直線間的夾角、平面間的夾角(第一課時)(北師大版選修2-1)(編輯修改稿)
2024-07-15 03:56 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 c os 〈 a ， b 〉＝a b|a||b|＝66 8＝32， ∴ 〈 a ， b 〉＝π6即為兩直線的夾角． 1．已知直線 l1的一個方向向量為 a＝ (1，－ 2,1)，直線 l2的 一個方向向量為 b＝ (2，－ 2,0)，則兩直線的夾角為________． 答案：π6 解： 法一： 以 A 點為坐標原點，建立直角坐標系如右圖所示，設(shè) B ( 1, 0,0) ，則 C ( 1,1,0) ，A1( 0,0,1) ， ∴ AC ＝ ( 1,1,0) ，1BA ＝ ( － 1,0,1) ， ∴ c os 〈 AC ，1BA 〉＝AC 1BA| AC | |1BA | ＝? 1 ， 1 ， 0 ? ? － 1 ， 0 ， 1 ?2 2＝－12. 2．在棱長為 a的正方體 ABCD－ A1B1C1D1中，求異面直 線 BA1與 AC的夾角． ∴ 〈 AC ，1BA〉＝ 120176。 .故 AC 與 BA1的夾角為 60176。 . 法二 : ∵1BA＝ BA ＋1BB， AC ＝ AB ＋ BC ， ∴1BA AC ＝ ( BA ＋1BB) ( AB ＋ BC ) ＝ BA AB ＋ BA BC ＋1BB AB ＋1BB BC . ∵ AB ⊥ BC ， BB1⊥ AB ， BB1⊥ BC ， ∴ BA BC ＝ 0 ，1BB AB ＝ 0 ，1BB BC ＝ 0 ， ∴1BA AC ＝－ a2. 又 ∵1BA AC ＝ |1BA | | AC | c os 〈1BA ， AC 〉， ∴ c os 〈1BA ， AC 〉＝－ a22 a 2 a＝－12. ∴ 〈1BA ， AC 〉＝ 120176。 . 故異面直線 BA1與 AC 的夾角為 60176。 . 3. 如右圖，在四棱錐 P－ ABCD中， PD⊥ 平面 ABCD， ∠ PAD＝ 60176。 ， 在四邊形 ABCD中， ∠ ADC＝ ∠ DAB＝ 90176。 ， AB＝ 4， CD＝ 1， AD＝ 2. (1)建立適當?shù)淖鴺讼担懗鳇c B、 P的坐標； (2)求異面直線 PA與 BC夾角的余弦值． 解： ( 1) 如右圖建立空間直角坐標系， ∵∠ ADC ＝ ∠ DAB ＝ 90 176。 ， AB ＝ 4 ， CD ＝1 ， AD ＝ 2. ∴ A ( 2,0,0) ， C ( 0,1,0) ， B ( 2,4,0) ． 在 Rt △ P AD 中，由 AD ＝ 2 ， ∠ P AD ＝ 60176。 .得 PD ＝ 2 3 ， ∴ P ( 0,0,2 3 ) ． ( 2) 由 ( 1) 得 PA ＝ ( 2,0 ，－ 2 3 ) ， BC ＝ ( － 2 ，－ 3,0) ， ∴ c os 〈 PA ， BC 〉＝PA BC| BA || BC | ＝2 ? － 2 ? ＋ 0 ? － 3 ? ＋ ? － 2 3 ? 04 13＝－1313. 故異面直線 PA 與 BC 夾角的余弦值為13
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