第三節(jié)空間曲線(編輯修改稿)
2024-11-29 14:38 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 的基本向量、曲率、撓率。 的撓率 曲率 曲率半徑為 則 在以原點(diǎn)為中心的 球面上的充要條件是 R{ ( 1 sin ) , ( 1 c o s ) , }( 0 )r a t a t b t a? ? ? ?: ( )r r t?? 0? ?0k ? ? ?r?? ? ??? ? ? 我們研究空間曲線在一點(diǎn)臨近的形狀。 在 類曲線 上取一點(diǎn) ，為了研究點(diǎn) 臨近的形狀，在它臨近再取一點(diǎn) 利用泰勒公式有 其中 3C ()r r s?0()rs0()r s s??0l i m 0s????20 0 0 0301( ) ( ) ( ) ( ) ( )2!1( ( ) ) ( )3!r s s r s r s s r s sr s s?? ? ? ? ? ? ? ???0()rs由于 所以 其中 而 等表示在點(diǎn) 的值。 ,r r k????2( ) ,r k k k k k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?20 0 0 0 0230 0 0 0 0 0 01( ) ( ) ( )2!1( ) ( ) ,6r s s r s s k sk k k s??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?1 0 2 0 30 0 0 0 0 0, , , , ,k? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?0()rs由上式可得 在 的每一個(gè)分量中只取第一項(xiàng)，則有 230 0 0 1 02 3 30 0 2 0 0 0 3 01( ) ( ) [ ( ) ( ) ]61 1 1[ ( ) ( ) ( ) ] [ ( ) ] ( )2 6 6r s s r s s k sk s k s k s??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?0 0 0,? ? ?230 0 0 0 0 0 0 011( ) ( ) ( ) ( )26r s s r s s k s k s? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?現(xiàn)在取 為新坐標(biāo)系，并取 為計(jì)算弧長(zhǎng)的始點(diǎn)，則有 ，如果 為曲線上點(diǎn) 的臨近點(diǎn)的新坐標(biāo)，則有 0 0 0 0[ ( ) ]rs ? ? ?； ， ， 0()rs0 0s ?ss?? ,? ? ?0()rs200300,1( ) ,21,6sr s k sks?????? ??????????它可以看作在 點(diǎn)鄰近，曲線 的近似方程。由此看出，曲線在某點(diǎn)的曲率和撓率完全決定了曲線在該點(diǎn)鄰近的近似形狀。 0()rs ()r r s? 下面我們通過曲線在基本三棱形的三個(gè)平面上的投影來觀察曲線在一點(diǎn)鄰近的形狀。 近似曲線在法平面 上的投影是 消去參數(shù) 后有 它是半立方拋物線 s0? ?230 0 0110) , ,26k s k s? ? ? ?? ? ?（223 0020 ) , ,9 k?? ? ???（曲線在從切平面 上的投影是 消去參數(shù) 后，有 它是立方拋物線 0? ?30010) , , ,6s k s? ? ? ?? ? ?（30010) , ,6k? ? ? ???（s曲線在密切平面 上的投影是 它是拋物線 0? ?2010) , ,2 k? ? ???（通過畫出以上三個(gè)投影的立體圖形就可以看出空間曲線在一點(diǎn)鄰近的近似形狀。 從以上分析可以看出： ，但不穿過從切平面。 ，這就是主法向量正向的真正意義。 時(shí)，曲線在 附近是右旋的；當(dāng)
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