【文章內(nèi)容簡介】 請寫出圖中面積相等的各對三角形： ．（2）如果A、B、C為三個定點，點P在m上移動，那么無論P點移動到任何位置總有： 與△ABC的面積相等；理由是： ．（教師用書239頁第12題）OCPABmnABCDEABCDEMNFHCEABDNM（答案：（1）△ABC和△ABP，△AOC和△BOP，△CPA和△CPB．（2）△ABP；因為平行線間的距離相等，所以無論點P在m上移動到任何位置，總有△ABP與△ABC同底等高，因此，它們的面積總相等變式2 如圖2，五邊形ABCDE是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖，經(jīng)過多年開墾荒地，現(xiàn)已變成如圖3所示的形狀，但承包土地與開墾荒地的分界小路（圖3中折線CDE）還保留著，張大爺想過E點修一條直路，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時的一樣多．請你用有關(guān)的幾何知識，按張大爺?shù)囊笤O(shè)計出修路方案．（不計分界小路與直路的占地面積）（1）寫出設(shè)計方案，并在圖3中畫出相應(yīng)的圖形；（2）說明方案設(shè)計理由．（教師用書240頁第13題）解 （1）畫法如圖．連結(jié)EC，過點D作DF∥EC，交CM于點F，連結(jié)EF，EF即為所求直路的位置．（2）設(shè)EF交CD于點H，由12題探究規(guī)律得到的結(jié)論，可知S△ECF = S△ECD，S△DFC = S△DFE，所以 S五邊形ABCDE = S五邊形ABCFE，S五邊形EDCMN = S四邊形EFMN．） 變式3 （2008，山東日照）（1）探究新知：如圖1，已知△ABC與△ABD的面積相等，試判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由． （2）結(jié)論應(yīng)用：① 如圖2，點M，N在反比例函數(shù)（k＞0）的圖象上，過點M作ME⊥y軸，過點N作NF⊥x軸，垂足分別為E，F(xiàn)．證明：MN∥EF．xOyNM圖2EFxOyDM圖3NABDC圖1② 若①中的其他條件不變，只改變點M，N的位置如圖3所示，請判斷 MN與EF是否平行．解 （1）分別過點C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足為G，H，則∠CGA =∠DHB = 90176。，∴ CG∥DH．∵ △ABC與△ABD的面積相等，∴ CG = DH．∴ 四邊形CGHD為平行四邊形，∴ AB∥CD．（2）① 連結(jié)MF，NE．設(shè)點M的坐標(biāo)為（x1，y1），點N的坐標(biāo)為（x2，y2）．∵ 點M，N在反比例函數(shù)（k＞0）的圖象上，∴ x1y1 = k，x2y2 = k．∵ ME⊥y軸，NF⊥x軸，∴ OE = y1，OF = x2．∴ S△EFM =x1y1 =k，S△EFN =x2y2 =k，∴ S△EFM = S△EFN．由（1）中的結(jié)論可知：MN∥EF．DCBAEFG② MN∥EF．題目 如圖，四邊形ABCD是正方形，點G是BC上的任意一點，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．求證：AF－BF = EF．（人教課本P104第15題）（2009，南充）證明 ∵ ABCD是正方形，∴ AD = AB，∠BAD = 90176。．∵ DE⊥AG，∴ ∠DEG =∠AED = 90176。，∴ ∠ADE +∠DAE = 90176。．又 ∠BAF +∠DAE =∠BAD = 90176。，∴ ∠ADE =∠BAF．∵ BF∥DE，∴ ∠AFB =∠DEG =∠AED，因此 △ABF≌△DAE，∴ BF = AE，故 AF－BF = EF．點評 正方形中含有很多的相等的邊和角，這些相等的邊和角是證全等的有力工具．演變ABCDEFG變式1 （2008，云南）如圖，四邊形ABCD是正方形，G是BC上任意一點（點G與B、C不重合），AE⊥DG于E，CF∥AE交DG于F．（1）在圖中找出一對全等三角形，并加以證明；（2）求證：AE = FC + EF．解 （1）△AED≌△DFC．∵ 四邊形ABCD是正方形，∴ AD=DC，∠ADC = 90186。．又 ∵ AE⊥DG，CF∥AE，∴ ∠AED =∠DFC = 90186。，∴ ∠EAD +∠ADE=∠FDC +∠ADE = 90186。，∴ ∠EAD =∠FDC，∴ △AED≌△DFC．（2） ∵ ΔAED≌ΔDFC，∴ AE = DF，ED = FC．∵ DF = DE + EF，∴ AE = FC + EF．變式2 正方形ABCD中，點P是CD上一動點，連結(jié)AP，分別過B、D兩點作BE⊥AP，DF⊥AP，垂足為E、F，如圖①．（1）請你通過觀察或測量BE、DF、EF的長度，然后猜想它們之間的數(shù)量關(guān)系．若點P在DC的延長線上，如圖②，這三條線段長度之間又具有什么樣的數(shù)量關(guān)系？若P在DC的反向延長線上，如圖③，這三條線段長度之間又具有什么樣的數(shù)量關(guān)系；請分別直接寫出結(jié)論．①圖①的結(jié)論： ，圖②的結(jié)論： ，圖③的結(jié)論： ．（2）請在（1）中的三個結(jié)論中任意選擇一個加以證明．解 （1）① BE = DF + EF；② BE = DF－EF；③ BE = EF－DF．（2）圖①證明如下，圖②③證明略．∵ BE⊥AP，DF⊥AP，∴ ∠BEA +∠AFD = 90176。．∵ ∠ABE +∠BAE = 90176。，∠DAF +∠BAE = 90176。，②∴ ∠ABE =∠DAF．在正方形ABCD中，AB = AD，∴ △ABE≌△DAF，∴ DF = AE，BE = AF，∴ BE = DF + EF．變式3 （2009，湖北十堰）如圖①，四邊形ABCD是正方形，點G是BC上任意一點，DE⊥AG于點E，BF⊥AG于點F．（1）求證：DE－BF = EF．（2）當(dāng)點G為BC邊中點時， 試探究線段EF與GF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）若點G為CB延長線上一點，其余條件不變．請你在圖②中畫出圖形，寫出此時DE、BF、EF之間的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）．解 （1）∵ 四邊形ABCD 是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，∴ DA = AB，∠BAF +∠DAE =∠DAE +∠ADE = 90176。，∴ ∠BAF =∠ADE，∴ △ABF≌△DAE，∴ BF = AE，AF = DE，∴ DE－BF = AF－AE = EF．（2）EF = 2FG．∵ AB⊥BC，BF⊥AG，AB = 2BG，∴ △AFB∽△BFG∽△ABG，BADCOFB1C1E∴，∴ AF = 2BF，BF = 2FG．由（1）知，AE = BF，∴ EF = BF = 2 FG．（3）如圖DE + BF = EF．題目 正方形ABCD的對角線相交于點O，點O又是正方形A1B1C1O一個頂點，而且這兩個正方形的邊長相等，那么無論正方形A1B1C1O繞點O怎樣轉(zhuǎn)動，兩個正方形重疊部分的面積，總等于一個正方形面積的．想一想這是為什么．（人教課本P105實驗與探究）解 ∵ 在△AOE和△BOF中，AO = BO，∠OAE =∠OBF，∠AOE = 90176。－∠BOE =∠BOF，∴ △AOE≌△BOF．∴ S△AOB = S△AOE + S△EOB = S四邊形OEBF =S正方形ABCD．點評 在該題中無論正方形A1B1C1O繞點O怎樣轉(zhuǎn)動，都有△AOE≌△BOF（只要存在）．因此不難發(fā)現(xiàn)還有如下結(jié)論：（1）一個圖形經(jīng)過另一個圖形的中心，且疊合的度數(shù)是90176。；（2）正方形ABCD的邊被另一正方形A1B1C1O覆蓋部分的總長度BE + BF為定長（正方形的邊長）；（3）由△AOE≌△BOF可得AE = BF或OE = OF；（4）圖中重疊部分的面積均為原正方形面積的四分之一（定值）．該問題的實質(zhì)是：條件只需滿足OAOC1是經(jīng)過正方形ABCD的對稱中心且互相垂直的兩條直線即可．ADCOEFBG演變變式1 已知正方形ABCD的對角線AC、BD交于O，點O是正方形EFGO的一個頂點，若正方形ABCD的邊長為2．（1）當(dāng)OE∥AD、OG∥AB時，如圖1，求圖中兩個正方形重疊部分的面積．（2）若正方形EFGO饒點O逆時針轉(zhuǎn)動時，如圖2，兩個正方形重疊部分的面積是否發(fā)生變化？試說明理由．解 （1）設(shè)OE交AB于M，OG交BC于N．正方形ABCD中，∠DAB =∠ABC =∠BCD = 90176。．2314BADCONFGME∵ OE∥AD、OG∥AB，∴ ∠OMB = 90176。，∠ONB = 90176。，∴ 四邊形MONB是矩形．∵ 正方形ABCD中，O為AC中點，AD = AB = 2．而 OE∥AD、OG∥AB，∴ OM =AD = 1，ON =AB = 1，∴ 四邊形MONB是正方形，∴ S四邊形MONB = 1．（2）不變．∵ 正方形ABCD和正方形EFGO中，∠BOC = 90176。，∠EOG = 90176。，∴ ∠1 =∠2．而在正方形ABCD中，∠3 =∠4 = 45176。，OB = OC，∴ △OBM≌△OCN， ∴ S△OBM = S△OCN，S四邊形MONB = S△OBC．∵ 正方形ABCD邊長為2， ∴ S△OBC = 1，∴ S四邊形MONB = 1．變式2 （2009，廣東）（1）如圖1，圓內(nèi)接△ABC中，AB = BC = CA，OD、OE為⊙O的半徑，OD⊥BC于點F，OE⊥AC于點G．求證：陰影部分四邊形OFCG的面積是△ABC的面積的．（2）如圖2，若∠DOE保持120176。角度不變，求證：當(dāng)∠DOE繞著O點旋轉(zhuǎn)時，由兩條半徑和△ABC的兩條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是△ABC的面積的．CEDBOFGA圖1DBOCEA圖2解 （1）過點O作OH⊥AB于點H．∵ 等邊△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，OD⊥BC，OH⊥AB，OE⊥AC，∴ ∠B =∠C = 60176。，∠BHO =∠BFO =∠CFO =∠CGO = 90176。， BH = BF = CF = CG，OH = OF = OG，∴∠FOH =∠FOG = 180176。－60176。 = 120176。，∴ 四邊形BDOH≌四邊形CFOG．同理：四邊形BDOH≌四邊形AHOG，∴四邊形BDOH≌四邊形CFOG≌四邊形AHOG，∴，又 ∵ ∴ ．（2）過圓心Ｏ分別作OM⊥BC，ON⊥AC，垂足為M、N．則有 ∠OMF =∠ONG = 90176。，OM = ON，∠MON =∠FOG = 120176。，∴ ∠MON－∠FON =∠FOG－∠FON，即 ∠MOF =∠NOG，∴ △MOF≌△NOG，∴，∴ 若∠DOE保持120176。角度不變，當(dāng)∠DOE繞著O點旋轉(zhuǎn)時，由兩條半徑和△ABC的兩條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是△ABC的面積的）原題的推廣結(jié)論：兩個全等的正n邊形疊合，當(dāng)疊合部分的中心角度為時，正n邊形的邊被覆蓋部分的總長度為定值（邊長a），疊合部分的面積為原正n邊形的（定值）．MADBC題目 如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，點M是AD的中點，且MB = MC．求證：四邊形ABCD是等腰梯形． （人教課本P110第7題）證明 在△MBC中，∵ MB = MC，∴∠MBC =∠MCB．又 ∵ AD∥BC，∴∠AMB =∠MBC =∠MCB =∠DMC．MADBC在△ABM和△DCM中，∵ AM = DM，∠AMB =∠DMC，MB = MC，∴ △ABM≌△DCM，∴ AB = DC，而AD∥BC，∴ 四邊形ABCD是等腰梯形．點評 本題通過證全等得出線段或角相等，然后證等腰梯形是常見的思路．另外：在本題中，AD∥BC不變，若以“① 點M是AD的中點；② MB = MC；③ 四邊形ABCD是等腰梯形”三者中的任何兩個為條件，另一個為結(jié)論都正確．OADBC演變變式1 已知，如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點M是BC邊上的一點，若BM = CM．求證：AM = DM．EADBC（提示：△ABM≌△DCM）變式2 已知，如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點O是梯形ABCD內(nèi)的一點，且OA = OD．求證：OB = OC．（提示：△ABM≌△DCM）變式3 如圖，已知四邊形ABCD是等腰梯形，AB = DC， AD∥BC，EB = EC，求證：EA = ED．（提示：△EAB≌△EDC）變式4 （1）如圖，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB = CD，E是梯形外一點，且EA = ED．求證：EB = EC．（2）請你將（1）中的“等腰梯形”改為另一種四邊形，其余條件不變，使結(jié)