【文章內容簡介】 、指數運算和對數運算，所以后來歐拉就索性把用這些運算連接變數x和常數c而成的式子，取名為解析函數，還將它分成了“代數函數”與“超越函數”．　　18世紀中葉，由于研究弦振動問題，達朗貝爾與歐拉先后引出了“任意的函數”的說法．在解釋“任意的函數”概念的時候，達朗貝爾說是指“任意的解析式”，而歐拉則認為是“任意畫出的一條曲線”．現在看來這都是函數的表達方式，是函數概念的外延．　?。ㄈ　—オズ瘮蹈拍钊狈茖W的定義，引起了理論與實踐的尖銳矛盾．例如，偏微分方程在工程技術中有廣泛應用，但由于沒有函數的科學定義，就極大地限制了偏微分方程理論的建立．1833年至1834年，高斯開始把注意力轉向物理學．他在和W威伯爾合作發(fā)明電報的過程中，做了許多關于磁的實驗工作，提出了“力與距離的平方成反比例”這個重要的理論，使得函數作為數學的一個獨立分支而出現了，實際的需要促使人們對函數的定義進一步研究．　　后來，人們又給出了這樣的定義：如果一個量依賴著另一個量，當后一量變化時前一量也隨著變化，那么第一個量稱為第二個量的函數．“這個定義雖然還沒有道出函數的本質，但卻把變化、運動注入到函數定義中去，是可喜的進步．”　　在函數概念發(fā)展史上，法國數學家富里埃的工作影響最大，富里埃深刻地揭示了函數的本質，主張函數不必局限于解析表達式．1822年，他在名著《熱的解析理論》中說，“通常，函數表示相接的一組值或縱坐標，它們中的每一個都是任意的……，我們不假定這些縱坐標服從一個共同的規(guī)律；他們以任何方式一個挨一個．”在該書中，他用一個三角級數和的形式表達了一個由不連續(xù)的“線”所給出的函數．更確切地說就是，任意一個以2π為周期函數，在〔－π，π〕區(qū)間內，可以由　　表示出，其中　　富里埃的研究，從根本上動搖了舊的關于函數概念的傳統(tǒng)思想，在當時的數學界引起了很大的震動．原來，在解析式和曲線之間并不存在不可逾越的鴻溝，級數把解析式和曲線溝通了，那種視函數為解析式的觀點終于成為揭示函數關系的巨大障礙．　　通過一場爭論，產生了羅巴切夫斯基和狄里克萊的函數定義．　　1834年，俄國數學家羅巴切夫斯基提出函數的定義：“x的函數是這樣的一個數，它對于每個x都有確定的值，并且隨著x一起變化．函數值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法．函數的這種依賴關系可以存在，但仍然是未知的．”這個定義建立了變量與函數之間的對應關系，是對函數概念的一個重大發(fā)展，因為“對應”是函數概念的一種本質屬性與核心部分．　　1837年，德國數學家狄里克萊（Dirichlet）認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，所以他的定義是：“如果對于x的每一值，y總有完全確定的值與之對應，則y是x的函數．”　　根據這個定義，即使像如下表述的，它仍然被說成是函數（狄里克萊函數）：　　f（x）= 1（x為有理數），　　0（x為無理數）．　　在這個函數中，如果x由0逐漸增大地取值，則f（x）忽0忽1．在無論怎樣小的區(qū)間里，f（x）無限止地忽0忽1．因此，它難用一個或幾個式子來加以表示，甚至究竟能否找出表達式也是一個問題．但是不管其能否用表達式表示，在狄里克萊的定義下，這個f（x）仍是一個函數．　　狄里克萊的函數定義，出色地避免了以往函數定義中所有的關于依賴關系的描述，以完全清晰的方式為所有數學家無條件地接受．至此，我們已可以說，函數概念、函數的本質定義已經形成，這就是人們常說的經典函數定義．　?。ㄋ模　—オドa實踐和科學實驗的進一步發(fā)展，又引起函數概念新的尖銳矛盾，本世紀20年代，人類開始研究微觀物理現象．1930年量子力學問世了，在量子力學中需要用到一種新的函數——δ函數，　　即ρ（x）＝ 0，x≠0，　　∞,x=0．　　且　　δ函數的出現，引起了人們的激烈爭論．按照函數原來的定義，只允許數與數之間建立對應關系，而沒有把“∞”作為數．另外，對于自變量只有一個點不為零的函數，其積分值卻不等于零，這也是不可想象的．然而，δ函數確實是實際模型的抽象．例如，當汽車、火車通過橋梁時，自然對橋梁產生壓力．從理論上講，車輛的輪子和橋面的接觸點只有一個，設車輛對軌道、橋面的壓力為一單位，這時在接觸點x=0處的壓強是　　P（0）=壓力／接觸面=1／0=∞．　　其余點x≠0處，因無壓力，故無壓強，即P（x）=，我們知道壓強函數的積分等于壓力，即　　函數概念就在這樣的歷史條件下能動地向前發(fā)展，產生了新的現代函數定義：若對集合M的任意元素x,總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數，記為y=f（x）.元素x稱為自變元，元素y稱為因變元．　　函數的現代定義與經典定義從形式上看雖然只相差幾個字，但卻是概念上的重大發(fā)展，是數學發(fā)展道路上的重大轉折，近代的泛函分析可以作為這種轉折的標志，它研究的是一般集合上的函數關系．　　函數概念的定義經過二百多年來的錘煉、變革，形成了函數的現代定義，應該說已經相當完善了．不過數學的發(fā)展是無止境的，函數現代定義的形式并不意味著函數概念發(fā)展的歷史終結，近二十年來，數學家們又把函數歸結為一種更廣泛的概念—“關系”．　　設集合X、Y，我們定義X與Y的積集XY為　　XY=｛（x,y）｜x∈X,y∈Y｝．　　積集XY中的一子集R稱為X與Y的一個關系，若（x,y）∈R，則稱x與y有關系R，（x,y）R，則稱x與y無關系．　　現設f是X與Y的關系，即fXY，如果（x,y），（x,z）∈f,必有y=z，那么稱f為X到Y的函數．在此定義中，已在形式上回避了“對應”的術語，全部使用集合論的語言了．　　從以上函數概念發(fā)展的全過程中，我們體會到，聯系實際、聯系大量數學素材，研究、發(fā)掘、拓廣數學概念的內涵是何等重要．　　三角函數是數學中屬于初等函數中的超越函數的一類函數。它們的本質是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數是在平面直角坐標系中定義的，其定義域為整個實數域。另一種定義是在直角三角形中，但并不完全?，F代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解，將其定義擴展到復數系?！　∮捎谌呛瘮档闹芷谛?，它并不具有單值函數意義上的反函數?！　∪呛瘮翟趶蛿抵杏休^為重要的應用。在物理學中，三角函數也是常用的工具?！　』境醯葍热荨　∷辛N基本函數(初等基本表示)：　　函數名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割　　(見:函數圖形曲線)　　三角函數圖形曲線在平面直角坐標系xOy中，從點O引出一條射線OP，設旋轉角為θ，設OP=r，P點的坐標為（x，y）有　　正弦函數 sinθ=y/r　　余弦函數 cosθ=x/r　　正切函數 tanθ=y/x　　余切函數 cotθ=x/y　　正割函數 secθ=r/x　　余割函數 csc