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正文內(nèi)容

直線間的夾角、平面間的夾角(第一課時)(北師大版選修2-1)(編輯修改稿)

2024-07-15 03:56 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 c os 〈 a , b 〉=a b|a||b|=66 8=32, ∴ 〈 a , b 〉=π6即為兩直線的夾角. 1.已知直線 l1的一個方向向量為 a= (1,- 2,1),直線 l2的 一個方向向量為 b= (2,- 2,0),則兩直線的夾角為________. 答案:π6 解: 法一: 以 A 點為坐標原點,建立直角坐標系如右圖所示,設 B ( 1, 0,0) ,則 C ( 1,1,0) ,A1( 0,0,1) , ∴ AC = ( 1,1,0) ,1BA = ( - 1,0,1) , ∴ c os 〈 AC ,1BA 〉=AC 1BA| AC | |1BA | =? 1 , 1 , 0 ? ? - 1 , 0 , 1 ?2 2=-12. 2.在棱長為 a的正方體 ABCD- A1B1C1D1中,求異面直 線 BA1與 AC的夾角. ∴ 〈 AC ,1BA〉= 120176。 .故 AC 與 BA1的夾角為 60176。 . 法二 : ∵1BA= BA +1BB, AC = AB + BC , ∴1BA AC = ( BA +1BB) ( AB + BC ) = BA AB + BA BC +1BB AB +1BB BC . ∵ AB ⊥ BC , BB1⊥ AB , BB1⊥ BC , ∴ BA BC = 0 ,1BB AB = 0 ,1BB BC = 0 , ∴1BA AC =- a2. 又 ∵1BA AC = |1BA | | AC | c os 〈1BA , AC 〉, ∴ c os 〈1BA , AC 〉=- a22 a 2 a=-12. ∴ 〈1BA , AC 〉= 120176。 . 故異面直線 BA1與 AC 的夾角為 60176。 . 3. 如右圖,在四棱錐 P- ABCD中, PD⊥ 平面 ABCD, ∠ PAD= 60176。 , 在四邊形 ABCD中, ∠ ADC= ∠ DAB= 90176。 , AB= 4, CD= 1, AD= 2. (1)建立適當?shù)淖鴺讼?,并寫出點 B、 P的坐標; (2)求異面直線 PA與 BC夾角的余弦值. 解: ( 1) 如右圖建立空間直角坐標系, ∵∠ ADC = ∠ DAB = 90 176。 , AB = 4 , CD =1 , AD = 2. ∴ A ( 2,0,0) , C ( 0,1,0) , B ( 2,4,0) . 在 Rt △ P AD 中,由 AD = 2 , ∠ P AD = 60176。 .得 PD = 2 3 , ∴ P ( 0,0,2 3 ) . ( 2) 由 ( 1) 得 PA = ( 2,0 ,- 2 3 ) , BC = ( - 2 ,- 3,0) , ∴ c os 〈 PA , BC 〉=PA BC| BA || BC | =2 ? - 2 ? + 0 ? - 3 ? + ? - 2 3 ? 04 13=-1313. 故異面直線 PA 與 BC 夾角的余弦值為13
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