【文章內(nèi)容簡介】 ????? ttttttt?0 , 1 0)( 0000 ?????????? ttttttt?t)( t?O1第 48 頁 ■ ▲ 3. 階躍函數(shù)的性質(zhì) f ( t )o2t1 21（ 1）可以方便地表示某些信號 f(t) = 2ε(t) 3ε(t1) +ε(t2) （ 2）用階躍函數(shù)表示信號的作用區(qū)間 ( a ) ( b )f ( t ) f ( t ) ε ( t )o o tt o t( c )f ( t )[ ε ( t t 1 ) ε ( t t 2 )]t 1 t 2（ 3）積分 )(d)( ttt ???? ????第 49 頁 ■ ▲ 二 ．單位沖激函數(shù) 單位沖激函數(shù) 是個奇異函數(shù)，它是對強(qiáng)度極大，作用時間極短一種物理量的理想化模型。 ? 狄拉克 (Dirac)定義 ? 函數(shù)序列定義 δ (t) ? 沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系 ? 沖激函數(shù)的性質(zhì) 第 50 頁 ■ ▲ 1. 狄拉克 (Dirac)定義 ? ?????????????? 1d)(0 0)(tttt?? ? ???????? 00 d)(d)( tttt ??? 函數(shù)值只在 t = 0時不為零； ? 積分面積為 1； ? t =0 時， ，為無界函數(shù)。 ? ? ??t?to( 1 )δ ( t )第 51 頁 ■ ▲ δ(t) ton1?n11γ n21top n ( t )n1n1?2n對 γn(t)求導(dǎo)得到如圖所示的矩形脈沖 pn(t) 。 )(lim)(d e ftpt nn ????求導(dǎo) 高度無窮大，寬度無窮小，面積為 1的對稱窄脈沖。 第 52 頁 ■ ▲ 3. δ(t)與 ε(t)的關(guān)系 ton1?n11γ n21top n ( t )n1n1?2ntttp nn d)(d)( ??求導(dǎo) tttd)(d)( ?? ?n→∞ to1ε ( t )to( 1 )δ ( t )? ??? tt ???? d)()(求導(dǎo) 第 53 頁 ■ ▲ 引入沖激函數(shù)之后，間斷點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也存在 tof ( t )21 1f(t) = 2ε(t +1)2ε(t 1) f′(t) = 2δ(t +1)2δ(t 1) 求導(dǎo) 1 1 otf 39。( t )( 2 )( 2)第 54 頁 ■ ▲ 三 ． 沖激函數(shù)的性質(zhì) ? 取樣性 ?沖激偶 ?尺度變換 ?復(fù)合函數(shù)形式的沖激函數(shù) 第 55 頁 ■ ▲ 1. 取樣性 (篩選性 ) )()0()()( tftft ?? ?對于平移情況： ? ??? ?? )(d)()( 00 tfttftt?如果 f(t)在 t = 0處連續(xù)，且處處有界，則有 ? ??? ? )0(d)()( fttft?ot)( tf)()0( tf ?)()()()( 000 tttftttf ??? ??證明 舉例 第 56 頁 ■ ▲ ot)( ts???t)( ts ?O???21??21??1 Ot)( t??)1(0?? Ot)( t? ?τ ↓ 第 57 頁 ■ ▲ 沖激偶的性質(zhì) )0(39。d)()(39。 fttft ??? ??? ?)0()1(d)()( )()( nnn fttft ??? ??? ?)( d)()( 00 tfttftt ?????? ??? ? ① f(t) δ’(t) = f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t) 證明 ② 證明 δ(n)(t)的定義： δ’(t)的平移： ③ ? ?tttt ?? ??? ?? d)( 4)2(2])2[(d dd)(39。)2( 0022 ???????? ?????? tt tttttt ?例 第 58 頁 ■ ▲ 3. 對 ?(t)的尺度變換 )(1|| 1)( )()( taaat nnn ?? ??? ? ? ?taat ?? 1?證明 ? ? ? ?taaat ?? ???? 11推論 : (1) )(|| 1)( taat ?? ? )(|| 1)( 00 attatat ??? ??δ(2t) = (t) )()1()( )()( tt nnn ?? ???(2) 當(dāng) a = –1時 所以， δ(– t) = δ (t) 為偶函數(shù)， δ’(– t) = – δ’ (t)為奇函數(shù) 舉例 第 59 頁 ■ ▲ 舉例 已知 f(t)，畫出 g(t) = f ’(t)和 g(2t) 求導(dǎo)，得 g(t) o 2 tf ( t ) 24( 4 )o 2 tg ( t ) = f 39。( t ) 2 1壓縮，得 g(2t) ( 2 )o 1tg (2 t ) 1 1第 60 頁 ■ ▲ 4. 復(fù)合函數(shù)形式的沖激函數(shù) 實(shí)際中有時會遇到形如 δ[f(t)]的沖激函數(shù)，其中 f(t)是普通函數(shù)。并且 f(t) = 0有 n個互不相等的實(shí)根 ti ( i=1， 2， … ， n) ttftftft d)(d)]([)]}([{dd ?? ?)]}([{dd)(39。1)]([ tfttftf ?? ?ε(t2 – 4)=1 –ε(t+2)+ε(t – 2) f ( t )t 4 2 2o1ε [ f ( t ) ]2 2 toε[f(t)]圖示說明： 例 f(t)= t2 – 4 第 61 頁 ■ ▲ )2(41)2(41)2(221)2(221)]2()2([21)]4([dd21]4[ 22??????????????????ttttttttttt????????一般地， ????niiitttftf1)()(39。1)]([ ??這 表明 ， δ[f(t)]是位于各 ti處，強(qiáng)度為 的 n個沖激函數(shù)構(gòu)成的沖激函數(shù)序列。 )(39。1itf)21(41)21(41)14( 2 ????? ttt ???注意 ：如果 f(t)=0有重根， δ[f(t)]無意義。 ε( t 2 – 4) =1 –ε(t+2)+ε(t – 2) 第 62 頁 ■ ▲ 沖激函數(shù)的性質(zhì)總結(jié) （ 1）取樣性 )0(d)()( ftttf ?? ???? ?)()0()()( tfttf ?? ?（ 2）奇偶性 )()( tt ?? ??（ 3）比例性 ? ?taat ?? 1)( ?（ 4）微積分性質(zhì) tttd)(d)( ?? ? )(d)( tt ???? ????（ 5）沖激偶 )()( tt ?? ????????? ?? 0d)( tt?? ?? ??t ttt )(d)( ??)()0()()0()()( tftfttf ??? ?????)0(d)()( ftttf ????? ??? ?第 63 頁 ■ ▲ 四 . 序列 δ(k)和 ε(k) 這兩個序列是普通序列。 1. 單位 (樣值 )序列 δ(k) ??????0,00,1)( d e fkkk? o11 1 kδ ( k )?取樣性質(zhì)： f(k)δ(k) = f(0)δ(k) )0()()( fkkfk???????f(k)δ(k –k0) = f(k0)δ(k –k0) ?例 ?)( ??????kk? ?)()5( ???????kkk ? ?)( ???????iik??定義 第 64 頁 ■ ▲ 2. 單位階躍序列 ε(k) 定義 ??????0,00,1)( d e fkkk?o11 1 kε ( k )2 3…?ε(k)與 δ(k)的關(guān)系 δ(k) = ε(k) –ε(k –1) ?????kiik )()( ??或 ?????0)()(jjkk ??ε(k) = δ(k)+ δ(k –1)+… ?定義 第 65 頁 ■ 沖激函數(shù)取樣性質(zhì)證明 分 t = 0和 t ≠0 兩種情況 討論 當(dāng) t ≠0 時， δ(t)= 0， f(t)δ(t)= 0， (注意：當(dāng) t ≠0 時 ) 積分結(jié)果為 0 當(dāng) t = 0 時， δ(t) ≠ 0， f(t)δ(t)= f(0)δ(t) ， (注意：當(dāng) t =0 時 ) ?? ???? ?? 0000 )0(d)()0(d)()0( fttfttf ??積分為? ??? ? )0(d)()( fttft?即第 66 頁 ■ 沖激偶積分證明 ? ???? ? dttft )()( ?? ??? ?????? dtttfttf )()( )()( ??)0( f ???利用分部積分運(yùn)算 第 67 頁 ■ 沖激偶取樣性證明 [ f(t) δ(t)]’ = f(t) δ’(t) + f ’(t) δ (t) f(t) δ’(t) = [ f(t) δ(t)]’ – f ’(t) δ (t) = f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t) 第 68 頁 ■ 取樣性質(zhì)舉例 )(2 2)()4s i n ()()4s i n ( tttt ????? ????d)1()4s in (03 ????? ttt ?? ?d)()4s in (91 ???? ttt ???d)(211 ???? ???? t ?d)()1(1 2 ????t ????0 22???? ???其它,011,2 tt ε(t) ? ? )(e2)()(e2)(e)(ed d 2222 tttttt tttt ????? ???? ????22d)()4s in ( ???????ttt ??第 69 頁 ■ 沖激信號尺度變換的證明 Ot? ?tp?12??2??Ot? ?atp?1a2??a? a2?, 0 時?? ,ttp )()( ?? )(1)( taatp ??從 定義看： )(t?p(t)面積為 1， 強(qiáng)度為 1 ??t?p(at)面積為 ， 強(qiáng)度為 a1a1? ?at?第 70 頁 ■ 沖激信號尺度變換舉例 例 1 ?d)2)(5( 2???? ?? ttt? 54Otf ( 5 2 t )(2)1 2 3Otf ( t )(4)1 2 3 61的波形。請畫出的波形，已知信號)()25(tftf ?例