直線間的夾角、平面間的夾角(第一課時)(北師大版選修2-1)(已改無錯字)
2023-07-19 03:56:01 本頁面
【正文】 13. [ 例 2] ( 12 分 ) 如圖， PA ⊥ 平面ABC ， AC ⊥ BC ， PA ＝ AC ＝ 1 ， BC ＝2 ，求平面 P AB 與平面 P B C 的夾角的余弦值． [ 思路點撥 ] 建立空間直角坐標系，利用法向量進行求解． [ 精解詳析 ] 如圖建立空間直角坐標系，則 A ( 0,0,0) ， B ( 2 ， 1,0) ， C ( 0,1,0) ，P ( 0,0,1) ， AP ＝ ( 0,0,1) ， AB ＝ ( 2 ， 1,0) ，CB ＝ ( 2 ， 0,0) ， CP ＝ (0 ，－ 1,1 ) ． ( 3 分 ) 設(shè)平面 P AB 的法向量為 m ＝ ( x ， y ， z ) ， 則??? m ⊥ AP ，m ⊥ AB ，即??? m AP ＝ 0 ，m AB ＝ 0 ， ( 4 分 ) ∴????? ? x ， y ， z ? ? 0 ， 0 ， 1 ? ＝ 0 ，? x ， y ， z ? ? 2 ， 1 ， 0 ? ＝ 0. ∴????? y ＝－ 2 x ，z ＝ 0. (6 分 ) 令 x ＝ 1 ，得 m ＝ (1 ，－ 2 ， 0) ， (7 分 ) 設(shè)平面 PBC 的法向量為 n ＝ ( x ′ ， y ′ ， z ′ ) ， 則????? n ⊥ CB ，n ⊥ CP ， 即????? n CB ＝ 0 ，n CP ＝ 0 ， (8 分 ) ∴????? ? x ′ ， y ′ ， z ′ ? ? 2 ， 0 ， 0 ? ＝ 0 ，? x ′ ， y ′ ， z ′ ? ? 0 ，－ 1 ， 1 ? ＝ 0. ∴????? x ′ ＝ 0 ，y ′ ＝ z ′ . (9 分 ) 令 y ′ ＝ 1 ， ∴ n ＝ ( 0,1, 1) ． ( 10 分 ) ∴ c os 〈 m ， n 〉＝m n|m || n |＝－33. ( 1 1 分 ) 而平面 P AB 與平面 PBC 夾角 ∈??????0 ，π2 ∴ 平面 P AB 與平面 PBC 夾角的余弦值為33. ( 12 分 ) [ 一點通 ] 求兩平面的夾角有兩種方法： ( 1) 定義法：在兩個平面內(nèi)分別找出與兩平面交線垂直的直線，這兩條直線的夾角即為兩平面的夾角．也可轉(zhuǎn)化為求與兩面交線垂直的直線的方向向量的夾角，但要注意其異同． ( 2) 法向量法：分別求出兩平面的法向量 n1， n2，則兩平面的夾角為〈 n1， n2〉??????當〈 n1， n2〉 ∈??????0 ，π2時 或 π －〈 n1，n2〉??????當〈 n1， n2〉 ∈??????π2， π 時 . 4．正四棱柱 ABCD－ A1B1C1D1中， AA1＝ 2AB＝ 4，點 E在 CC1且 C1E＝ 3EC. (1)證明： A1C⊥ 平面 BED； (2)求平面 A
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