【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 一般很小，物體的重力隨緯度的變化很小，因此在一般粗略的計(jì)算中，可以認(rèn)為物體所受的重力等于物體所受地球的吸引力，即可得到“黃金代換”公式。[牛刀小試]設(shè)地球表面的重力加速度為g0，物體在距地心4 R(R為地球半徑)處，由于地球的作用而產(chǎn)生的重力加速度為g，則g∶g0為( D ) 　　A．16∶1 B．4∶1 C．1∶4 D．1∶16：(1) 運(yùn)動(dòng)性質(zhì)：通常把天體的運(yùn)動(dòng)近似看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(2) 從力和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系角度分析天體運(yùn)動(dòng)： 天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，其速度方向時(shí)刻改變，其所需的向心力由萬(wàn)有引力提供，即F需=F萬(wàn)。如圖所示，由牛頓第二定律得：，從運(yùn)動(dòng)的角度分析向心加速度：（3） 重要關(guān)系式：[牛刀小試]兩顆球形行星A和B各有一顆衛(wèi)星a和b，衛(wèi)星的圓形軌道接近各自行星的表面，如果兩顆行星的質(zhì)量之比，半徑之比= q，則兩顆衛(wèi)星的周期之比等于。 地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的角速度為ω1，軌道半徑為R1，月球繞地球公轉(zhuǎn)的角速度為ω2，軌道半徑為R2，那么太陽(yáng)的質(zhì)量是地球質(zhì)量的多少倍？解析：地球與太陽(yáng)的萬(wàn)有引力提供地球運(yùn)動(dòng)的向心力，月球與地球的萬(wàn)有引力提供月球運(yùn)動(dòng)的向心力，最后算得結(jié)果為。假設(shè)火星和地球都是球體，火星的質(zhì)量M1與地球質(zhì)量M2之比= p；火星的半徑R1與地球的半徑R2之比= q，那么火星表面的引力加速度g1與地球表面處的重力加速度g2之比等于( A )A． B．p q2 C． D．p q ：“填補(bǔ)法”計(jì)算均勻球體間的萬(wàn)有引力：談一談：萬(wàn)有引力定律適用于兩質(zhì)點(diǎn)間的引力作用，對(duì)于形狀不規(guī)則的物體應(yīng)給予填補(bǔ)，變成一個(gè)形狀規(guī)則、便于確定質(zhì)點(diǎn)位置的物體，再用萬(wàn)有引力定律進(jìn)行求解。模型：如右圖所示，在一個(gè)半徑為R，質(zhì)量為M的均勻球體中，緊貼球的邊緣挖出一個(gè)半徑為R/2的球形空穴后，對(duì)位于球心和空穴中心連線上、與球心相距d的質(zhì)點(diǎn)m的引力是多大？思路分析：把整個(gè)球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力看成是挖去的小球體和剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力之和，即可求解。根據(jù)“思路分析”所述，引力F可視作F=F1+F2：,則挖去小球后的剩余部分對(duì)球外質(zhì)點(diǎn)m的引力為。[能力提升]某小報(bào)登載：年月日，國(guó)發(fā)射了一顆質(zhì)量為100kg，周期為1h的人造環(huán)月球衛(wèi)星。一位同學(xué)記不住引力常量G的數(shù)值且手邊沒(méi)有可查找的材料，但他記得月球半徑約為地球的，月球表面重力加速度約為地球的，經(jīng)過(guò)推理，他認(rèn)定該報(bào)道是則假新聞，試寫(xiě)出他的論證方案。(103km)證明：因?yàn)镚＝mR，所以T＝2π，又G＝mg得g＝，故Tmin＝2π＝2π＝2π＝2π＝2πs＝103s≈。，故該報(bào)道是則假新聞。167。63 由“萬(wàn)有引力定律”引出的四大考點(diǎn) 解題思路——“金三角”關(guān)系：（1） 萬(wàn)有引力與向心力的聯(lián)系：萬(wàn)有引力提供天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即是本章解題的主線索。（2） 萬(wàn)有引力與重力的聯(lián)系：物體所受的重力近似等于它受到的萬(wàn)有引力，即為對(duì)應(yīng)軌道處的重力加速度，這是本章解題的副線索。（3） 重力與向心力的聯(lián)系：為對(duì)應(yīng)軌道處的重力加速度，適用于已知g的特殊情況。 天體質(zhì)量的估算模型一：環(huán)繞型：談一談：對(duì)于有衛(wèi)星的天體，可認(rèn)為衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，中心天體對(duì)衛(wèi)星的萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，利用引力常量G和環(huán)形衛(wèi)星的v、ω、T、r中任意兩個(gè)量進(jìn)行估算（只能估計(jì)中心天體的質(zhì)量，不能估算環(huán)繞衛(wèi)星的質(zhì)量）。①已知r和T:②已知r和v:③已知T和v:模型二：表面型：談一談：對(duì)于沒(méi)有衛(wèi)星的天體（或有衛(wèi)星，但不知道衛(wèi)星運(yùn)行的相關(guān)物理量），可忽略天體自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力進(jìn)行粗略估算。 變形：如果物體不在天體表面，但知道物體所在處的g，也可以利用上面的方法求出天體的質(zhì)量：處理：不考慮天體自轉(zhuǎn)的影響，天體附近物體的重力等于物體受的萬(wàn)有引力，即：[觸類旁通](2013福建理綜，13)設(shè)太陽(yáng)質(zhì)量為M，某行星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)周期為T(mén)，軌道可視作半徑為r的圓。已知萬(wàn)有引力常量為G，則描述該行星運(yùn)動(dòng)的上述物理量滿足(　A　)A．GM＝　　B．GM＝ C．GM＝ D．GM＝解析：本題考查了萬(wàn)有引力在天體中的應(yīng)用。是知識(shí)的簡(jiǎn)單應(yīng)用。由＝mr可得GM＝，A正確。(2013全國(guó)大綱卷，18)“嫦娥一號(hào)”是我國(guó)首次發(fā)射的探月衛(wèi)星，它在距月球表面高度為200km的圓形軌道上運(yùn)行，運(yùn)行周期為127分鐘。已知引力常量G＝10－11Nm2/kg2，103km。利用以上數(shù)據(jù)估算月球的質(zhì)量約為(　D　)A．1010kg B．1013kg C．1019kg D．1022kg解析：本題考查萬(wàn)有引力定律在天體中的應(yīng)用。解題的關(guān)鍵是明確探月衛(wèi)星繞月球運(yùn)行的向心力是由月球?qū)πl(wèi)星的萬(wàn)有引力提供。由G＝mr得M＝，又r＝R月＋h，代入數(shù)值得月球質(zhì)量M＝1022kg，選項(xiàng)D正確。 土星的9個(gè)衛(wèi)星中最內(nèi)側(cè)的一個(gè)衛(wèi)星，其軌道為圓形，105 km，公轉(zhuǎn)周期為18 h 46 min，則土星的質(zhì)量為 1026 kg。 宇航員站在一顆星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一個(gè)小球。經(jīng)過(guò)時(shí)間t，小球落到星球表面，測(cè)得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為L(zhǎng)。若拋出時(shí)的初速度增大到2倍，則拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為。已知兩落地點(diǎn)在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬(wàn)有引力常數(shù)為G。求該星球的質(zhì)量M。解析：在該星球表面平拋物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與地球表面相同，根據(jù)已知條件可以求出該星球表面的加速度；需要注意的是拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為小球所做平拋運(yùn)動(dòng)的位移的大小，而非水平方向的位移的大小。然后根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力，求出該星球的質(zhì)量?！翱茖W(xué)真是迷人?！比绻覀兡軠y(cè)出月球表面的加速度g、月球的半徑R和月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的周期T，就能根據(jù)萬(wàn)有引力定律“稱量”月球的質(zhì)量了。已知引力常數(shù)G，用M表示月球的質(zhì)量。關(guān)于月球質(zhì)量，下列說(shuō)法正確的是( A )A．M = B．M = C．M = D．M =解析：月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的周期T與月球的質(zhì)量無(wú)關(guān)。 天體密度的計(jì)算模型一：利用天體表面的g求天體密度： 變形物體不在天體表面：模型二：利用天體的衛(wèi)星求天體的密度： 求星球表面的重力加速度：在忽略星球自轉(zhuǎn)的情況下，物體在星球表面的重力大小等于物體與星球間的萬(wàn)有引力大小，即：[牛刀小試]（2012新課標(biāo)全國(guó)卷，21）假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體。一礦井深度為d。已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零。礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為(　A　)A．1－ B．1＋ C. D. 解析：設(shè)地球的質(zhì)量為M，地球的密度為ρ，根據(jù)萬(wàn)有引力定律可知，地球表面的重力加速度g＝，地球的質(zhì)量可表示為M＝πR3ρ因質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，所以礦井下以(R－d)為半徑的地球的質(zhì)量為M′＝π(R－d)3ρ，解得M′＝()3M，則礦井底部處的重力加速度g′＝，所以礦井底部處的重力加速度和地球表面處的重力加速度之比＝1－，選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B、C、D錯(cuò)誤。 雙星問(wèn)題：特點(diǎn)：“四個(gè)相等”：兩星球向心力相等、角速度相等、周期相等、距離等于軌道半徑之和。符號(hào)表示：.處理方法：雙星間的萬(wàn)有引力提供了它們做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即：G＝m1ω2r1＝m2ω2r2，由此得出：(1)m1r1＝m2r2，即某恒星的運(yùn)動(dòng)半徑與其質(zhì)量成反比。 (2)由于ω＝，r1＋r2＝L，所以兩恒星的質(zhì)量之和m1＋m2＝。[牛刀小試](2010 年全國(guó)卷Ⅰ)如圖所示，質(zhì)量分別為 m 和 M 的兩個(gè)星球 A 和 B 在引力作用下都繞 O 點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，星球 A 和 B兩者中心之間的距離為 A、B 的中心和 O 三點(diǎn)始終共線，A 和B 分別在 O 的兩側(cè)．引力常量為 G.(1)求兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期；(2)在地月系統(tǒng)中，若忽略其他星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球 A 和B，月球繞其軌道中心運(yùn)行為的周期記為 ，常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的，這樣算得的運(yùn)行周期為 T2. 已知地球和月球的質(zhì)量分別為 1024kg T2與T1兩者的平方之比．(結(jié)果保留兩位小數(shù))解析：(1)A 和 B 繞 O 做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的萬(wàn)有引力提供向心力，則 A 和 B 的向心力相等，且 A 和 B 與 O 始終共線，說(shuō)明 A 和 B 有相同的角速度和周期．因此有mω2r＝Mω2R，r＋R＝L聯(lián)立解得R＝L，r＝L對(duì)A根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律得：，化簡(jiǎn)得.(2)將地月看成雙星，由(1)得將月球看做繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律得化簡(jiǎn)得所以兩種周期的平方比值為＝＝＝.(2013山東理綜，20)雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過(guò)程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化。若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉?lái)的k倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉?lái)的n倍，則此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的周期為( B ) 解析：本題考查雙星問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是要掌握雙星的角速度(周期)相等，要注意雙星的距離不是軌道半徑，該題考查了理解能力和綜合分析問(wèn)題的能力。由＝mr1ω2；＝Mr2ω2；r＝r1＋r2得：＝rω2＝r同理有＝nr，解得T1＝T，B正確。167。64 宇宙速度 amp。 衛(wèi)星 涉及航空航天的“三大速度”：（一）宇宙速度：1. 第一宇宙速度：人造地球衛(wèi)星在地面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)必須具有的速度叫第一宇宙速度，也叫地面附近的環(huán)繞速度，v1=。它是近地衛(wèi)星的運(yùn)行速度，也是人造衛(wèi)星最小發(fā)射速度。（待在地球旁邊的速度）2. 第二宇宙速度：使物體掙脫地球引力的束縛，成為繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星或飛到其他行星上去的最小速度，v2=。（離棄地球，投入太陽(yáng)懷抱的速度）3. 第三宇宙速度：使物體掙脫太陽(yáng)引力的束縛，飛到太陽(yáng)以外的宇宙空間去的最小速度，v2=。（離棄太陽(yáng)，投入更大宇宙空間懷抱的速度）（二）發(fā)射速度：：衛(wèi)星在地面附近離開(kāi)發(fā)射裝置的初速度。：①,人造衛(wèi)星只能“貼著”地面近地運(yùn)行。②，可以使衛(wèi)星在距地面較高的軌道上運(yùn)行。③,一般情況下人造地球衛(wèi)星發(fā)射速度。（三）運(yùn)行速度：：衛(wèi)星在進(jìn)入運(yùn)行軌道后繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度。：對(duì)于人造地球衛(wèi)星，該速度指的是人造地球衛(wèi)星在軌道上的運(yùn)行的環(huán)繞速度，其大小隨軌道的半徑r↓而v↑。：①當(dāng)衛(wèi)星“貼著”地面飛行時(shí)，運(yùn)行速度等于第一宇宙速度；②當(dāng)衛(wèi)星的軌道半徑大于地球半徑時(shí)，運(yùn)行速度小于第一宇宙速度。[牛刀小試]地球的第一宇宙速度約為8 km/s，某行星的質(zhì)量是地球的6倍。該行星上的第一宇宙速度約為( A )A．16 km/s B．32 km/s C．46 km/s D．2 km/s解析：由公式m= G，若M增大為原來(lái)的6倍，可得v增大為原來(lái)的2倍。 某行星的質(zhì)量為地球質(zhì)量的16倍，半徑為地球半徑的4倍， km/s ,該行星的第一宇宙速度是多少？ 解析：思路與第一題相同， km/s。 某星球半徑為R，一物體在該星球表面附近自由下落，若在連續(xù)兩個(gè)T時(shí)間內(nèi)下落的高度依次為hh2，則該星球附近的第一宇宙速度為。 兩種衛(wèi)星：（一）人造地球衛(wèi)星：：在地球上以一定初速度將物體發(fā)射出去，物體將不再落回地面而繞地球運(yùn)行而形成的人造衛(wèi)星。：近地衛(wèi)星、中軌道衛(wèi)星、高軌道衛(wèi)星、地球同步衛(wèi)星、極地衛(wèi)星等?！苯啤保孩俳匦l(wèi)星貼近地球表面運(yùn)行，可近似認(rèn)為它做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑等于地球半徑。②在地球表面隨地球一起自轉(zhuǎn)的物體可近似認(rèn)為地球?qū)λ娜f(wàn)有引力等于重力。③天體的運(yùn)動(dòng)軌道可近似看成圓軌道，萬(wàn)有引力提供向心力。：①運(yùn)行速度：。②角速度：。③周期：。④向心加速度：。（二）地球同步衛(wèi)星：：在赤道平面內(nèi)，以和地球自轉(zhuǎn)角速度相同的角速度繞地球運(yùn)行的衛(wèi)星?！耙欢ā保孩僦芷赥一定：與地球自轉(zhuǎn)周期相等（24h），角速度ω也等于地球自轉(zhuǎn)角速度。②軌道一定：所有同步衛(wèi)星的運(yùn)行方向與地球自轉(zhuǎn)方向一致，軌道平面與赤道平面重合。③運(yùn)行速度v大小一定：所有同步衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的線速度大小一定。④離地高度h一定：所有同步衛(wèi)星的軌道半徑均相同，104km。⑤向心加速度an大小一定：所有同步衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的向心加速度大小都相等。注：所有國(guó)家發(fā)射的同步衛(wèi)星的軌道都與赤道為同心圓，它們都在同一軌道上運(yùn)動(dòng)且都相對(duì)靜止。 衛(wèi)星變軌問(wèn)題：：線速度v發(fā)生變化，使萬(wàn)有引力不等于向心力，從而實(shí)現(xiàn)變軌。：增大衛(wèi)星的線速度v，使萬(wàn)有引力小于所需的向心力，從而實(shí)現(xiàn)變軌。：衛(wèi)星到達(dá)高軌道后，在新的軌道上其運(yùn)行速度反而減小；當(dāng)衛(wèi)星的線速度v減小時(shí)，萬(wàn)有引力大于所需的向心力，衛(wèi)星則做向心運(yùn)動(dòng)，但到了低軌道后達(dá)到新的穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)時(shí)速度反而增大。：某星體的兩顆衛(wèi)星之間的距離有最近和最遠(yuǎn)之分，但它們都處在同一條直線上。由于它們軌道不是重合的，因此在最近和最遠(yuǎn)的相遇問(wèn)題上不能通過(guò)位移或弧長(zhǎng)相等來(lái)處理，而是通過(guò)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的圓心角來(lái)衡量，若它們初始位置在同一直線上，實(shí)際內(nèi)軌道所轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角與外軌道所轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角之差為π的整數(shù)倍時(shí)就是出現(xiàn)最近或最遠(yuǎn)的時(shí)刻。四、與衛(wèi)星有關(guān)的幾組概念的比較總結(jié)：：衛(wèi)星的軌道半徑r是指衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，與天體半徑R的關(guān)系是r=R+h（h為衛(wèi)星距離天體表面的高度），當(dāng)衛(wèi)星貼近天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)，可視作h=0，即r=R。：（1）衛(wèi)星運(yùn)行的加速度： 衛(wèi)星繞地球運(yùn)行，由萬(wàn)有引力提供向心力，產(chǎn)生的向心加速度滿足,其方向始終指向地心，大小隨衛(wèi)星到地心距離r的增大而減小。（2） 物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度： 當(dāng)?shù)厍蛏?