高中數(shù)學(xué)奧賽輔導(dǎo)：第四講不定方程(編輯修改稿)
2025-07-04 23:54 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 【證明】,即存在使 即 ① 記 則 當(dāng)時(shí)，分別由① 和令，代入①得 即 把代入后將分別得到但這是不可能的，故. 當(dāng)時(shí),由①得 ②若則由②知,，由于的任意性，所以只能有因此要使成立,只能,于是由③知有,這是不可能的,故同理可證 若,則由②可得,這是不可能的,故綜上,命題得證. 【評(píng)述】時(shí),有 例3：試求所有的正整數(shù)，使方程有正整數(shù)解.(1987年中國(guó)國(guó)家隊(duì)選拔考試題) 【解】設(shè)為其正整數(shù)解,由對(duì)稱性,，故但，因而 故 于是 易知（否則，若，則上式端不小于4，右端不大于3，矛盾），即因此，只能是或時(shí)不合）.把所得的解代入原方程就可得或1. 例4：在無(wú)限方格紙（方格的邊長(zhǎng)為1）上僅可沿網(wǎng)格線作劃分，求證：對(duì)于任一整數(shù)，可以劃分出這樣的矩形，它的面積大于，而從其中不可能再分出面積等于的矩形. (1985年第19屆全蘇數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題) 【證明】設(shè)某一矩形邊長(zhǎng)為不失一般性,，、應(yīng)滿足：但由于知,于是只要證明不等式組： ①有正整數(shù)解就可以了. 由于對(duì)任一正整數(shù)，必定有，所以可分下面四種情形討論： （1）當(dāng)時(shí)，①有解 （2）當(dāng)時(shí)，①有解 （3）當(dāng)時(shí)，①有解 （4）當(dāng)時(shí)，①有解 例5：求方程的所有整數(shù)解.(1986年第12屆全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題) 【解】因?yàn)?若令則原方程可化為，則，（其中，，故可由方程組解得原方程的整數(shù)解例6．求方程的所有正整數(shù)解.(1983年加拿大數(shù)學(xué)競(jìng)賽題) 【解】由對(duì)稱性,，于是 即于是由知， （1）時(shí)， （2）時(shí)，無(wú)解； （3）時(shí)，無(wú)解； （4）時(shí)，無(wú)解； 于是原方程只有一組正整數(shù)解：， 【評(píng)述】建立“遞推關(guān)系”,如果能建立未知數(shù)的某種遞推關(guān)系,并且再知一組簡(jiǎn)單解(相當(dāng)于遞推數(shù)列中的
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