數(shù)字圖像處理第七章(1)(編輯修改稿)
2025-05-26 08:28 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 xfBxfxxfAkk ?? ? ? ??? BA ,0其中 當(dāng) A=B，該展開(kāi)序列函數(shù)稱(chēng)為緊標(biāo)架，這時(shí)： ? ? ? ? ? ? ? ?xxfxAxf kkk ???? ,17. Wavelets and Multiresolution Processing 多分辨率擴(kuò)展的 比例尺函數(shù) 由實(shí)軸上平方可積函數(shù)的整數(shù)位移 k和 2進(jìn)變比例 所組成的展開(kāi)函數(shù)集： ? ?kxx jjkj ?? 22)( 2/, ??其中， j,k為整數(shù)。 k決定函數(shù)在 x軸上的位置； j決定函數(shù)的寬度，而 2j/2控制函數(shù)的高度 /幅值 。 當(dāng) j為某定值，其對(duì)應(yīng)的展開(kāi)函數(shù)集是 ? ?)(, xkj?的子集。所支撐的空間記為 jV? ?? ?xSpanV kjkj ,??7. Wavelets and Multiresolution Processing 圖 在 j=0,1時(shí) 的 Haar比例尺函數(shù) (e): )()()()( 4,11,10,1 xxxxf ??? ??? (f): )(21)(21)( 12,12,1,0 xxx kkk ??? ??由 (f)可見(jiàn)，如果 f(x)是 V0的元素， 則也是 V1的元素。 10 VV ?例 7. Wavelets and Multiresolution Processing 上例 遵循 多分辨率分析 (MRA)的 4個(gè)基本要求 ： 比例尺函數(shù)與其整數(shù)位移正交（圖 ,b,c,d) ? ???? ???o t h e rw i sexx0101?Haar函數(shù)： 緊支 比例尺函數(shù)支撐的子空間是大比例尺的空間包含小比例尺： 圖 所有子空間的公共函數(shù)是： f(x)=0 所有函數(shù)都可以以任意精度表示： 在這些條件下： ? ??nnjnkj xx )()( ,1, ???子空間 Vj的展開(kāi)函數(shù)可由子空間 Vj+1的展開(kāi)函數(shù)加權(quán)和表示。 7. Wavelets and Multiresolution Processing ? ??nnxnhx )2(2)()( ?? ?將 j=k=0代入上式 ，得 MRA方程 ： ?h是比例尺函數(shù)系數(shù)（原來(lái)用 a0) ? ?kxx jjkj ?? 22)( 2/, ?????nnjnkj xx )()( ,1, ???? ?? ??njjkj nxnhx )2(2)()(12/)1(, ?? ?因?yàn)椋? )()(0,0 xx ?? ?7. Wavelets and Multiresolution Processing 小波函數(shù) 給定滿(mǎn)足 MRA要求的比例尺函數(shù)，就能定義帶 j,k的 小波函數(shù) ψ(x), 來(lái)支撐兩個(gè)相鄰子空間 Vj 與 Vj+1的差異。 如圖 ，我們定義小波集合： ? ?)(, xkj?)2(2)( 2/, kxx jjkj ?? ??7. Wavelets and Multiresolution Processing 與比例尺函數(shù)一樣，記： )}({ , xS p a nW kjkj??如果： jWxf ?)(?? k kjk xxf )()( ,??則： 上圖中的比例尺函數(shù)和小波函數(shù)子空間的關(guān)系為： jjj WVV ??? 1其中 ? 表示 空間的聯(lián)合 。 7. Wavelets and Multiresolution Processing Vj在 Vj+1的正交補(bǔ)足空間是 Wj， Vj中的所有元素與 Wj的元素正交： 0)(),( , ?xx ljkj ??所有可測(cè)度的、平方可積的函數(shù)空間可表示為： ????? 1002 )( WWVRL????? 2112 )( WWVRL?? ?????? ?? 10122 )( WWWWRL或 或者甚至 7. Wavelets and Multiresolution Processing 由于 小波空間被包含在由較高分辨率比例尺函數(shù)支撐的空間中 (圖 )，任何小波函數(shù)均可以表示其 較高分辨率比例尺函數(shù) 的線性組合 : ? ??nnxnhx )2(2)()( ?? ?其中， )(nh?稱(chēng)為 小波函數(shù)系數(shù) 。 可證明，小波函數(shù)系數(shù)與比例尺函數(shù)系數(shù)間的關(guān)系為： )1()1()( nhnh n ??? ??這與子帶濾波器的脈沖響應(yīng)間的關(guān)系相似，（鏡像） 7. Wavelets and Multiresolution Processing Haar小波： W0 Haar小波： W1 圖 d:V1中的函數(shù) f(x)可由 V0? W0 表示 ,Page 372 如：圖 d=圖 e+圖 f V0 W0 例 7. Wavelets and Multiresolution Processing （重復(fù)） Haar變換的函數(shù)定義在閉區(qū)間 [0， 1]： )1(2 ??? qk p令正整數(shù)： 整數(shù) p,q分別是尺度和位移。 Haar函數(shù)定義： Nh10 ???????????????o t h er sqxqqxqNh ppppppk02/2/)(22/)(2/)1(21 2/2/10 ??? Nk對(duì)于 i0,1,2,…,N 1, 如果 x=i/N, 則可產(chǎn)生一組 基函數(shù) 。 Haar函數(shù)是一些簡(jiǎn)單的階躍函數(shù)
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