直線間的夾角、平面間的夾角(第一課時)(北師大版選修2-1)-文庫吧在線文庫
【正文】 l ，在 上作直線 l2⊥ l ，則 的夾角叫作平面 π1與 π2的夾角． 〈 s1， s2〉 π－ 〈 s1， s2〉 平面 π1 平面 π2 直線 l1和 l2 (2) 計算：已知平面 π1和 π2的法向量分別為 n1和 n2， 當 0 ≤ 〈 n1， n2〉 ≤π2時，平面 π1和 π2的夾角等于〈 n1，n2〉； 當π2 〈 n1， n2〉 ≤ π 時，平面 π1和 π2的夾角等于 π －〈 n1， n2〉． 1 ．求空間角時，要注意角的范圍． ( 1) 異面直線夾角范圍是??????0 ，π2； ( 2) 兩平面夾角范圍是??????0 ，π2. 2 ．求兩異面直線的夾角、兩平面夾角時可用定義求解；也可用直線的方向向量、平面的法向量的夾角進行求解，但要注意其轉(zhuǎn)化關(guān)系． [例 1] 如圖所示，在四棱錐 P－ ABCD中，底面 ABCD是一直角梯形， ∠ BAD＝ 90176。 ＝ 2 a |1BA | ＝? 1 ， 1 ， 0 ? AB ＋1BB c os 〈1BA ， AC 〉， ∴ c os 〈1BA ， AC 〉＝－ a22 a BC| BA || BC | ＝2 ? － 2 ? ＋ 0 ? － 3 ? ＋ ? － 2 3 ? 04 13＝－1313. 故異面直線 PA 與 BC 夾角的余弦值為1313. [ 例 2] ( 12 分 ) 如圖， PA ⊥ 平面ABC ， AC ⊥ BC ， PA ＝ AC ＝ 1 ， BC ＝2 ，求平面 P AB 與平面 P B C 的夾角的余弦值． [ 思路點撥 ] 建立空間直角坐標系，利用法向量進行求解． [ 精解詳析 ] 如圖建立空間直角坐標系，則 A ( 0,0,0) ， B ( 2 ， 1,0) ， C ( 0,1,0) ，P ( 0,0,1) ， AP ＝ ( 0,0,1) ， AB ＝ ( 2 ， 1,0) ，CB ＝ ( 2 ， 0,0) ， CP ＝ (0 ，－ 1,1 ) ． ( 3 分 ) 設(shè)平面 P AB 的法向量為 m ＝ ( x ， y ， z ) ， 則??? m ⊥ AP ，m ⊥ AB ，即??? m ? 0 ，－ 1 ， 1 ? ＝ 0. ∴????? x ′ ＝ 0 ，y ′ ＝ z ′ . (9 分 ) 令 y ′ ＝ 1 ， ∴ n ＝ ( 0,1, 1) ． ( 10 分 ) ∴ c os 〈 m ， n 〉＝m n| AD |1AC| n ||1AC|＝1442， ∴ 平面 A1DE 與平面 B D E 夾角的余弦值為1442. 5 ．在底面是直角梯形的四棱錐 S － ABCD 中， ∠ ABC ＝90176。 ? 2 ， 1 ， 0 ? ＝ 0. ∴????? y ＝－ 2 x ，z ＝ 0. (6 分 ) 令 x ＝ 1 ，得 m ＝ (1 ，－
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