科學計算可視化ppt課件(編輯修改稿)
2025-05-29 07:37 本頁面
【文章內容簡介】 B233。zier 曲線 , BSpline ； 注 ： 插值通常是利用曲線擬合的方法，通過離散的輸入采樣點建立一個連續(xù)函數(shù)，用這個重建的函數(shù)便可以求出任意位置處的函數(shù)值。 B樣條曲線和曲面 在我們工程中應用的擬合曲線，一般地說可以分為兩類：一種是 最終生成的曲線通過所有的給定型值點 ，比如拋物樣條曲線和三次參數(shù)樣條曲線等，這樣的曲線適用于插值放樣；另一種曲線是， 它的最終結果并不一定通過給定的型值點 ， 而只是比較好地接近這些點 ，這類曲線（或曲面）比較適合于外形設計。 因為在外形設計中 (比如汽車、船舶 )，初始給出的數(shù)據(jù)點往往并不精確；并且有的地方在外觀上考慮是主要的 ,因為不是功能的要求，所以為了美觀而寧可放棄個別數(shù)據(jù)點。因此不須最終生成的曲線都通過這些數(shù)據(jù)點。 另一方面，考慮到在進行外形設計時應 易于實時局部修改 ，反映直觀，以便于設計者交互操作。第一類曲線在這方面就不能適應。 法國的 Bezier 為此提出了一種新的 參數(shù)曲線表示方法，因此稱為 Bezier 曲線 。后來又經過 Gordon、 Forrest 和 Riesenfeld等人的拓廣、發(fā)展， 提出了 Ｂ樣條曲線 。 這兩種曲線都因能較好地適用于 外形設計的特殊要求而獲得了廣泛的 應用。 一、 Bezier曲線 Bezier曲線的形狀是通過一組多邊折 線（特征多邊形）的各頂點唯一地定 義出來的。在這組頂點中： (1) 只有第一個頂點和最后一個頂點 在曲線上； (2) 其余的頂點則用于定義曲線的導 數(shù)、階次和形狀； (3) 第一條邊和最后一條邊則表示了 曲線在兩端點處的切線方向。 P0P0 P2P1P1P2P3P3P1P0 P3P2 １ .Bezier曲線的數(shù)學表達式 Bezier曲線是由多項式混合函數(shù)推導 出來的，通常 n+1 個頂點定義一個 n 次多項式。其數(shù)學表達式為： (0 ≤ t ≤ 1) 式中：Ｐ i：為各頂點的位置向量 Ｂ i,n(t)：為伯恩斯坦基函數(shù) ???ninii tBPtP0, )()( 伯恩斯坦基函數(shù)的表達式為： 假如規(guī)定：０ ?＝１，０?。剑?，則 t=0: i=0 ,Bi,n(t)=1 i?0 ,Bi,n(t)=0 ?P(0)=P0 000 )01(0!1 !)0( PPnnP n ???????inini ttinintB ??????? )1()!(!!)(, t=1: i=n ,Bi,n(t)=1 i?n ,Bi,n(t)=0 ?P(1)=Pn 所以說， “ 只有第一個頂點和最后一個 頂點在曲線上 ” 。即 Bezier曲線只通過多邊折線的起點 和終點。 nnn PPnnP ??????? 0)11(11!!)1( 下面我們通過對基函數(shù)求導，來分析 兩端切矢的情況。 得： )]()([)( 1,1,139。 , tBtBntB ninini ??? ???????? ??101,1,139。 )]()([)(nininii tBtBPntP 討論： t=0: i=0: Bi1,n1(t)=0； Bi,n1(t)=1. i=1: Bi1,n1(t)=1； Bi,n1(t)=0. i=2: Bi1,n1(t)=0； Bi,n1(t)=0. （均出現(xiàn) 0 的非 0 次冪） ininiininittinintBttinintB????????????????????????11,111,1)1()!1(!)!1()()1()!()!1()!1()( ?t=0 同理可得，當 t=1 時 這兩個式子說明： Bezier曲線在兩端 點處的切矢方向與特征多邊形的第一 條邊和最后一條邊相一致。 )()0()0( 0139。39。 PPntPP ????)()1( 139。 ??? nn PPnP ２ .二次和三次 Bezier曲線 (1) 三個頂點： P0,P1,P2 可定義一條 二次 (n=2) Bezier曲線： 其相應的混合函數(shù)為： 22222,21212,120202,0)1(!0!2!2)()1(2)1(!1!1!2)()1()1(!2!0!2)(ttttBtttttBttttB???????????????????????? 所以，根據(jù)式： 二次 Bezier 曲線的表達形式 為： P(t)=(1t)2?P0+2t(1t)?P1+t 2 ?P2 （０ ≤ t ≤ 1) ???ninii tBPtP0, )()( 根據(jù) Bezier 曲線的總體性質，可討 論二次 Bezier 曲線的性質： P(t)=(1t)2?P0+2t(1t)?P1+t2 ?P2 P’(t)=2(t1)?P0+2(12t)?P1+2t?P2
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