【文章內(nèi)容簡介】 如果能對(duì)原有的相關(guān)概念作一些結(jié)構(gòu)上的變化，引入新概念，這對(duì)加深知識(shí)本質(zhì)的理解有十分重要的意義。(2)通過對(duì)比進(jìn)行辨析“概念學(xué)得多了，反而有些糊涂?！边@是部分同學(xué)的感受。有這種感受是非常正常的現(xiàn)象，因?yàn)閿?shù)學(xué)概念是很容易混淆的，一些類似的概念，只有在對(duì)比中才能找出聯(lián)系和區(qū)別，如直線、射線、線段這些概念，它們既有聯(lián)系也有區(qū)別，最好在對(duì)比中進(jìn)行辨析。(3)仔細(xì)推敲文字?jǐn)?shù)學(xué)概念具有精煉、抽象、嚴(yán)密的特點(diǎn)，在理解數(shù)學(xué)概念時(shí)，必須對(duì)其文字逐一進(jìn)行仔細(xì)推敲。 (4)從不同的層面上理解 有比較才有認(rèn)識(shí)，對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)概念要善于從正面、側(cè)面、上面、下面等各個(gè)層面上來認(rèn)識(shí)它。對(duì)于概念的內(nèi)部關(guān)系認(rèn)識(shí)不清，不利于理解概念，這說明數(shù)學(xué)未學(xué)深入。 (5)進(jìn)行變式分析和運(yùn)用 定義、定理、公式一般都可用數(shù)學(xué)符號(hào)來表達(dá)其對(duì)象間的關(guān)系。一個(gè)關(guān)系式里包含幾個(gè)量，雖有固定的關(guān)系，但不一定有惟一固定的形式。對(duì)關(guān)系式進(jìn)行合理變式，可得到更多的結(jié)論。例如，路程=速度時(shí)間，可以把它變?yōu)椋簳r(shí)間=路程247。速度，還可以變?yōu)椋核俣?路程247。時(shí)間。對(duì)概念進(jìn)行變式分析和運(yùn)用，能夠進(jìn)一步掌握概念的特征及廣泛效能。(6)建立一個(gè)數(shù)學(xué)概念網(wǎng)數(shù)學(xué)是一個(gè)個(gè)概念的點(diǎn)陣，所有相關(guān)的、從屬的概念要在頭腦中形成一個(gè)網(wǎng)絡(luò)。把不能納入其中的概念認(rèn)識(shí)清楚。總概念中各相關(guān)概念是怎樣發(fā)展的也要有一個(gè)清晰的脈絡(luò)。 正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的前提，同學(xué)們要不厭其煩地學(xué)習(xí)，既不要以為概念很抽象，不易理解，就干脆把它放過去，也不要以為它很容易懂，而不去深入理解。 三、學(xué)好數(shù)學(xué)貴在思考 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，首先要學(xué)會(huì)思考，培養(yǎng)自己的邏輯思維能力。有很多學(xué)生只一味解題，而不經(jīng)過周密的考慮，腦子里模模糊糊，效率很低。這些沒經(jīng)過思考做出的題目，正確率也是很低的。認(rèn)識(shí)了這一點(diǎn)之后，同學(xué)們都要勤于思考，掌握數(shù)學(xué)思維的規(guī)律，提高數(shù)學(xué)思維能力。下面就是數(shù)學(xué)中常見的四種思考方法。 (1)轉(zhuǎn)化 轉(zhuǎn)化是研究和解決數(shù)學(xué)問題的一種有效的思考方法，是運(yùn)用事物運(yùn)動(dòng)、變化、發(fā)展和事物之間互相聯(lián)系的觀點(diǎn)，把未知變?yōu)橐阎?，把?fù)雜變?yōu)楹唵蔚乃季S方法。 有時(shí)解一個(gè)數(shù)學(xué)題，可以不直接解原題目，而將題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為一個(gè)已經(jīng)解決的或比較容易解決的數(shù)學(xué)題，從而使原題得到解決。 應(yīng)用轉(zhuǎn)化的思想，首先，要樹立轉(zhuǎn)化意識(shí)。有些學(xué)生一拿到題就開始做，哪怕是非常復(fù)雜的題，也按照一貫的解題方法去解，結(jié)果很可能既浪費(fèi)了時(shí)間，又算不出結(jié)果。所以，當(dāng)你面對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)題時(shí)，不妨試著用轉(zhuǎn)化的方法，題目可能會(huì)變得非常簡單。其次，要把握好化繁為簡，化難為易，化未知為已知這個(gè)轉(zhuǎn)化的根本方向和基本原則。再次，要掌握好常用的一些轉(zhuǎn)化的具體方法。 (2)比較 比較是思維和理解的基礎(chǔ)，在認(rèn)識(shí)新事物的過程中，有時(shí)通過比較就能很容易地概括出要認(rèn)識(shí)的事物的類形或特征。尤其是數(shù)學(xué)知識(shí)，嚴(yán)密性和邏輯性強(qiáng)，往往一字一句之差，其意義和解法就大相徑庭。因此，必須加以比較，才能較快地區(qū)別出各自的特征，找出各自的解題規(guī)律。 比較分為類比和對(duì)比，類比是相同點(diǎn)的比較，對(duì)比是不同點(diǎn)的比較。幾何圖形的認(rèn)識(shí)就可以運(yùn)用比較法。 (3)歸納 歸納是人類思維的最基本的方法之一，數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中常用的重要思維方法。歸納法是指由有限個(gè)特殊事例歸納得出一般結(jié)論的推理方法。 思考是數(shù)學(xué)的靈魂，每個(gè)同學(xué)都要了解、掌握和運(yùn)用正確的數(shù)學(xué)思考方法，它有利于提高效率，開發(fā)智力，培養(yǎng)解決實(shí)際問題的能力，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。 四、數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要講究方法 復(fù)習(xí)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)必不可少的環(huán)節(jié)，復(fù)習(xí)的好與壞直接影響到學(xué)習(xí)成績的好與壞。同學(xué)們可根據(jù)自己的情況采用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄈ?fù)習(xí)。一般來說，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)方法分為以下4種。(1)基本復(fù)習(xí)法就是注重基礎(chǔ)知識(shí)。所謂精讀基本教科書，就是要在“理解”二字上狠下工夫，吃透基本概念、基本方法和基本定理。數(shù)學(xué)是一門邏輯性極強(qiáng)的演繹學(xué)科，只有深入理解基本概念，牢牢掌握基本定理和公式，才能找到解題的突破口和切人點(diǎn)。縱觀歷年的數(shù)學(xué)統(tǒng)考試題，沒有一道偏題或怪題。一些優(yōu)秀教師通過對(duì)考生的答卷進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)部分考生失分的一個(gè)重要原因就是對(duì)基本概念、定理記不全、記不牢，理解不準(zhǔn)確，解題不得要領(lǐng)。(2)全面復(fù)習(xí)法在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過程中，部分同學(xué)想方設(shè)法走捷徑，經(jīng)常利用猜題這一方法來復(fù)習(xí)。他們認(rèn)為不太重要的內(nèi)容，在考試中偏偏出現(xiàn)了，結(jié)果只能后悔莫及?？梢?，猜題的復(fù)習(xí)方法是靠不住的。應(yīng)當(dāng)參照考試大綱，進(jìn)行全面復(fù)習(xí)。全面復(fù)習(xí)不是死記硬背所有的知識(shí)，相反，是要抓住問題的實(shí)質(zhì)和各內(nèi)容、各方法的本質(zhì)聯(lián)系，把要記的東西縮小到最小程度。 (3)重點(diǎn)復(fù)習(xí)法 在全面復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上，要采取重點(diǎn)復(fù)習(xí)，不能眉毛胡子一把抓，不分主次。在考試大綱的要求中，對(duì)內(nèi)容有理解、了解、知道三個(gè)層次的要求；對(duì)方法有掌握、會(huì)(能)兩個(gè)層次的要求。一般來說，要求理解的內(nèi)容、要求掌握的方法是考試的重點(diǎn)。在考試中，這方面考題出現(xiàn)的概率較大。這里所講的重點(diǎn)復(fù)習(xí)，不僅要在主要內(nèi)容和方法上多下工夫，更重要的是要去尋找重點(diǎn)內(nèi)容與次要內(nèi)容間的聯(lián)系，以主帶次，用重點(diǎn)內(nèi)容統(tǒng)領(lǐng)整個(gè)內(nèi)容。主要內(nèi)容理解透了，其他的內(nèi)容和方法也就迎刃而解了。 (4)突擊復(fù)習(xí)法 突擊復(fù)習(xí)放在最后，就是沖刺階段，在這一階段，老師會(huì)將復(fù)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給同學(xué)們，讓同學(xué)們?nèi)プ杂蓮?fù)習(xí)。那么，同學(xué)們一定要抓好這個(gè)機(jī)會(huì)，把好復(fù)習(xí)的最后一關(guān)。具體地說，需要從以下幾個(gè)方面人手： 首先，檢索自己的知識(shí)系統(tǒng)，緊抓薄弱點(diǎn)，鎖定重中之重，爭取將最重要的知識(shí)掌握到爐火純青的地步。其次，抓思維易錯(cuò)點(diǎn)及注重典型題型。再次，瀏覽自己以前做過的習(xí)題、試卷，回憶自己學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)的歷程，做好“再”糾錯(cuò)工作。最后，不做難題、偏題、怪題，保持情緒穩(wěn)定，充滿信心，準(zhǔn)備應(yīng)考。 以上就是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的四種方法，在復(fù)習(xí)的過程中，還需要特別注意一點(diǎn)：重視實(shí)際應(yīng)用的復(fù)習(xí)方法。數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)不能像文科復(fù)習(xí)主要靠背記，應(yīng)通過“完成實(shí)際作業(yè)”來實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)?！〉谖迤簲?shù)學(xué)名家談學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)一、波利亞談怎樣學(xué)好數(shù)學(xué) 波利亞(G．polya，1887～1985)享壽98歲，曾任國際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)主席、名譽(yù)主席，他寫的《怎樣解題》、《數(shù)學(xué)與猜想》和《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》，被許多國家競(jìng)相翻譯，風(fēng)靡一時(shí)。下面是他關(guān)于怎樣學(xué)好數(shù)學(xué)的建議： 數(shù)學(xué)是必備工具、基本訓(xùn)練和樂趣 “數(shù)學(xué)除了是通向工程工作和科學(xué)知識(shí)的必由之路以外，還可能是一種樂趣并且可能開辟最高水平的智力活動(dòng)前景”。 “一個(gè)學(xué)生不熟悉某個(gè)具體幾何事實(shí)，他的損失并不大；如果未能掌握幾何證明，他就喪失了獲得嚴(yán)格論證訓(xùn)練的良機(jī)”。 注重獨(dú)立思考。培養(yǎng)創(chuàng)造才能 “永遠(yuǎn)要首先開動(dòng)自己的腦筋”，用“自己的方法”解題，才能“享受到發(fā)現(xiàn)的喜悅”，“養(yǎng)成善于思維的習(xí)慣，并在你心中留下深刻的印象，甚至?xí)绊懙侥阋簧男愿瘛！?“若在一個(gè)問題上真正下了功夫，即使他解題時(shí)沒有成功，他也可以從中受到教益”。 應(yīng)該學(xué)習(xí)邏輯推理。也要學(xué)習(xí)猜測(cè) “要成為一個(gè)好的數(shù)學(xué)家，你必須首先是個(gè)好的猜想家”?！皵?shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作成果是論證推理，即證明；但這個(gè)證明是通過合情推理，通過猜想而發(fā)現(xiàn)的”?！安聹y(cè)可能是錯(cuò)的，但是把一個(gè)逼真的猜測(cè)完全棄之不顧也同樣是愚蠢的”，“靈感就是在瞬間通過猜測(cè)而抓住事物本質(zhì)的聯(lián)系”。 熟悉有普遍意義的“怎樣解題”表 這張凝聚波利亞數(shù)十年心血的表格，包括： (1)弄清問題：“回答一個(gè)你尚未弄清的問題是愚蠢的”；(2)擬定計(jì)劃：“找出已知與未知之間的聯(lián)系”(直接的或間接的)；(3)實(shí)行計(jì)劃：保證每一步都是正確的；(4)回顧：檢驗(yàn)、別解、洞察及推廣等。 要有好的心理和情緒“認(rèn)為解題純粹是一種智能活動(dòng)是錯(cuò)誤的；決心與情緒所起的作用很重要”?！鞍l(fā)明創(chuàng)造是在專心致志的頭腦中自然涌現(xiàn)出來的”?！鞍l(fā)明創(chuàng)造的規(guī)律，第一條是動(dòng)腦筋和運(yùn)氣好；第二條是鍥而不舍”。 “有人把靈感說成上帝的恩賜，但你必須有強(qiáng)烈的愿望，才配得到這種恩賜”。 重視向常識(shí)和諺語學(xué)習(xí) 波利亞認(rèn)為，發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造的規(guī)律和探索法的精華，“看來都保存在常識(shí)和諺語的智慧之中”，“有大量諺語驚人地描述了解題中典型過程的特點(diǎn)、與它有關(guān)的常識(shí)、常用策略和常見錯(cuò)誤”。 有助數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與解題的諺語很多，如“知己知彼，百戰(zhàn)不殆”，“凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢”，“愚者魯莽從事，智者深謀遠(yuǎn)慮”，“有志者事竟成”，“天才來自勤奮”，“堅(jiān)持就是勝利”，“千方百計(jì)，不厭其煩”，“條條大路通羅馬”，“智者隨機(jī)應(yīng)變，愚者固執(zhí)己見”，“狡兔三窟”，“迷途知返”，“正難則反”，“釣魚的目的在于魚”，“不入虎穴，焉得虎子”，“飯要一口一口吃”，“一圖抵百語”，“從最簡單的開始”，“勿蹈前轍”，“欲求之先予之”，“拋兩個(gè)錨更安全”等。二、華羅庚談怎樣學(xué)好數(shù)學(xué) 華羅庚(1910．11．12～1985．6．12)出身貧寒，他沒有受過初中以上的正規(guī)教育，自學(xué)成才，成為我國進(jìn)入世界著名數(shù)學(xué)家行列最杰出的代表。他是怎樣學(xué)好數(shù)學(xué)的?下面摘錄他的部分自述： 數(shù)學(xué)有趣而有用 “數(shù)學(xué)本身，也有無窮的美妙．認(rèn)為數(shù)學(xué)枯燥無味，沒有藝術(shù)性，這看法是不正確的。就像站在花園外面，說花園里枯燥乏味一樣”。 “宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)”。 勤能補(bǔ)拙，熟能生巧 “勤能補(bǔ)拙是良訓(xùn)，一分辛苦一分才”。 “發(fā)憤早為好，茍晚休嫌遲。最忌不努力，一生都無知”。 “我以為，方法中最主要的一個(gè)問題，就是：熟能生巧”?！翱嗑毣罹殻环胚^任何一個(gè)機(jī)會(huì)”。 學(xué)習(xí)使人聰明 “我始終認(rèn)為，天才是‘努力’的充分發(fā)揮，唯有學(xué)習(xí)，不斷地學(xué)習(xí)，才能使人聰明”，“聰明在于學(xué)習(xí)，天才由于積累”。 由薄到厚、由厚到薄 “對(duì)于一些基本的東西，要學(xué)深學(xué)透．……什么叫學(xué)深學(xué)透?這就是要經(jīng)過‘由薄到厚’、‘由厚到薄’的過程”。當(dāng)我們對(duì)書的內(nèi)容真正有了透徹的了解，抓住了全書的要點(diǎn)，掌握了全書的精神實(shí)質(zhì)之后，就會(huì)感到書本變薄了。 獨(dú)立思考，其樂無窮 “獨(dú)立思考是取得正確認(rèn)識(shí)的必要方法，也是科學(xué)中克服困難的不二法門”。 “克服困難后的樂趣，那是信心和勝利的交響曲．有了興趣就會(huì)樂此不疲，好之不倦，因之也就會(huì)擠時(shí)間來學(xué)習(xí)了”。 數(shù)形結(jié)合，能“進(jìn)”善“退”“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非。切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離” ! “善于‘退’，足夠地‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅” !三、蘇步青談怎樣學(xué)好數(shù)學(xué) 蘇步青教授（——）。他出生在浙江平陽臥牛山下，家境貧寒，讀小學(xué)時(shí)也愛耍貪玩，成績“背榜”。經(jīng)過老師耐心教育，他發(fā)憤自強(qiáng)，躍為全班第一名，以后在整個(gè)求學(xué)期間一直保持第一名，成為聞名世界的數(shù)學(xué)家。下面是蘇老學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的摘錄。 聽從老師教導(dǎo)。自愛、自強(qiáng)、自覺 蘇老一再提及陳玉峰老師當(dāng)年對(duì)他的教誨：“別人看不起你，你就不讀書?這樣到什么時(shí)候才會(huì)被人看得起呢?“你的父親從家里挑米來交學(xué)費(fèi)，你年年‘背榜’，怎么對(duì)得起勤勞節(jié)儉的父母?”陳老師這一席動(dòng)情人理的話，成了蘇老“人生的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)”，從此自愛自重，自強(qiáng)不息，突飛猛進(jìn)，因此蘇老勉勵(lì)后輩：“只要有骨氣，肯拼搏，就能取勝”?！盀閷W(xué)應(yīng)須畢生力，攀高貴在少年對(duì)”。 多做習(xí)題，邊做邊思索“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，要多做習(xí)題，邊做邊思索，先知其然，而后弄清其所以然”?！拔也幌嘈牛说哪X力有那么厲害，學(xué)了一遍，做了很少習(xí)題，就會(huì)都理解透了，鞏固了”。 “要把教科書內(nèi)容包括其中所有習(xí)題學(xué)得深透、演得爛熟，真正做到?jīng)]有一個(gè)定理不會(huì)證，沒有一個(gè)習(xí)題不會(huì)做的程度。這樣，遇到了綜合題，就能把幾個(gè)單一的定理或公式融會(huì)貫通起來思考，再加上熟能生巧，綜合題就不難解出來了”。 學(xué)深學(xué)透基礎(chǔ)知識(shí)。打好基礎(chǔ) “有人問我做習(xí)題有什么‘秘訣’，我想了一下，認(rèn)為學(xué)數(shù)學(xué)要打好基礎(chǔ)，是一個(gè)根本問題”。 “我們?yōu)槭裁匆萘?xí)題呢?第一，是為了加深對(duì)書中的基本概念、定義和定理的理解，這是主要的。第二，也是為了訓(xùn)練我們的運(yùn)算技巧和邏輯思維”。 “必須指出，光靠演習(xí)題而忽視學(xué)深學(xué)透教科書中的基本概念、定義、定理(包括證明)，肯定是學(xué)不好數(shù)學(xué)，因而也演不出改頭換面的習(xí)題來的”。不抓住根本的東西，只拼命找題目去做，就變?yōu)樗^‘舍本而求末’”。 “我是經(jīng)過大量的基本訓(xùn)練，才達(dá)到了熟能生巧的地步，因而不管難題、偏題都能解出來。最后我用四個(gè)字來歸納——理解、熟練”。 循序漸進(jìn)。獨(dú)立思考。不怕艱難，持之以恒 “學(xué)習(xí)有其規(guī)律性，必須由淺入深，由易到難，由低到高，循序漸進(jìn)”。 “貴在獨(dú)立思考，要知道，依靠自己是最可靠的?！坝械耐瑢W(xué)怕動(dòng)腦筋，稍有疑問就問別人，結(jié)果自己真正得到的極少，更大的損失是自己沒有學(xué)會(huì)一套學(xué)習(xí)和工作的方法”。 “同學(xué)們必須用奮發(fā)圖強(qiáng)的精神對(duì)待困難”?！澳壳皩W(xué)習(xí)成績差的同學(xué)不要悲觀，不要性急，須知，欲速則不達(dá)”?！耙露Q心，從打基礎(chǔ)抓起，一點(diǎn)一滴，扎扎實(shí)實(shí)，把所學(xué)的定理、公式及其證明真正搞懂、弄熟。這樣也許時(shí)間多花一點(diǎn)，效果也許慢一點(diǎn)，但學(xué)習(xí)成績的提高也許會(huì)明顯一點(diǎn)”?！俺刹旁谟谇趭^與堅(jiān)持”。 四、陳景潤談怎樣學(xué)好數(shù)學(xué) 陳景潤(1933．5～1996．3)是一位傳奇式的數(shù)學(xué)巨匠，他勇敢挑戰(zhàn)世界著名難題“哥德巴赫猜想”，面壁20年，克服常人難以想象的困難，取得震驚世界的(1+2)成果。數(shù)學(xué)大師們稱陳景潤“移動(dòng)了數(shù)學(xué)的群山”，“不論怎么說是篩法理論的光輝頂峰”。鄧小平稱贊：像這樣一些世界上公認(rèn)有水平的人，中國有一千個(gè)就了不得了”。他的精神和經(jīng)驗(yàn)是我們民族的寶貴財(cái)富，值得我們學(xué)習(xí)。 他的抱負(fù)使中國人“真正頂天立地” 他說：“我衷心希望同學(xué)們牢記‘以天下為己任’的古訓(xùn)，為報(bào)效祖國而努力攀登科學(xué)高峰，只有祖國強(qiáng)盛起來，我們中國人才能真正頂天立地!”“‘打倒’維諾格拉多夫!”(注：維氏是世界級(jí)的數(shù)學(xué)大師，陳景潤決心超越他)“數(shù)學(xué)的皇冠是數(shù)論，而哥德巴赫猜想則是皇冠上那顆華光四射的明珠。我永遠(yuǎn)記著那顆明珠和我的抱負(fù)與理想!”。 明白數(shù)學(xué)的意義 “數(shù)學(xué)與人類生活密切相關(guān)”，“不論在大