【文章內容簡介】 本）來表達的，因此這些量是容易計算的。這些量是點估計量。一旦從樣本數(shù)據(jù)得到OLS估計值，便容易畫出樣本回歸線，這樣得到的回歸線有如下性質：（1）它通過Y和X的樣本均值。即（2）估計的Y均值等于實測的Y均值。即（3）殘差ei的均值為零。即∑ei=0。據(jù)此，我們可以推出樣本回歸函數(shù)的離差形式。即注意：在計量經(jīng)濟學中，往往以小寫字母表示對均值的離差。 記 則有 可得 （**）（**）式為樣本回歸函數(shù)的離差形式。（4）殘差ei和預測的Yi值不相關。即（5）殘差ei和Xi不相關。即 ∑eiXi=0三、線性回歸模型的基本假設為什么要做出假定：雖然通過OLS，我們可以獲得 , 的估計值，但我們的目的不僅僅是為了得到它們的值。更為重要的是對b0 , b1與真實的b0 , b1 之間的替代性進行推斷。對Yi與E(Y|X=Xi)之間的差距到底有多大進行推斷。在模型 中， ei是一隨機變量，如果我們不知道xi、ei是怎樣產(chǎn)生的，就無法對Yi做出任何推斷，也無法對b0 , b1 做出任何推斷。 在一系列假定下，OLS具有良好的統(tǒng)計性質，能夠滿足我們對bb0 , b1 作出推斷的要求。線性回歸模型的基本假設假設線性回歸模型，回歸模型對參數(shù)而言是線性的； 假設解釋變量X是確定性變量，不是隨機變量； 假設隨機誤差項m具有零均值、同方差和不序列相關性： E(mi)=0 i=1,2, …,n Var(mi)=ssm2 i=1,2, …,n Cov(mi, mj)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 假設隨機誤差項m與解釋變量X之間不相關：Cov(Xi, mi)=0 i=1,2, …,n假設m服從零均值、同方差、零協(xié)方差的正態(tài)分布 mi~N(0, s2 ) i=1,2, …,n假設觀測次數(shù)n必須大于待估的參數(shù)個數(shù)；假設X值要有變異性；假設正確的設定了回歸模型；也被稱為模型沒有設定偏誤（specification error） ；假設在多元回歸模型中沒有完全的多重共線性。注意：如果假設3滿足，則假設4也滿足。如果假設5滿足，則假設3也滿足。以上假設也稱為線性回歸模型的經(jīng)典假設或高斯（Gauss）假設，滿足該假設的線性回歸模型，也稱為經(jīng)典線性回歸模型。 另外，在進行模型回歸時，還有一個暗含的假設： 假設10：隨著樣本容量的無限增加，解釋變量X的樣本方差趨于一有限常數(shù)。即假設5旨在排除時間序列數(shù)據(jù)出現(xiàn)持續(xù)上升或下降的變量作為解釋變量，因為這類數(shù)據(jù)不僅使大樣本統(tǒng)計推斷變得無效，而且往往產(chǎn)生所謂的偽回歸問題。 四、假定條件下的最小二乘估計量的統(tǒng)計性質當模型參數(shù)估計出后，需考慮參數(shù)估計值的精度，即是否能代表總體參數(shù)的真值，或者說需考察參數(shù)估計量的統(tǒng)計性質。一個用于考察總體的估計量，可從如下幾個方面考察其優(yōu)劣性： （1）線性性，即它是否是另一隨機變量的線性函數(shù)； （2）無偏性，即它的均值或期望值是否等于總體的真實值； （3）有效性，即它是否在所有線性無偏估計量中具有最小方差。（4）漸近無偏性，即樣本容量趨于無窮大時，是否它的均值序列趨于總體真值；（5）一致性，即樣本容量趨于無窮大時，它是否依概率收斂于總體的真值；（6）漸近有效性，即樣本容量趨于無窮大時，是否它在所有的一致估計量中具有最小的漸近方差。這三個準則也稱作估計量的小樣本性質。 擁有這類性質的估計量稱為最佳線性無偏估計量（best liner unbiased estimator, BLUE）。 當不滿足小樣本性質時，需進一步考察估計量的大樣本或漸近性質：高斯—馬爾可夫定理在給定經(jīng)典線性回歸的假定下，最小二乘估計量是具有最小方差的線性無偏估計量。證證：易知 故同樣地，容易得出 （2）證明最小方差性其中，ci=ki+di，di為不全為零的常數(shù)則容易證明普通最小二乘估計量稱為最佳線性無偏估計量 由于最小二乘估計量擁有一個“好”的估計量所應具備的小樣本特性，它自然也擁有大樣本特性。 五、參數(shù)估計量的概率分布及隨機干擾項方差的估計 隨機誤差項m的方差s2的估計由于隨機項mi不可觀測，只能從mi的估計——殘差ei出發(fā)，對總體方差進行估計。 s2又稱為總體方差?？梢宰C明，s2的最小二乘估計量為它是關于s2的無偏估計量。 第四章一元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗 一、擬合優(yōu)度檢驗 二、變量的顯著性檢驗 三、參數(shù)的置信區(qū)間 回歸分析是要通過樣本所估計的參數(shù)來代替總體的真實參數(shù)，或者說是用樣本回歸線代替總體回歸線。盡管從統(tǒng)計性質上已知，如果有足夠多的重復抽樣，參數(shù)的估計值的期望（均值）就等于其總體的參數(shù)真值，但在一次抽樣中，估計值不一定就等于該真值。 那么，在一次抽樣中，參數(shù)的估計值與真值的差異有多大，是否顯著，這就需要進一步進行統(tǒng)計檢驗。 主要包括擬合優(yōu)度檢驗、變量的顯著性檢驗及參數(shù)的區(qū)間估計。一、擬合優(yōu)度檢驗 擬合優(yōu)度檢驗：對樣本回歸直線與樣本觀測值之間擬合程度的檢驗。 度量擬合優(yōu)度的指標：判定系數(shù)（可決系數(shù)）r2（二元回歸）或R2（多元回歸）問題：采用普通最小二乘估計方法，已經(jīng)保證了模型最好地擬合了樣本觀測值，為什么還要檢驗擬合程度？總離差平方和的分解已知由一組樣本觀測值（Xi,Yi），i=1,2…,n得到如下樣本回歸直線 如果Yi=?i 即實際觀測值落在樣本回歸“線”上，則擬合最好?？烧J為，“離差”全部來自回歸線，而與“殘差”無關。對于所有樣本點，則需考慮這些點與樣本均值離差的平方和。我們可以得到：方程兩邊同時平方，求和得：TSS=ESS+RSSY的觀測值圍繞其均值的總離差(total varia可分解為兩部分：一部分來自回歸線(ESS)，另一部分則來自隨機勢力(RSS)。在給定樣本中，TSS不變， 如果實際觀測點離樣本回歸線越近，則ESS在TSS中占的比重越大，因此,擬合優(yōu)度：回歸平方和ESS/Y的總離差TSS可決系數(shù)R2統(tǒng)計量 稱 R2 為（樣本）可決系數(shù)/判定系數(shù)（coefficient of determination)。 可決系數(shù)的取值范圍：[0，1] R2越接近1，說明實際觀測點離樣本線越近，擬合優(yōu)度越高。二、回歸系數(shù)的區(qū)間估計如果存在這樣一個區(qū)間，稱之為置信區(qū)間。 1a稱為置信系數(shù)（置信度），a稱為顯著性水平；置信區(qū)間的端點稱為置信限或臨界值。從定義我們可以看出，區(qū)間估計量是一個構造出來的區(qū)間，要使得它把參數(shù)的真值包括在區(qū)間的界限內有一個特定的概率：1－α在給定α＝%的情況下,置信(隨機)%。它表示使用我們所描述的方法構造出來的%。我們能不能構造出這樣的區(qū)間呢？？依據(jù)什么來構造呢？？？依據(jù)概率知識我們知道，如果估計量的抽樣或概率分布已知，我們就可以構造出以一定概率包含真實β值的區(qū)間。對回歸系數(shù)β的區(qū)間估計可歸納為三種情況α＝， 即 1－ α＝ α＝， 即 1－ α＝ α＝，即 1－ α＝例如：取α＝， 即 1－ α＝，查標準正態(tài)分布表可知Z值在（－，）。即P（－＜Z＜）＝三、假設檢驗：回歸分析是要判斷解釋變量X是否是被解釋變量Y的一個顯著性的影響因素。 在一元線性模型中，就是要判斷X是否對Y具有顯著的線性性影響。這就需要進行變量的顯著性檢驗。變量的顯著性檢驗所應用的方法是數(shù)理統(tǒng)計學中的假設檢驗。 計量經(jīng)計學中，主要是針對變量的參數(shù)真值是否為零來進行顯著性檢驗的。 假設檢驗 所謂假設檢驗，就是事先對總體參數(shù)或總體分布形式作出一個假設，然后利用樣本信息來判斷原假設是否合理，即判斷樣本信息與原假設是否有顯著差異，從而決定是否接受或否定原假設。 當我們拒絕原假設（虛擬假設）時，我們說發(fā)現(xiàn)統(tǒng)計上是顯著的。當我們不拒絕原假設時，我們說發(fā)現(xiàn)不是統(tǒng)計上顯著的。 假設檢驗采用的邏輯推理方法是反證法。 先假定原假設正確，然后根據(jù)樣本信息，觀察由此假設而導致的