九章算術(shù)開方算法系統(tǒng)及其與現(xiàn)代計算機程序的比較(編輯修改稿)
2025-07-13 23:21 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 2 開 立方1103n 1103n－3103n－3（副）103n－3a22 (1)(2)(3)(4)(5)(6) 通過分析上面的籌算開立方方法，可知它是根據(jù)下面這些公式來逐步 推求的，也和現(xiàn)代迭代的方法完全一致，可以在計算機上實現(xiàn)。(a + b)3 = a3 + (3a2 + 3ab + b2)b (a + b + c)3 = (a + b)3 + [3(a + b)2 + 3(a + b)c + c2]c (a + b + c + d)3 = (a + b + c)3 + [3(a + b + c)2 + 3(a + b + c)d + d 2]d…… 中國古代數(shù)學將二次方程x2 + bx + c = 0 (b , c 0) 的正根稱為開帶從平方法，《九章算術(shù)》雖未給出開帶從平方和開帶從立方的程序，但在開平方、開立方術(shù)中從求根的第二位得數(shù)起，就是求形如x2 + bx + c = 0 , x3 + bx2 + cx = d (b , c , d 0) 正根的程序，這實際上已蘊含了開帶從平方和立方的程序?！∪?、劉徽對開方程序的改進劉徽借助于出入相補原理，對《九章算術(shù)》提出的開 平方、開立方程序給予了幾何解釋，從而證明了開方程序的合理性，使人們對開方術(shù)有了直觀性的感性認識。同時，在闡述其幾何意義時，對開方程序也作了改進，以往論者認為劉徽的開方程序與《九章算術(shù)》相同，劉徽祇是解釋了《九章算術(shù)》的程序，郭書春先生經(jīng)過研究指出二者起碼有兩個重大不同[4]： 首先，《九章算術(shù)》中，在議得某位得數(shù)（設第一位a， 第二位b）后，算出法（或定法）（開平方是a及2a + b； 開立方是a2及3a2 + 3ab + b2）， 再「以法除實」，使得「實如法」恰恰得到該位得數(shù)。此「除」即除法，顯然它還保留了開方由除法脫胎出來的痕跡，劉徽注開方術(shù)，是將「除實」解釋成以議得數(shù)乘法（開平方a2及 (2a + b)b；開立方是a3及 (3a2 + 3ab + b2)b減實，此「除」，即減，這無疑是程序上的一大進步。其次，《九章算術(shù)》的借算在每使用一次后都要撤去，議得次一位得 數(shù)時要復置借算（開立方時還要置中行）于個位，再「步之如初」，顯得繁瑣，劉徽則保留借算，將中行與借算先與法對齊，再通過退位求減根方程，顯得簡潔?？傊ㄟ^劉徽的改進，程序已簡便得多，已基本接近于現(xiàn)今方法， 后來在《孫子算經(jīng)》，《張丘建算經(jīng)》及賈憲《黃帝九章算經(jīng)細草》中得到了繼承和發(fā)展?！∷?、《九章算術(shù)》「開方術(shù)」與現(xiàn)代計算機程序比較 以上開平方、開立方、開帶以平方和立方程序，共同構(gòu)成中國古代數(shù) 學一個獨立的算法程序
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