【文章內(nèi)容簡介】 工作條件而產(chǎn)生的附加誤差、測量方法理論不完善所帶來 方法誤差及試驗(yàn)人員測量素質(zhì)不高產(chǎn)生的人員誤差。 系統(tǒng)誤差是有規(guī)律的，這種規(guī)律體現(xiàn)在每一次具體的 測量中。因此，通過試驗(yàn)找到這種規(guī)律之后，就可以對測 定值進(jìn)行修正，以消除系統(tǒng)誤差的影響。 40 2）過失誤差 過失誤差是明顯超出規(guī)定條件下預(yù)期的誤差，它是統(tǒng) 計異常值。也就是含有過失誤差的測量結(jié)果明顯偏離被測 量的期望值。產(chǎn)生過失誤差的原因有：讀錯或記錯數(shù)據(jù)， 使用有缺陷的計算器具，實(shí)驗(yàn)條件的突然變化等。顯然， 含有過失誤差的測量值是對被測量的歪曲，故應(yīng)從測量數(shù) 據(jù)中剔除。 只要認(rèn)真細(xì)致地進(jìn)行測量，反復(fù)檢查核對數(shù)據(jù)，嚴(yán)格 保證試驗(yàn)條件，過失誤差是可以避免的。 3）隨機(jī)誤差 即使在相同的條件下，對同一參數(shù)重復(fù)地進(jìn)行多次測 量，所得到的測定值也不可能完全相同。這種由于許多相 互獨(dú)立因素的微小變化的共同作用而產(chǎn)生的誤差，就稱為 41 隨機(jī)誤差，或稱偶然誤差。 在任何測量工作中，隨機(jī)誤差是無法避免的。但是， 在重復(fù)條件下無限次測量的平均值中只含有系統(tǒng)誤差，也 就是說，隨機(jī)誤差的期望值為零。這一特性常稱為隨機(jī)誤 差抵償特性。 隨機(jī)誤差產(chǎn)生于試驗(yàn)條件的微小變化，如溫度波動、 電磁場擾動、地面振動等。由于這些因素互不相關(guān)，因此 隨機(jī)誤差就其個體而言，是沒有規(guī)律的，無法預(yù)先估計 的、不可控制修正的。但其總體卻符合數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的規(guī) 律，重復(fù)測量的次數(shù)越多，這種規(guī)律性就越明顯。因此， 可以用數(shù)理統(tǒng)計的方法，計算隨機(jī)誤差對測量結(jié)果可能帶 來的影響。 42 系統(tǒng)誤差、過失誤差和隨機(jī)誤差具有完全不同的性質(zhì)， 其定義是科學(xué)而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模遣荒芑煜摹? ? 測量誤差的表示 1）絕對誤差 示值與真值之差，即 其中： —— 絕對誤差 —— 示值 在一般測量中，示值就是測量系統(tǒng)或儀器給出的測量 值。但是，由于真值的不可知性，常常用約定真值或相對 真值代替。 絕對誤差可正可負(fù)，并且是一個有單位的量。絕對誤 0xA A A? ? ?A?xA43 差的負(fù)值稱之為修正值，也叫補(bǔ)值，一般用 c表示，即 測量儀器的修正值一般是通過計量部門檢定給出的， 從定義不難看出，示值加上修正值就獲得相對真值，即 實(shí)際值。 2）相對誤差 絕對誤差與真值之比，一般用百分?jǐn)?shù)形式表示，即 這里的真值 也用約定真值或相對真值代替，但在無 法知道約定真值或相對真值時，往往用測量值（示值）代 替，即 0 xc A A A? ? ? ? ?00100%AA? ???0A44 相對誤差愈小，準(zhǔn)確度越高。 3）引用誤差 引用誤差是為了評價測量儀表的準(zhǔn)確度等級而引起的， 因?yàn)榻^對誤差和相對誤差均不能客觀正確地反映測量儀表 的準(zhǔn)確度高低。引用誤差定義為絕對誤差和測量儀表量程 之比，用百分?jǐn)?shù)表示，即 其中： —— 引用誤差 —— 測量儀表的量程 100%xxAA????100%nmAA????n?mA45 測量儀表的各指示（刻度）值的絕對誤差有正有負(fù)。 所以，確定測量儀表的準(zhǔn)確度等級應(yīng)用最大引用誤差， 即絕對誤差的最大絕對值 與量程之比。若用 表 示最大引用誤差，則有 4）允許誤差 允許誤差是指測量儀器在使用條件下可能產(chǎn)生的最大 誤差范圍，它是測量儀器的最重要的指標(biāo)。 ? 測量的精密度與準(zhǔn)確度 在測量工作中，把測量結(jié)果與被測量參數(shù)真實(shí)值相符 合的程度，定義為測量的準(zhǔn)確度。系統(tǒng)誤差越大，測量的 100%mnmmAA????mA? nm?46 準(zhǔn)確度越低。所以，系統(tǒng)誤差決定了測量的準(zhǔn)確度。 隨機(jī)誤差使測定值具有不確定性，也就是說，測定值 在某一范圍內(nèi)圍繞某個數(shù)值（通常把這個數(shù)值作為測量結(jié) 果）而波動。在測量工作中，把測量值的密集性（或稱重 復(fù)性）定義為測量的精密度。隨機(jī)誤差波動范圍越大，測 定值越離散，測定的精密度就越低。所以，隨機(jī)誤差決定 了測量的精密度。 過失誤差使測定值明顯地被歪曲，因而，包含過失誤 差的測定值是不可信賴的，應(yīng)予以舍棄。所以，過失誤差 決定了測量數(shù)據(jù)的可信度。 47 ?隨機(jī)誤差 隨機(jī)誤差在總體上具有以下規(guī)律： 1）數(shù)值上的規(guī)律性 絕對值小的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多余絕對值大的誤差出現(xiàn) 的次數(shù)，且誤差的絕對值不會超過某一數(shù)值。 2）符號上的規(guī)律性 絕對值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等。因 此，可以用概率論和數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的方法，從總體上研究隨 機(jī)誤差的分布規(guī)律。 ? 等精密度測量的最可信賴值 在等精密度的條件下，對某個參數(shù)進(jìn)行了 n次測量， 得到 等 n個測定值，這些測定值組成一個測量 12 nl l l、 、 、48 列。以 表示被測量參數(shù)的真值，以 表示各 測定值所包含的隨機(jī)誤差，則有 若以 表示測定值的算術(shù)平均值，即 由上述二式可得 X 12 n? ? ?、 、 、1122nnlXlXlX?????????12111() nniiL l l l lnn?? ? ? ? ? ?L1 1 111()n n ni i ii i iX l Lnn ??? ? ?? ? ? ?? ? ?49 當(dāng)測量次數(shù)增加時，絕對值相等的正誤差與負(fù)誤差出 現(xiàn)的可能性相同，因此可以相互抵消，使得 ， 在這種情況下，測定值的算術(shù)平均值就等于被測參數(shù)的真 值。但在實(shí)際上，測量的次數(shù)只可能是有限的，所以測定 值的算術(shù)平均值只是真值的一個近似值。隨著測量次數(shù)的 增加，算術(shù)平均值就越接近真值。因此，可以認(rèn)為測定值 的算術(shù)平均值是最可信賴值。根據(jù)統(tǒng)計學(xué)原理，測定值的 算術(shù)平均值是被測參數(shù)真值的一致而無偏估計。 11lim 0ninin??????50 測定值 與算術(shù)平均值 之差，稱為殘余誤差，以 表示，則有 各式相加，得 因?yàn)? 所以 il L i?1122nnlLlLlL?????????11nniiiil n L???????11 niiLln?? ?10nii????51 各測定值殘差的代數(shù)和恒等于零，殘差的這個性質(zhì)， 可以用來檢查算術(shù)平均值的計算是否正確。 被測參數(shù)的真值和測定值所包含的隨機(jī)誤差，實(shí)際上 是無法求得的。而測定值的算術(shù)平均值與殘差則是可以計 算的，所以它們在測量數(shù)據(jù)處理與誤差分析中具有重要的 意義。 ? 隨機(jī)誤差的正態(tài)分布定律 作為一個連續(xù)隨機(jī)變量，隨機(jī)誤差 的數(shù)值恰為 的 概率等于零，這時，如果概率分布密度函數(shù)的值為 ， 則隨機(jī)誤差落在 這一微小范圍內(nèi)的概率為 ? 1?1()f ?11~ ( )d? ? ??1 1 1( ) ( )p d f d? ? ? ? ? ?? ? ? ?52 隨機(jī)誤差在 范圍內(nèi)出現(xiàn)，是一個必然事件，所以 隨機(jī)變量的分布可以認(rèn)為是正態(tài)分布，則其概率密度 函數(shù)可以用下式表示，即 其中： —— 標(biāo)準(zhǔn)誤差或均方根誤差， ，其中 誤差理論基本方程式 ( , )?? ??( , ) ( ) 1p f d??????? ? ? ? ? ??2221()2fe???????211 ()niin???? ?n ???53 標(biāo)準(zhǔn)誤差 就是分布曲線拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 已知測量列的隨機(jī)誤差 落在 范圍內(nèi)（即 ）的概率，可按下式計算： 令 代入上式，即 ?2222222 2( ) 1 ( ) 02df ed??? ??? ???? ? ?????? ? ?,aa??a? ?2221()2aap a a e d?????????? ? ? ? ? ?, atK?????54 將被積函數(shù) 展開為下列級數(shù)，即 于是 為了便于應(yīng)用起見，常將上述計算值編成概率積分 表，其形式為 。使用時根據(jù) 和 的 數(shù)值，按 計算，然后查表求得 的數(shù)值。 2202()2tKp K K e dt? ? ???? ? ? ? ? ?22te?2 2 2 2232 111 ( ) ( )2 2 ! 2 3 ! 2t t t te ? ? ? ? ? ?3 5 72( ) ( )6 4 0 3 3 62 K K Kp K K K? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?22022tKK e d t? ??? ? a ?aK??? ?K?55 ? 測量列的精密度參數(shù)分析 測量值包含了隨機(jī)誤差，影響了測量結(jié)果的不確定 度。如何評價和判斷測量結(jié)果的誤差大小，確定測量過程 的精密度水平，是真實(shí)反映被測參數(shù)精確程度的重要問 題。 在一個等精密度測量列中，各測量值包含有測量數(shù)值 與符號各不相同的隨機(jī)誤差。在其中任選一個誤差（即抽 取一個樣本），以代表整個測量列（即總體）的誤差情 況，顯然是不合理的。 56 ? 標(biāo)準(zhǔn)誤差（均方根誤差） 各隨機(jī)誤差均方根的正平方根，定義為標(biāo)準(zhǔn)誤差，即 標(biāo)準(zhǔn)誤差是各隨機(jī)誤差平方 的函數(shù)，因而對絕 對值較大的誤差比較敏感，能較好地反映測量列的精密 度。 ? 概然誤差（概率誤差） 概然誤差 的定義是絕對值小于 的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的 概率為 ，即 令 ，查概率積分表可得 ?? ? ? ?2 2 2 212111 nniinn? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?????? n? ?2i??? ?( ) 0. 5p