFutf??????????????? , ,其 它3）9 / 48其中反變換為 （31012(21)()()()cosNuutftF?????????????4） 二維 DCT 變換在圖像處理中，數(shù)字圖像由 MN 個像素組成，可以看作是一個二維矩陣，DCT應(yīng)用于圖像處理則需要其二維變換。二維 DCT 變換表示如下：其中正變換為 （3?????????10 21212, ,coscosMNxy uxvyGuvCuvfxyMN???? ???????????????5）其中反變換為 （3?????????10 21212, ,coscosMNxy uxvyfxyCuvf N???? ??????????????6）其中 ??1,0,=2uvCuv?????其 它本文算法是用 M 語言編寫實現(xiàn)，在 MATLAB 中實現(xiàn)二維 DCT 變換的函數(shù)有 dct2和 idct2。具體用法如下：I=dct2(Im)，返回圖像 Im 的二維離散余弦變換值，它的大小與 Im 相同，且各元素為離散余弦變換的系數(shù) 。??12,IkI=dct2(Im,m,n)、I=dct2(Im,[m n]) ，在對 Im 進行二維離散余弦變換之前，先將圖像Im 補零至 。如果 m 和 n 比圖像 Im 的尺寸小，則在進行變換之前，對圖像 Im 進n?行剪切。idct2 是逆變換函數(shù)，其用法和 dct2 類似。10 / 48 簡單 DCT 數(shù)字水印算法載體圖像分塊 D C T水印圖像嵌入算法 含水印圖像I D C T提取算法判斷結(jié)果A r n o l d 變換A r n o l d 變換密鑰預(yù)處理含水印圖像圖 31 基于 DCT 算法的數(shù)字水印仿真系統(tǒng)框圖以灰度圖像 I，大小為 為載體圖像，二值圖像 J（大小為 ）為水印圖像，MN?mn?以二值特征選擇不同的嵌入系數(shù)。將載體圖像進行 88 分塊，然后將水印信息直接嵌入到載體圖像的變換域中。步驟如下：第一步：將 I 分為 個互不覆蓋的子塊；??8第二步：根據(jù)載體圖像分塊的塊數(shù)，將水印圖像也分成互不覆蓋的子塊。第三步：對載體圖像小塊逐個進行 DCT 變換，再根據(jù)水印圖像二值信息選擇水印嵌入位置，按照某種簡單的線性運算將水印塊嵌入到對應(yīng)的載體塊中，并替換原始載體塊。第四步：對各子塊進行 IDCT 變換，即可得到含水印的圖像。水印提取也是水印算法的重要部分，是嵌入的逆過程，可以根據(jù)嵌入過程和選擇的線性運算提取水印。DCT 數(shù)字水印算法框圖如圖 31 所示。 DWT 基礎(chǔ)理論小波變換包括連續(xù)小波變換和離散小波變換，其主要特點集中表現(xiàn)在對時間頻率（或者空間頻率）的雙重分析和多分辨率分析能力，被譽為“數(shù)學(xué)顯微鏡” ，在很多領(lǐng)域內(nèi)具有重要的應(yīng)用價值。 連續(xù)小波變換及小波變換過程在小波分析中，主要討論 R 上平方可積函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)空間 ，即??2LR????22RftLftd??????若 ，則稱 為能量有限信號。 常被稱為能量有限的信號空間。若??2ftLR?ft 2，其傅立葉變換 滿足容許性條件????t?11 / 48 （312?()Cd?????????7）即 有界，此時稱 為一個即小波或母小波，將母小波經(jīng)過伸縮和平移變換后，就可C?以得到一個小波序列 （38??,1abxbta?????????）其中， ，且 。 為伸縮因子， 為平移因子，可以定義下式,abR?0? （3????+,1,abtbWfffda? ???????????9）為關(guān)于母小波 的連續(xù)小波變換或積分小波變換， 表示共軛運算。由式（39）可?（ ）以看出由關(guān)于 的一維函數(shù)變成關(guān)于 和 的時頻函數(shù)。連續(xù)小波逆變換如式（ 310）t ab所示： （3,211()(),()abftWfxdC???????????10）連續(xù)小波變換的實質(zhì)是將 空間中的任意函數(shù) 表示為不同伸縮因子 和??2LR??ft a平移因子 在 上的投影的疊加。改變 和 ，可以得到具有不同時頻寬度的小b??,at?ab波去匹配原始信號的任意位置，達到對信號局部時頻化分析的目的。從式（39 ）可以總結(jié)出連續(xù)小波變換的步驟如下：第一步：選定一個小波 和原始信號 進行比較；??t??ft第二步：計算該時刻的小波系數(shù) ，如圖 32 所示， 表示了該小波與處在分析CC時段內(nèi)的信號波形相似程度。 愈大，表示兩者的波形相似程度愈高。小波變換系數(shù)依賴于所選擇的小波。因此，為了檢測某些特定波形的信號，應(yīng)該選擇波形相近的小波進行分析。12 / 48圖 32 計算小波系數(shù) C第三步：小波右移，距離為 ，得到小波函數(shù) ，如圖 33 所示：然后重復(fù)b??tb??第一步和第二步，直到分析覆蓋信號所有區(qū)間。圖 33 小波右移距離 b圖 34 調(diào)整小波伸縮尺度 a第四步：調(diào)整 ，擴展小波 ，得到小波函數(shù)為 ，如圖 34 所示。a??tb??tb????????第五步：重復(fù)第一步到第四步。 離散小波變換在實際應(yīng)用中，多把連續(xù)小波變換離散化，對 和 按如下規(guī)律取樣：ab ， （30ma?0mn11）式中， ， ，把其帶入式（38）可得離散小波：01,abR??,mnZ13 / 48 （3???2, 00mmntatnb???12）相應(yīng)的離散小波變換為 （3?????+2, 00,mmabWffftatnbdt? ??????13）若 是離散的，記為 ，則離散小波逆變換為??ft??fk （3??,(,)mnmnfWfabt???????14） 提出的多分辨率分析給出了小波基的一般方法及快速傅立葉算法并將小波變換應(yīng)用于圖像分解和重構(gòu)，這在小波理論上是一個突破性進展。為了將小波變換應(yīng)用于圖像處理，引入二維變換。定義信號 的連續(xù)小波變換 為??,fxy??,xyWfab? （3??2(,)1, ,xy yxxyabRWfabf f da????????????15）式中， 和 分別表示 在軸上的 ， 平移量。重構(gòu)小波逆變換為xy??,f （3?2 ,1, ,yxxyabR bfWf daa?? ?????????16）類似可以定義二維離散小波逼近，并采用 Mallat 二維快速算法求解。 簡單 DWT 數(shù)字水印算法本文將水印信息嵌入到 DWT 的三層頻率域分解的低頻分量中。因為圖像的低頻分量為圖像的近似圖像，表示圖像的整體，在這些分量上的修改，對整體效果影響不大，所以選擇嵌入到低頻分量中，不會產(chǎn)生明顯的圖像質(zhì)量下降。而圖像的高頻分量為細節(jié)圖像，若在這些分量中嵌入水印信息，容易修改掉一些細節(jié)信息，改變圖像的視覺質(zhì)量。在算法中三層分解就足夠精細。如圖 35 所示的三級小波頻率域分解示意圖。14 / 48H H 1L H 1H L 1H H 2L H 2H L 2L L 2L H 1H H 1H L 1L L 1L L 3H L 3L H 3H H 3H H 1L H 1H L 1H H 2L H 2H L 2圖 35 可分離二維小波變換的頻率域分解本文將水印信息線型嵌入到 LL3 分量中，可以最大的減小因水印信息引起的圖像質(zhì)量的下降。水印系統(tǒng)框圖如圖 36 所示，在系統(tǒng)中對水印進行了 Arnold 置亂，在此刻途中沒有畫出載體圖像和水印圖像的預(yù)處理部分，在實際系統(tǒng)中都要對他們進行一系列的預(yù)處理，以提高水印算法的性能。水印圖像載體圖像線型嵌入含水印圖像提取算法圖像重構(gòu)A r n o l d 變換提取的水印A r n o l d 變換三級 D W T圖 36 基于 DWT 算法的數(shù)字水印仿真系統(tǒng)框圖在 MATLAB 中，對圖像進行小波變換的常用函數(shù)有：a）對圖像進行一次二維小波分解，常見形式為[CA,CH,CV,CD]=dwt2(X,’wname’)式中，X 為圖像矩陣，wname 為所用的小波基名稱。wname 可選用 haar（哈爾小波） 、db（Daubechies 小波） 、bior（雙正交樣條小波）等。b）查詢使用的小波基函數(shù)的信息，使用形式為waveinfo(‘wname’)c）對二維小波分解的圖像進行各種分量的重構(gòu)，常見形式為Y=upcoef2(O,X,’wname’,N)X 是分解后的細節(jié)信號；Y 是重構(gòu)的細節(jié)信號分量；N 表示對矩陣 X 的系數(shù)進行重建的步驟數(shù)，即重構(gòu)的層數(shù)，默認(rèn)值為 1；O 是信號細節(jié)類型， O 可選 a、h、v、d。d）與二維小波變換相對應(yīng)的小波逆變換，常見形式為X=idwt2(CA,CH,CV,CD,’wname’)idwt2 函數(shù)采用 wname 所指示的小波、已重建的基于近似矩陣 CA，以及水平細節(jié)CH、垂直細節(jié) CV 和對角細節(jié) CD 計算原圖像矩陣 X。15 / 48 Arnold 變換較常用的置亂技術(shù)有幻方變換、Arnold 變換、FASS 曲線、Gray 代碼和生命模型等。Arnold 變換算法簡單且具有周期性 [14]，當(dāng)變換到一定次數(shù)時又可以恢復(fù)原圖像。但是，為了減少復(fù)雜度，在數(shù)字水印中對水印圖像的大小有一定的要求。 Arnold 變換的定義Arnold 置亂變換（Cat Mapping）是 在遍歷理論的研究中提出的一類圖像裁剪變換。數(shù)字圖像為一個二維矩陣， 為圖像的像素點的灰度值， （??,Ixy??,xy）為像素坐標(biāo)，Arnold 變換 [15]為:??,12,3xyN??? （3??39。39。1mod2xxNyy???????????17）表示像素點 經(jīng)一次 Arnold 變換后得到的新位置坐標(biāo)。 表示對 和39。39。(,)xy??,xy odN39。x取模以保證它們?nèi)栽?范圍內(nèi)。對圖像進行 Arnold 變換就是把圖像的39。 ??01,2N??像素點按照（317）式進行移動，像素灰度值也隨之移動，明顯原圖像的圖像信息會發(fā)生變化，經(jīng)過一次變換后圖像信息就變得混亂起來，這就是一次 Arnold 變換。 Arnold 變換周期由于 個像素所能表現(xiàn)的圖像是有限的，因此迭代過程呈周期現(xiàn)象。變換的迭N?代公式 [16]為： ( ) （31(mod)nxyPAN??0,12,nN???18）但變換進行到一定次數(shù)后，圖像的點集必然恢復(fù)到原來位置，置亂的圖像恢復(fù)。周期T 的計算方法是：使 從 1 開始，依次加 1，直到下式：n （30(mod)21nN?????????????19）成立，這時 的值就是 N 所對應(yīng)的 Arnold 變換周期 T。不同 N 對應(yīng)的周期 T 如表 3n1。表 31 不同 N 對應(yīng)的二維 Arnold 變換周期 TN 2 4 8 10 12 16 24 25T 3 3 6 30 12 12 12 50N 32 48 64 120 128 256 480 51216 / 48T 24 12 48 60 96 192 120 384因此可以根據(jù) Arnold 變換的周期性來恢復(fù)圖像。Arnold 變換相關(guān)的 M 文件有（變換 和計算周期 ）詳見附錄。 Arnold 變換及周期計算 MATLAB 實現(xiàn)在 MATLAB 環(huán)境下編寫 M 文件實現(xiàn) Arnold 變換函數(shù) 文件和計算 Arnold周期函數(shù) 文件詳見附錄，測試結(jié)果如圖 37 所示。測試圖片 大小為 512512，查表 31 可知其 Arnold 置亂周期 T=384。由圖 37 可知，經(jīng)過 1 次迭代之后，圖片的置亂效果就比較明顯，但是還可以看出一些原圖的痕跡；但是當(dāng)?shù)螖?shù)達到 5 次