【文章內(nèi)容簡介】 三角形的判定與性質(zhì)．專題：證明題；探究型．分析：（1）利用同角的余角相等得出∠CAD=∠BCE，進(jìn)而根據(jù)AAS證明△ADC≌△CEB．（2）根據(jù)AAS證明△ADC≌△CEB后，得其對應(yīng)邊相等，進(jìn)而得到ED=BEAD．（3）根據(jù)AAS證明△ADC≌△CEB后，得DC=BE，AD=CE，又有ED=CE+DC，進(jìn)而得到ED=AD+BE．解答：（1）證明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90176。．∵∠ACD+∠ECB=90176。，∠CAD+∠ACD=90176。，∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）．在△ADC與△CEB中 ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ，∴△ADC≌△CEB（AAS）．
（2）證明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90176。．∵∠ACD+∠ECB=90176。，∠CAD+∠ACD=90176。，∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）．在△ADC與△CEB中 ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ，∴△ADC≌△CEB（AAS）．∴DC=BE，AD=CE．又∵ED=CDCE，∴ED=BEAD．（3）ED=AD+BE．證明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90176。．∵∠ACD+∠ECB=90176。，∠CAD+∠ACD=90176。，∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）．在△ADC與△CEB中 ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ，∴△ADC≌△CEB（AAS）．∴DC=BE，AD=CE．又∵ED=CE+DC，∴ED=AD+BE．點評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；利用全等三角形的對應(yīng)邊相等進(jìn)行等量交換，證明線段之間的數(shù)量關(guān)系，這是一種很重要的方法，注意掌握、圖圖3，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90186。，（1）在圖1中，AC與BD相等嗎，有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由。（2）若△COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，到達(dá)圖2的位置，請問AC與BD還相等嗎，還具有那種位置關(guān)系嗎？為什么？ （3）若△COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，到達(dá)圖3的位置，請問AC與BD還相等嗎？還具有上問中的位置關(guān)系嗎？為什么？考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．分析：（1）根據(jù)等腰三角形的兩腰相等進(jìn)行解答．（2）證明△DOB≌△COA，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等進(jìn)行說明．解答：解：（1）相等．在圖1中，∵△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90176。，∴OA=OB，OC=OD，∴0A0C=0BOD，∴AC=BD；
（2）相等．在圖2中，0D=OC，∠DOB=∠COA，OB=OA，∴△DOB≌△COA，∴BD=AC．點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)問題，在旋轉(zhuǎn)的過程中要注意哪些量是不變的，找出圖形中的對應(yīng)邊與對應(yīng)角．4.（2008河南）．（9分）復(fù)習(xí)“全等三角形”的知識時，老師布置了一道作業(yè)題：“如圖①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC內(nèi)部任意一點，將AP繞A順時針旋轉(zhuǎn)至AQ，使∠QAP=∠BAC，連接BQ、CP，則BQ=CP．”小亮是個愛動腦筋的同學(xué)，他通過對圖①的分析，證明了△ABQ≌△ACP，從而證得BQ=CP之后，將點P移到等腰三角形ABC之外，原題中的條件不變，發(fā)現(xiàn)“BQ=CP”仍然成立，請你就圖②給出證明．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．專題：證明題；探究型．分析：此題的兩個小題思路是一致的；已知∠QAP=∠BAC，那么這兩個等角同時減去同一個角（2題是加上同一個角），來證得∠QAB=∠PAC；而根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：AP=AQ，且已知AB=AC，即可由SAS證得△ABQ≌△ACP，進(jìn)而得出BQ=CP的結(jié)論．解答：證明：（1）∵∠QAP=∠BAC，∴∠QAP∠BAP=∠BAC∠BAP，即∠QAB=∠CAP；在△BQA和△CPA中， AQ=AP ∠QAB=∠CAP AB=AC ，∴△BQA≌△CPA（SAS）；∴BQ=CP．
（2）BQ=CP仍然成立，理由如下：∵∠QAP=∠BAC，∴∠QAP+∠PAB=∠BAC+∠PAB，即∠QAB=∠PAC；在△QAB和△PAC中， AQ=AP ∠QAB=∠PAC AB=AC ，∴△QAB≌△PAC（SAS），∴BQ=CP．點評：此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)；選擇并利用三角形全等是正確解答本題的關(guān)鍵．5.（2009山西太原）將一張透明的平行四邊形膠片沿對角線剪開，得到圖①中的兩張三角形膠片和．且≌。將這兩張三角形膠片的頂點與頂點重合，把繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)，這時與相交于點．①當(dāng)旋轉(zhuǎn)至如圖②位置，點，在同一直線上時，與的數(shù)量關(guān)系是 ．②當(dāng)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖③位置時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？AO與DO存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：探究型．分析：（1）根據(jù)外角的性質(zhì)，得∠AFD=∠D+∠ABC，∠DCA=∠A+∠ABC，從而得出∠AFD=∠DCA；（2）成立．由△ABC≌△DEF，可證明∠ABF=∠DEC．則△ABF≌△DEC，從而證出∠AFD=∠DCA；（3）BO⊥AD．由△ABC≌△DEF，可證得點B在AD的垂直平分線上，進(jìn)而證得點O在AD的垂直平分線上，則直線BO是AD的垂直平分線，即BO⊥AD．解答：解：（1）∠AFD=∠DCA（或相等）．
（2）∠AFD=∠DCA（或成立），理由如下：方法一：由△ABC≌△DEF，得AB=DE，BC=EF（或BF=EC），∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF．∴∠ABC∠FBC=∠DEF∠CBF，∴∠ABF=∠DEC．在△ABF和△DEC中， AB=DE ∠ABF=∠DEC BF=EC ∴△ABF≌△DEC，∠BAF=∠EDC．∴∠BAC∠BAF=∠EDF∠EDC，∠FAC=∠CDF．∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA，∴∠AFD=∠DCA．方法二：連接AD．同方法一△ABF≌△DEC，∴AF=DC．由△ABC≌△DEF，得FD=CA．在△AFD≌△DCA， AF=DC FD=CA AD=DA ∴△AFD≌△DCA，∠AFD=∠DCA．（3）如圖，BO⊥AD．方法一：由△ABC≌△DEF，點B與點E重合，得∠BAC=∠BDF，BA=BD．∴點B在AD的垂直平分線上，且∠BAD=∠BDA．∵∠OAD=∠BAD∠BAC，∠ODA=∠BDA∠BDF，∴∠OAD=∠ODA．∴OA=OD，點O在AD的垂直平分線上．∴直線BO是AD的垂直平分線，BO⊥AD．方法二：延長BO交AD于點G，同方法一，OA=OD．在△ABO和△DBO中， AB=DB BO=BO OA=OD ∴△ABO≌△DBO，∠ABO=∠DBO．在△ABG和△DBG中， AB=DB ∠ABG=∠DBG BG=BG ∴△ABG≌△DBG，∠AGB=∠DGB=90176。．∴BO⊥AD．點評：本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．例1 正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù). 考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．分析：延長EB使得BG=DF，易證△ABG≌△ADF（SAS）可得AF=AG，進(jìn)而求證△AEG≌△AEF可得∠EAG=∠EAF，再求出∠EAG+∠EAF=90176。即可解題．解答：解：延長EB使得BG=DF，在△ABG和△ADF中，由 AB=AD ∠ABG=∠ADF=90176。 BG=DF ，可得△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE，∴△AEG≌△AEF（SSS），∴∠EAG=∠EAF，∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90176?！唷螮AG+∠EAF=90176。，∴∠EAF=45176。．答：∠EAF的角度為45176。．點評：本題考查了正方形各內(nèi)角均為直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證∠EAG=∠EAF是解題的關(guān)鍵．例2 D為等腰斜邊AB的中點，DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。（1） 當(dāng)繞點D轉(zhuǎn)動時，求證DE=DF。（2） 若AB=2，求四邊形DECF的面積?？键c：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．專題：計算題．分析：（1）連CD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45176。，CD=DA，則∠BCD=45176。，∠CDA=90176。，由∠DM⊥DN得∠EDF=90176。，根據(jù)等角的余角相等得到∠CDE=∠ADF，根據(jù)全等三角形的判定易得△DCE≌△ADF，即可得到結(jié)論；（2）由△DCE≌△ADF，則S△DCE=S△ADF，于是四邊形DECF的面積=S△ACD，由而AB=2可得CD=DA=1，根據(jù)三角形的面積公式易求得S△ACD，從而得到四邊形DECF的面積．解答：解：（1）連CD，如圖，∵D為等腰Rt△ABC斜邊AB的中點，∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45176。，CD=DA，∴∠BCD=45176。，∠CDA=90176。，∵∠DM⊥DN，∴∠EDF=90176。，∴∠CDE=∠ADF，（圖1）（圖2）（圖3）在△DCE和△ADF中， ∠DCE=∠DAF DC=DA ∠CDE=∠ADF ，∴△DCE≌△ADF，∴DE=DF；（2）∵△DCE≌△ADF，∴S△DCE=S△ADF，∴四邊形DECF的面積=S△ACD，而AB=2，∴CD=DA=1，∴四邊形DECF的面積=S△ACD=1 2 CD?DA=1 2 ．點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．已知四邊形中，，，繞點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于．當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到時（如圖1），易證．當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點落在直線AB的兩側(cè).(1)如圖