【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 中力作用點(diǎn)距離為 r處的地基表面沉降 s為： ? ErPs ? ? )1( 2??? 對(duì)于均布矩形荷載 P0作用下矩形面積中心點(diǎn)的沉降，可以通過對(duì)上式積分求得： 彈性半空間理論優(yōu)缺點(diǎn) ? 優(yōu)點(diǎn)： 彈性半空間地基模型具有能夠擴(kuò)散應(yīng)力和變形的優(yōu)點(diǎn)，可以反映臨近荷載的影響。 ? 缺點(diǎn)： 它的擴(kuò)散能力往往超過地基的實(shí)際情況。所以計(jì)算所得的沉降量和地表的沉降范圍，常較實(shí)測(cè)結(jié)果為大。同時(shí)該模型未能考慮到地基的成層性、非均質(zhì)性以及土體應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系的非線形等重要因素。 有限壓縮層地基模型 有限壓縮層地基模型是把計(jì)算沉降的 分層總和法 應(yīng)用于地基上梁和板的分析，地基沉降等于沉降計(jì)算深度范圍內(nèi)各計(jì)算分層在 側(cè)限條件下的壓縮量之和 。 優(yōu)點(diǎn)： 這種模型能夠較好地反映地基土擴(kuò)散應(yīng)力和應(yīng)變的能力，可以反映鄰近荷載的影響，考慮到土層沿深度和水平方向的變化， 缺點(diǎn)： 無法考慮土的非線性和基底反力的塑性重分布。 有限壓縮層地基模型 柔度矩陣 [δ] 需按分層總和法計(jì)算，如圖所示，將基底劃分成 n個(gè)矩形網(wǎng)格，并將其下面的地基分割成截面與網(wǎng)格相同的棱柱體，其下端到達(dá)硬層頂面或沉降計(jì)算深度。各棱柱體依照天然土層界面和計(jì)算精度要求分成若干計(jì)算層。 相互作用分析的基本條件和常用方法 ? 不論選用何種模型，都必須滿足兩個(gè)基本條件： ? 地基與基礎(chǔ)始終保持接觸，不得出現(xiàn)脫開的現(xiàn)象。即 wi=si。 基礎(chǔ)在外荷載和基底反力的作用下必須滿足力平衡條件。 兩個(gè)基本條件 +地基計(jì)算模型 微分方程式 +邊界條件 求解 36 文克勒地基上梁的計(jì)算 1 彈性地基上梁的撓曲微分方程及通解 2 幾種典型情況下梁的計(jì)算 設(shè)彈性地基上的梁在荷載作用下產(chǎn)生如圖 31所示的變形 ，按變形協(xié)調(diào)和靜力平衡條件可以列出梁的基本微分方程 。 由于方程中涉及到地基反力 ， 而地基反力又取決于地基模型 ， 故問題的求解較為復(fù)雜 。 目前對(duì)于彈性地基上的梁通常采用 Winkler地基模型 ， 而且只有簡(jiǎn)單條件下的解答 。 對(duì)圖 31的梁建立坐標(biāo)系 。 對(duì)任意微段進(jìn)行力學(xué)分析 ， 由靜力平衡關(guān)系 ， 可以寫出 361 彈性地基上梁的撓曲微分方程及通解 qbpxV ??dd（ 31） 由材料力學(xué) ， 有： ?? ???? xwMxEIVxM dddddd , 將上列關(guān)系帶入 （ 31） ， 得到： 對(duì)上式引入 Winkler地基模型 ， 得到 寫為標(biāo)準(zhǔn)形式 當(dāng) q=0時(shí) ， 上式成為 4階常系數(shù)齊次微分方程 （ 34） ， 式中的 ?為基于 Winkler地基模型的參數(shù) ， 它綜合表達(dá)了梁土體系抵抗變形的能力 ， ? 的表達(dá)式為： qbpxwEI ???44dd （ 32） qbkwxwEI ???44dd （ 33） qwxw ?? 4444dd ? ?的單位為 m1， 其倒數(shù) 1/?稱為梁的特征長(zhǎng)度 ， 而 ?l 稱為梁的柔度指數(shù) 。 微分方程 （ 34） 的通解為 式中的 C1~C4為待定常數(shù) ， 決定于梁的邊界條件 。 4 4 EIbk??)s i nc o s()s i nc o s( xCxCexCxCew xx ???? ?? 4321 ???? ?（ 35） 1. 集中力作用下的無限長(zhǎng)梁 無限長(zhǎng)梁承受集中荷載 F0作用時(shí) ， 可將坐標(biāo)系的原點(diǎn)設(shè)于F0處 ， 從而可以利用對(duì)稱性 （ 圖 32） 。 于是邊界條件可以寫為： 1） x??時(shí) ， w=0； 2） 由對(duì)稱性 ， 當(dāng) x=0時(shí) ， ?=dw/dx=0； 3） 由對(duì)稱性和平衡條件 ， 在 x=0處的左右截面上的剪力的量值相等 ， 均為 F0 /2。 由 1） ， 得到 C1=C2=0， 于是 322 幾種典型情況下梁的計(jì)算 )s i nc o s( xCxCew x ??? 43 ?? ? （ 36） 對(duì) （ 36） 微分后引入邊界條件 2） ， 有 所以有 再由邊界條件 3） ， 有 C=F0?/2kb， 所以 這就是無限長(zhǎng)梁承受集中荷載 F0作用時(shí)的基本解答 。 對(duì) （ 37） 求導(dǎo) ， 利用微分關(guān)系 CCC ?? 43（ 37） 0)()]c o s( s i n)s i n( c o s[dd3404300??????????? ????CCxxCxxCexwxxxx??????? ?)s in( c o s xxekbFw x ??? ? ?? ?2 0?? ???? xwMxEIVxM dddddd ,可以求得梁在任意截面處的位移和內(nèi)力 ， 再由 Winkler地基模型可以確定地基反力 p=kw. 公式 （ 38） 只適用于 x?0的情形 ， 對(duì)于 x0（ 即梁的左半段 ）的情況 ， 應(yīng)利用 對(duì)稱性求解 .其中 w,M是關(guān)于原點(diǎn)０對(duì)稱的 ， 而 θ， Ｖ是關(guān)于原點(diǎn)０反對(duì)稱的 。 2. 集中力偶作用下的無限長(zhǎng)梁 梁上只作用力偶 M0時(shí) ， 如圖 32（ b） ， 梁的邊界條件為： 1） x??時(shí) ， w=0； 2） x=0時(shí) ， w=0； 3） 由對(duì)稱性和平衡條件 ， 在 x=0處的左右截面上的彎矩的數(shù)值相等 ， 均為 M0/2， 但按材料力學(xué)的規(guī)定 ， 兩者的符號(hào)相反 。 根據(jù)上述邊界條件可以求得 C1=C2=C3=0， C4=M0?2/K， 相應(yīng)的解答見教材 。 與公式 （ 38） 的情況相同 ， （ 310） 只適用于 x?0的情形 ，對(duì)于 x0（ 即梁的左半段 ） 的情況 ， 應(yīng)利用對(duì)稱性求解 ， 請(qǐng)見圖32（ b） 。 注意無限長(zhǎng)梁上作用集中力和集中力偶時(shí)在對(duì)稱性利用上的差別 。 x0x0x30x2000200A2MVD2MMCkbMBkbM242????????????????????受集中力偶：受集中力：xxxxDFVCFMBkbFAkbFw無限長(zhǎng)梁的解答 對(duì)于有多個(gè)荷載作用的情況以及有限長(zhǎng)梁的情況，可利用疊加原理進(jìn)行求解。 3. 集中力作用下的半無限長(zhǎng)梁 如圖 33（ a） ， 在半無限長(zhǎng)梁的一端作用一集中力 F0， 將坐標(biāo)系的原點(diǎn)選在梁的端部 ， 梁的邊界條件為： 1） x??時(shí) ， w=0； 2） x=0時(shí) ， M=0； 3） x=0時(shí) ， V=F0。 可以求得 C1=C2=C4=0， C3=2F0?/K， 得到相應(yīng)相應(yīng)的解答 。 4. 集中力偶作用下的半無限長(zhǎng)梁 如圖 33（ b） ， 在半無限長(zhǎng)梁的一端作用一集中力偶 M0，坐標(biāo)系的原點(diǎn)選在梁的端部 ， 梁的邊界條件為： 1） x??時(shí) ， w=0； 2） x=0時(shí) ， M=M0； 3） x=0時(shí) ， V=0。 同樣可以求得 C1=C2=0， C3=C4=2M0?2/K ， 得到 相應(yīng) 的解答 。 有限長(zhǎng)梁的解答 設(shè)想將有限長(zhǎng)梁 (梁 1)用無限長(zhǎng)梁 (梁 Ⅱ) 來代替。顯然，如能沒法消除梁 Ⅱ 在 A、 B兩截面處的彎矩和剪力，即滿足梁 I兩端為自由端的邊界條件，則梁 ⅡAB 段的內(nèi)力與變形情況就完全等同于梁 I了?，F(xiàn)在梁 Ⅱ 緊靠 A、 B兩截面的外側(cè)各施加一對(duì)附加荷載 FA、 MA和 FB， MB。 要求在梁端邊界條件力和已知荷載的共同作用下， A、 B兩截面的彎矩和剪力為零，據(jù)此條件可求出 FA、 MA和 FB， MB。最后，以疊加法計(jì)算在已知荷載和邊界條件力的共同作用下，梁 Ⅱ 上相應(yīng)于梁 I所求截面處的撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力值。 ? 當(dāng)作用于有限長(zhǎng)梁上的荷載對(duì)稱時(shí)， va=vb，Ma=Mb，梁端邊界條件力求解可簡(jiǎn)化為： ? 具體計(jì)算步驟歸納如下： ? 把有限長(zhǎng)梁 I延長(zhǎng)到無限長(zhǎng)，計(jì)算無限長(zhǎng)梁 Ⅱ 上相應(yīng)于梁 1兩端的 A， B截面由于外荷載引起的內(nèi)力 Ma， Va，和 Mb， Vb。 ? 按式 (324)或 (325)計(jì)算梁端邊界條件力 FA、 MA和 FB、 MB； ? 再按式 (318)和 (321)以疊加法計(jì)算在已知荷載和邊界條件力的共同作用下，梁 Ⅱ 上相應(yīng)于梁 I所求截面處的 W、 θ 、 M和 V值。 6. 短梁 當(dāng)梁的長(zhǎng)度很短時(shí) ， 梁本身的變形對(duì)地基反力的分布不產(chǎn)生顯著的影響 ， 可按剛性基礎(chǔ)基底壓力的簡(jiǎn)化算法確定地基反力 ， 進(jìn)而可求得基礎(chǔ)的內(nèi)力 。 7. 無限、半無限、有限梁的區(qū)分 由于衰減函數(shù)的影響，隨著 x的增大影響很快減少。 當(dāng) 時(shí)， ??????26530?????xxxxx時(shí)， 時(shí)， 時(shí)， 時(shí)， 1?? xe ?0 4 9 7 7 ?? ?? ee x?0 0 6 7 3 ?? ?? ee x?0 0 2 4 ?? ?? ee x?0 0 1 8 6 ?? ?e 劃分梁的類型是為了求解的方便 。 梁的類型對(duì)求解過程的影響很大 。 根據(jù)分析的結(jié)果 ， 實(shí)用中可按下述標(biāo)準(zhǔn)劃分梁的類型： 1） 無限長(zhǎng)梁 —— 荷載作用點(diǎn)距梁兩端的距離均大于或等于 ?/?的梁； 2） 半無限長(zhǎng)梁 —— 荷載作用于梁的一端 ， 長(zhǎng)度大于或等于 ?/?的梁； 3） 有限長(zhǎng)梁 —— 長(zhǎng)度大于或等于 ?/(4?)， 但小于 ?/?的梁； 4） 短梁 —— 長(zhǎng)度小于 ?/(4?)的梁 。 需要注意的是 ， 當(dāng)前關(guān)于梁的類型劃分的標(biāo)準(zhǔn)并不統(tǒng)一 ， 各類型梁的名稱也不一致 。 ? 在 A,B兩點(diǎn)分別作用 PA=PB=1000KN,MA=60KN/m,MB=60KN/m. 求 AB跨中點(diǎn) 0的彎矩和剪力。已知梁的剛度ECI=*103MPam4 ，梁寬 B=，地基基床系數(shù)k=。 解： ? ① 1434 1 5 8 4??????? mIEkBc?② 分別取 A、 B 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有： 查表得： mx 4?? mx 4?. ??? ox? ?xA 1 1 3 ?xC 4 2 7 ?xD? ③求 M0 由集中力產(chǎn)生 由集中力偶產(chǎn)生 mkNCPCPM xBxAOP ???????? 1000244 ??mkNDMDMM xBxAOM ?????????? )260260(22mkNM O ???? 3 5 6? ④ 求 V0 ? 由集中力產(chǎn)生 ? 由集中力偶產(chǎn)生 04 2 7 )21 0 0 021 0 0 0(22 ?????? xBxAOP DPDPV0)6060(2 ????????? xBxAOM AMAMV ??0??? OMOPO VVV基床系數(shù) k的確定 ? 基床系數(shù)是計(jì)算梁彈性特征的重要參數(shù)，但難以準(zhǔn)確確定。從定義可知，在一定的基底壓力下某點(diǎn)的沉降越大，該點(diǎn)的值就越小。 所以影響沉降的諸多因素也影響 k值的大小 ，例如地基土的性質(zhì)、基礎(chǔ)的面積、形狀和埋深、荷載的類型和大小等等，可以用這些因素對(duì)沉降的影響去分析它們對(duì)值的影響。 ? ㈠按計(jì)算平均沉降量 sm計(jì)算 用分層總和法（或規(guī)范法）計(jì)算基礎(chǔ)若干點(diǎn)的沉降，取其平均值 sm ，如果基底平均附加壓力為 P0，則： k=P0/sm 對(duì)厚度為 h的薄壓縮層地基： k=Es/