估計有關(guān)的習(xí)題及詳解(編輯修改稿)
2025-04-20 06:59 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 甲乙兩城市進行家庭消費調(diào)查，在甲市抽取500戶，平均每戶每年消費支出3000元，標(biāo)準(zhǔn)差為元；在乙市抽取100戶，平均每戶每年支出4200元，標(biāo)準(zhǔn)差為元，設(shè)兩城市家庭消費支出均服從正態(tài)分布和，試求：（1）甲乙兩城市家庭平均每戶年消費支出間差異的置信區(qū)間（）；（2）甲乙兩城市家庭平均每戶消費支出方差比的置信區(qū)間（）.【解】（1）在本題中雖和均未知，但由于抽取樣本都很大（在使用中只要大于50即可），故可用統(tǒng)計量，即參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間為，故由，，以及即，查表可得，因此，由于此置信區(qū)間的上限小于零，在實際問題中可認(rèn)為乙市家庭平均每戶年消費支出要比甲市大.（2）由，，即，查表可得： ， ，且于是所求的置信區(qū)間為由于置信區(qū)間上限小于1，故可認(rèn)為乙市家庭平均每戶年消費支出的方差要比甲市大.【】某商店銷售的一種商品來自甲乙兩個廠家，為考察商品性能上的差異，現(xiàn)從甲乙兩個廠家生產(chǎn)產(chǎn)品中分別抽取了8見和9件產(chǎn)品，測其性能指標(biāo)得到兩組樣本觀測值，經(jīng)計算得，，假設(shè)性能指標(biāo)均服從正態(tài)分布，試求方差比及均值差的的置信區(qū)間.【解】（1），查分布表可得，故所求置信區(qū)間為.由于此區(qū)間包含1，故可認(rèn)為.（3）由（1）可知，未知，但，因此的置信區(qū)間為即，其中，即兩個廠家生產(chǎn)的產(chǎn)品性能上無顯著性差異.167。歷年考研真題評析【】 設(shè)總體的概率密度為，而是來自總體的簡單隨機樣本，則未知參數(shù)的矩估計量為_________.【分析】由于，因此，的矩估計量為. 【】設(shè)總體服從正態(tài)分布，總體服從正態(tài)分布，和 分別是來自總體和 的簡單隨機樣本，則__________. 【分析】由于； .因此， 原式.【】設(shè)總體的概率密度為其中是未知參數(shù)，是來自總體的一個容量為的簡單隨機樣本，分別用矩估計法和極大似然估計法求的估計值.【解】總體的數(shù)學(xué)期望為令，得參數(shù)的矩估計量為.設(shè)是相應(yīng)于樣本的一組觀測值，則似然函數(shù)為當(dāng)時，且 令，得的極大似然估計值為 .從而的極大似然估計量為.【】設(shè)總體的概率密度函數(shù)為，是取自總體的簡單隨機樣本. （1）求的矩估計量； （2）求的方差.【解】（1）記，令，得的矩估計量.（2）由于因此的方差為 .【】設(shè)某種元件的使用壽命的概率密度函數(shù)為，其中為未知參數(shù)，又設(shè)是的一組樣本觀測值，求參數(shù)的最大似然估計值.【解】似然函數(shù)為 當(dāng)時，取對數(shù)，得 因為，所以單調(diào)增加.由于必須滿足，因此當(dāng)取中的最小值時，取最大值，所以的最大似然估計值為，最大似然估計量為.【】 設(shè)總體的分布函數(shù)為，其中未知參數(shù)，為來自總體的簡單隨機樣本，求（1）的矩估計量；（2）的極大似然估計量.【解】的概率密度函數(shù)為（1）由于令，解得，故參數(shù)的矩估計量為.（2）似然函數(shù)為當(dāng)時，取對數(shù)得，兩邊對求導(dǎo)，得，令，可得，故的極大似然估計量為.【】設(shè)總體的概率密度為，其中是未知參數(shù)，為來自總體的簡單隨機樣本，記為樣本值 中小于1的個數(shù)，求的最大似然估計. 【解】 由題意，設(shè)樣本按照從小到大為序（即順序統(tǒng)計量的觀測值）有如下關(guān)系：似然函數(shù)為對似然函數(shù)非零部分取對數(shù)得到 ，從而，即的最大似然估計值為.【評注】本題著重考察了最大似然估計的概念和求似然估計的基本方法，本題的難點是“為樣本值 中小于1的個數(shù)”的理解.【】設(shè)總體的概率密度為，其中參數(shù)未知，是來自總體的簡單隨機樣本（1）求參數(shù)的矩估計量；（2）求參數(shù)的最大似然估計量.【解】（1）由題意，從而為總體的矩估計量.（2）構(gòu)造似然函數(shù).取對數(shù).令，有，故的最大似然估計值為故其最大似然估計量為.【】設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為，其中參數(shù)，設(shè)為來自總體的簡單隨機樣本.（1）當(dāng)時，求未知參數(shù)的矩估計量；（2）當(dāng)時，求未知參數(shù)的最大似然估計量；（3）當(dāng)時，求未知參數(shù)的最大似然估計量.【解】當(dāng)時，的概率密度為（1）由于令，解得從而得未知參數(shù)的矩估計量為.（2）對于總體的樣本值，似然函數(shù)為 當(dāng)時，取對數(shù)得對求導(dǎo)數(shù)，得似然方程 解得 ，于是的最大似然估計量為.（3）當(dāng)時，的概率密度為對于總體的樣本值，似然函數(shù)為當(dāng)時，越大，越大，即的最大似然估計值為.于是的最大似然估計量為.【】設(shè)總體的概率密度函數(shù)為，記.（1）求總體的分布函數(shù)；（2）求統(tǒng)計量的分布函數(shù)；（3）如果用作為的估計量，討論它是否具有無偏性.【解】（1）（2） （3）概率密度為 因為 所以作為的估計量不具有無偏性.1【】設(shè)總體的概率密度為，其中是未知參數(shù)，為來自總體的簡單隨機樣本，是樣本均值.（1）求參數(shù)的矩估計量；（2）判斷是否為的無偏估計量，并說明理由. 【解】（1） .令，其中，解方程得的矩估計量為:.(2) 而 .故所以不是的無偏估計量.1【（3）.11】設(shè)是總體的簡單隨機樣本，記，,(1) 證是的無偏估計量；(2) 當(dāng)時，求.【分析】（1）要證；（2）求時，利用與獨立性.【解】（1） 所以是的無偏估計量.（2）當(dāng)時， .【評注】若，則.1
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