初二下學(xué)期壓軸題一次函數(shù)與幾何動(dòng)點(diǎn)問題教師版(編輯修改稿)
2025-04-20 12:38 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 Q，使以 A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，如2圖所示，當(dāng)P在y軸正半軸上，四邊形ABPQ為菱形，①可得AQ=AB=2，且Q與A的橫坐標(biāo)相同，此時(shí)Q坐標(biāo)為（1，2），②AP=AQ=，Q與A的橫坐標(biāo)相同，此時(shí)Q坐標(biāo)為（1，），當(dāng)P在y軸負(fù)半軸上，四邊形ABPQ為菱形，①可得AQ=AB=2，且Q與A橫坐標(biāo)相同，此時(shí)Q坐標(biāo)為（1，﹣2），②BP垂直平分AQ，此時(shí)Q坐標(biāo)為（﹣1，0），綜上，滿足題意Q坐標(biāo)為（1，2）、（1，﹣2）、（1，）、（﹣1，0）．【點(diǎn)評(píng)】此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：含30度直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，菱形的性質(zhì)，利用了分類討論的思想，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題第二問的關(guān)鍵．:（2017重慶江津）26．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=mx+n（m≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)B，且與正比例函數(shù)y=2x的圖象交于點(diǎn)C（3，6）．（1）求一次函數(shù)y=mx+n的解析式；（2）點(diǎn)P在x軸上，當(dāng)PB+PC最小時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)E是直線AC上一點(diǎn)，點(diǎn)F是平面內(nèi)一點(diǎn)，以O(shè)、C、E、F四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．【分析】（1）由A、C坐標(biāo)，可求得答案；（2）由一次函數(shù)解析式可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，可求得B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′的坐標(biāo)，連接B′C與x軸的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)，由B′、C坐標(biāo)可求得直線B′C的解析式，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）分兩種情形分別討論即可①當(dāng)OC為邊時(shí)，四邊形OCFE是矩形，此時(shí)EO⊥OC，②當(dāng)OC為對(duì)角線時(shí)，四邊形OE′CF′是矩形，此時(shí)OE′⊥AC；【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y=mx+n（m≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)C（3，6），∴，解得，∴一次函數(shù)的解析式為y=x+3．（2）如圖1中，作點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接CB′交x軸于P，此時(shí)PB+PC的值最小．∵B（0，3），C（3，6）∴B′（﹣3，0），∴直線CB′的解析式為y=3x﹣3，令y=0，得到x=1，∴P（1，0）．（3）如圖，①當(dāng)OC為邊時(shí)，四邊形OCFE是矩形，此時(shí)EO⊥OC，∵直線OC的解析式為y=2x，∴直線OE的解析式為y=﹣x，由，解得，∴E（﹣2，1），∵EO=CF，OE∥CF，∴F（1，7）．②當(dāng)OC為對(duì)角線時(shí)，四邊形OE′CF′是矩形，此時(shí)OE′⊥AC，∴直線OE′的解析式為y=﹣x，由，解得，∴E′（﹣，），∵OE′=CF′，OE′∥CF′，∴F′（，），綜上所述，滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)為（）或（，）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)綜合題、軸對(duì)稱最短問題、矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用對(duì)稱解決最短問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．如圖（1），四邊形AOBC是正方形，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（，0），（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)點(diǎn)和正方形AOBC的面積；（2）將正方形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45176。，求旋轉(zhuǎn)后的正方形與原正方形的重疊部分的面積；（3）如圖（2），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿折線O﹣A﹣C﹣B方向以1個(gè)單位/每秒勻速運(yùn)動(dòng)；另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿折線C﹣B﹣O﹣A方向以2個(gè)單位/每秒勻速運(yùn)動(dòng)．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A 時(shí)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，是否存在這樣的t值，使△OPQ成為等腰三角形？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）連接AB，根據(jù)△OCA為等腰三角形可得AD=OD的長(zhǎng)，從而得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，則得出正方形AOBC的面積；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OA′的長(zhǎng)，從而得出A′C，A′E，再求出面積即可；（3）存在，從Q點(diǎn)在不同的線段上運(yùn)動(dòng)情況，可分為三種：①當(dāng)Q點(diǎn)在BC上時(shí)，使OQ=QP，則有OP=2BQ，而OP=t，BQ=4﹣2t，列式可得出t；②當(dāng)Q點(diǎn)在OB上時(shí)，使OQ=OP，而OP=t，OQ=8﹣2t，列式可得出t；③當(dāng)Q點(diǎn)在OA上時(shí)，使OQ=PQ，列式可得出t．【解答】解：（1）如圖1，連接AB，與OC交于點(diǎn)D，由△OCA為等腰Rt△，得AD=OD=OC=2，故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），故正方形AOBC的面積為：44=16；（2）如圖1，旋轉(zhuǎn)后可得OA′=OB=4，則A′C=4﹣4，而可知∠CA′E=90176。，∠OCB=45176。，故△A′EC是等腰直角三角形，則A′E=
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