【文章內(nèi)容簡介】 第21題圖2 第21題圖3 第21題圖4綜上所述：S與t的函數(shù)關(guān)系式為：S=3．（2010福建福州）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在直線y＝2x上，過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為A，OA＝5．若拋物線y＝x2＋bx＋c過O、A兩點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）若A點(diǎn)關(guān)于直線y＝2x的對稱點(diǎn)為C，判斷點(diǎn)C是否在該拋物線上，并說明理由；(第22題圖1) (第22題圖2)（3）如圖2，在（2）的條件下，⊙O1是以BC為直徑的圓．過原點(diǎn)O作⊙O1的切線OP，P為切點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合)．拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得以PQ為直徑的圓與⊙O1相切?若存在，求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】解：（1）把O（0，0）、A（5，0)分別代入y＝x2＋bx＋c，得解得∴ 該拋物線的解析式為y＝x2－x．（2）點(diǎn)C在該拋物線上． 理由：過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，連結(jié)OC，設(shè)AC交OB于點(diǎn)E． ∵ 點(diǎn)B在直線y＝2x上， ∴ B(5，10) ∵ 點(diǎn)A、C關(guān)于直線y＝2x對稱， ∴ OB⊥AC，CE＝AE，BC⊥OC，OC＝OA＝5，BC＝BA＝10． 又∵ AB⊥x軸，由勾股定理得OB＝5．∵ SRt△OAB＝AEOB＝OAAB， ∴ AE＝2， ∴ AC＝4． ∵ ∠OBA十∠CAB＝90176。，∠CAD＋∠CAB＝90176。， ∴ ∠CAD＝∠OBA． 又∵ ∠CDA＝∠OAB＝90176。， ∴ △CDA∽△OAB． ∴ ＝＝ ∴ CD＝4，AD＝8 ∴ C（－3，4） 當(dāng)x＝－3時(shí)，y＝9－(－3)＝4．∴ 點(diǎn)C在拋物線y＝x2－x上．（3）拋物線上存在點(diǎn)Q，使得以PQ為直徑的圓與⊙O1相切． 過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，連結(jié)O1P，過點(diǎn)O1作O1H⊥x軸于點(diǎn)H． ∴ CD∥O1H∥BA． ∵ C(－3，4)，B(5，10)， ∴ O1是BC的中點(diǎn)． ∴ 由平行線分線段成比例定理得AH＝DH＝AD＝4， ∴ OH＝OA－AH＝1．同理可得O1H＝7． ∴ 點(diǎn)O1的坐標(biāo)為(1，7)． ∵ BC⊥OC， ∴ OC為⊙O1的切線． 又∵OP為⊙O1的切線， ∴ OC＝OP＝O1C＝O1P＝5． ∴ 四邊形OPO1C為正方形． ∴ ∠COP＝900． ∴ ∠POF＝∠OCD．第22題圖 又∵∠PFD＝∠ODC＝90176。， ∴ △POF≌△OCD．∴ OF＝CD，PF＝OD． ∴ P(4，3)．設(shè)直線O1P的解析式為y＝kx+B(k≠0)．把O1(1，7)、P(4，3)分別代人y＝kx+B，得 解得∴ 直線O1P的解析式為y＝－x＋．若以PQ為直徑的圓與⊙O1相切，則點(diǎn)Q為直線O1P與拋物線的交點(diǎn)，可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m，n)，則有n＝－m＋，n＝m2－M∴ －m＋＝m2－M．整理得m2＋3m－50＝0，解得m＝∴ 點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為或．4．（2010江蘇無錫）如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（4，0）和（2，0），BC=．設(shè)直線AC與直線x=4交于點(diǎn)E．（1）求以直線x=4為對稱軸，且過C與原點(diǎn)O的拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并說明此拋物線一定過點(diǎn)E；（2）設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為N，M是該拋物線上位于C、N之間的一動(dòng)點(diǎn)，求△CMN面積的最大值．【答案】解：（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)．設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為， 則，解得∴所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為…………①設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為則，解得．∴直線AC的函數(shù)關(guān)系式為，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為把x=4代入①式，得，∴此拋物線過E點(diǎn)．（2）（1）中拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為N（8，0），設(shè)M（x，y），過M作MG⊥x軸于G，則S△CMN=S△MNG+S梯形MGBC—S△CBN===∴當(dāng)x=5時(shí)，S△CMN有最大值5．（2010湖南邵陽）如圖（十四），拋物線y＝與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D，對稱軸l與直線BC相交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F。（1）求直線BC的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)P為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，r為半徑作⊙P。①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，若⊙P與直線BC相交 ，求r的取值范圍；②若r=，是否存在點(diǎn)P使⊙P與直線BC相切，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．提示：拋物線y＝的頂點(diǎn)坐標(biāo)，對稱軸x＝. 圖（十四）【答案】解（1）令y=0，求得A點(diǎn)坐標(biāo)為（－2，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0）；令x＝0，求得C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）設(shè)BC直線為y＝kx＋b，把B、C點(diǎn)的坐標(biāo)代入得： 解得k＝，b=3故BC的解析式為：y=x＋3（2）①過點(diǎn)D（2，4）作DG⊥BC于點(diǎn)G，因?yàn)閽佄锞€的對稱軸是直線x=2，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，2），所以有EF＝2，F(xiàn)B＝4，EB＝2，DE＝2，從圖中可知，所以有： 解得DG＝ 故當(dāng)r＞，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，⊙P與直線BC相交②由①知，直線BC上方的點(diǎn)D符合要求。設(shè)過點(diǎn)D并與直線BC平行的直線為y＝x＋n，把點(diǎn)D的坐標(biāo)代入，求得n＝5，所以聯(lián)立： 解得兩點(diǎn)（2，4）為D點(diǎn)，（4，3）也符合條件。設(shè)在直線BC下方到直線BC的距離為的直線m與x軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥BC于點(diǎn)N，所以MN=，又tan∠NBM＝　所以NB=，BM＝4，所以點(diǎn)M與點(diǎn)F重合。設(shè)直線m為y=x＋b 把點(diǎn)F的坐標(biāo)，代入得：0＝2＋b 得b=1，所以直線m的解析式為：y＝ｘ+１聯(lián)立方程組：　　　解得：ｘ＝ 所以適合要求的點(diǎn)還有兩點(diǎn)即（3－，）與（3＋，）故當(dāng)r=，存在點(diǎn)P使⊙P與直線BC相切，符合條件的點(diǎn)P有四個(gè)，即是D（2，4），（4，3）和（3－，），（3＋，）的坐標(biāo)．6．（2010年上海）如圖8，已知平面直角坐標(biāo)系xOy，拋物線y＝－x2＋bx＋c過點(diǎn)A(4,0)、B(1,3) .（1）求該拋物線的表達(dá)式，并寫出該拋物線的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）記該拋物線的對稱軸為直線l，設(shè)拋物線上的點(diǎn)P(m,n)在第四象限，點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為E，點(diǎn)E關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為F，若四邊形OAPF的面積為20，求m、n的值.圖8【答案】解：(1) 拋物線y＝－x2＋bx＋c過點(diǎn) A(4,0)B(1,3).∴∴，對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2）∵直線EP∥OA,E與P兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，∴OE=AP,∴梯形OEPA為等腰梯形，∴∠OEP=∠APE,∵OE=OF, ∴∠OEP=∠AFE,∴∠OFP=∠APE,∴OF∥AP,∴四邊形OAPF為平行四邊形，∵四邊形OAPF的面積為20，∴，∴，∴.7．（2010重慶綦江縣）已知拋物線y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（12,0）和C（0，－6），對稱軸為x＝2．（1）求該拋物線的解析式；（2）點(diǎn)D在線段AB上且AD＝AC，若動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個(gè)單位長度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)Q以某一速度從C出發(fā)沿線段CB勻速運(yùn)動(dòng)，問是否存在某一時(shí)刻，使線段PQ被直線CD垂直平分？若存在，請求出此時(shí)的時(shí)間t（秒）和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；若不存在，請說明理由；（3）在（2）的結(jié)論下，直線x＝1上是否存在點(diǎn)M使，△MPQ為等腰三角形？若存在，請求出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由． 【答案】解：（1）方法一：∵拋物線過點(diǎn)C（0，－6）∴c＝－6，即y＝ax2＋bx－6由解得：，∴該拋物線的解析式為方法二：∵A、B關(guān)于x＝2對稱∴A（－8，0） 設(shè)C在拋物線上，∴－6＝a8，即a＝∴該拋物線解析式為：（2）存在，設(shè)直線CD垂直平分PQ，在Rt△AOC中，AC＝＝10＝AD∴點(diǎn)D在拋物線的對稱軸上，連結(jié)DQ，如圖：顯然∠PDC＝∠QDC，由已知∠PDC＝∠ACD∴∠QDC＝∠ACD，∴DQ∥ACDB＝AB－AD＝20－10＝10∴DQ為△ABC的中位線∴DQ＝AC＝5AP＝AD－PD＝AD－DQ＝10－5＝5∴t＝5247。1＝5（秒）∴存在t＝5（秒）時(shí)，線段PQ被直線CD垂直平分在Rt△BOC中，BC＝＝∴CQ＝∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為每秒單位長度．（3）存在．如圖，過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于H，則QH＝3，PH＝9在Rt△PQH中，PQ＝＝①當(dāng)MP＝MQ，即M為頂點(diǎn)，設(shè)直線CD的直線方程為y＝kx＋b（k≠0），則：，解得：∴y＝3x－6當(dāng)x＝1時(shí)，y＝－3∴M1(1，－3)②當(dāng)PQ為等腰△MPQ的腰時(shí)，且P為頂點(diǎn)，設(shè)直線x＝1上存在點(diǎn)M（1，y），由勾股定理得：42＋y2＝90，即y＝177?！郙2（1，）；M3（1，－）③當(dāng)PQ為等腰△MPQ的腰時(shí)，且Q為頂點(diǎn)．過點(diǎn)Q作QE⊥y軸于E，交直線x＝1于F，則F（1，－3）設(shè)直線x＝1存在點(diǎn)M（1，y）由勾股定理得：，即y＝－3177?！郙4（1，－3＋）；M5（1，－3－）綜上所述，存在這樣的五個(gè)點(diǎn)：M1(1，－3)；M2（1，）；M3（1，－）；M4（1，－3＋）；M5（1，－3－）8．（2010山東臨沂）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于,兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn).（1）求該拋物線的解析式，并判斷的形狀；（2）在軸上方的拋物線上有一點(diǎn),且以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在此拋物線上是否存在點(diǎn),使得以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.第26題圖【答案】解：根據(jù)題意，將A（,0）,B（2,0）代入y=x2+ax+b中，得解這個(gè)方程，得 全品中考網(wǎng)所以拋物線的解析式為y=x2+x+1.當(dāng)x=0時(shí)，y=（0，1）。所以在△AOC中，AC==.在△BOC中，BC==.AB=OA+OB=.因?yàn)锳C2+BC2=.所以△ABC是直角三角形。圖1（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)是.（3）存在。由（1）知，AC⊥BC, ① 若以BC為底邊，則BC∥AP,如圖（1）所示，可求得直線BC的解析式為.直線AP可以看作是由直線AC平移得到的，所以設(shè)直線AP的解析式為，將A（,0）代入直線AP的解析式求得b=,所以直線AP的解析式為. 因?yàn)辄c(diǎn)P既在拋物線上，又在直線AP上，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等，即x2+x+1=.解得（不合題意，舍去）.圖2 當(dāng)x=時(shí)，y=.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）.②若以AC為底邊，則BP∥AC，如圖（2）所示，可求得直線AC的解析式為.直線BP可以看作是由直線AC平移得到的，所以設(shè)直線BP的解析式為，將B（2,0）代入直線BP的解析式求得b=4,所以直線BP的解析式為y=2x4.因?yàn)辄c(diǎn)P既在拋物線上，又在直線BP上，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等，即x2+x+1=2x4解得（不合題意，舍去）.當(dāng)x=時(shí)，y=9.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，9）.綜上所述，滿足題目的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，9）.9．（2010四川宜賓）將直角邊長為6的等腰Rt△AOC放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C、A分別在x、y軸的正半軸上，一條拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、C及點(diǎn)B(–3，0)．(1)求該拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作AB的平行線交AC于點(diǎn)E，連接AP，當(dāng)△APE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點(diǎn)G，使△AGC的面積與（2）中△APE的最大面積相等?若存在，請求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】解：（1）由題意知：A（0，6），C（6，0），設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線解析式為y=ax2+bx+c24題圖則：解得：∴該拋物線的解析式為（