[計算機軟件及應(yīng)用]dsp-第6章ii(編輯修改稿)
2025-03-19 16:14 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 字濾波器的頻率響應(yīng)終 止于折迭頻率處 ， 所以雙線性變換不存在混迭效應(yīng) 。 ??????????zzTssTsTz)/()/(???????通常取 C=2/T， 33 現(xiàn)在我們看看 ， 這一變換是否符合我們一開始提出的由模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器時 ， 從 S平面到 Z平面映射變換的二個基本要求： ① 當 時 ， （ 1） 式 ， 得： ?jez ????????????????jjtgTeeTs jj????22112對單位圓 ,即 S平面的虛軸映射到 Z平面正好是單位圓。 0??34 ② 代入（ 2）式 ??? js ?2222221221||,221221?????? ??????????????? ?????????????????????????????TTTTzTjTTjTz????1||,0。1||,0 ???? zz 時時 ??35 即 s左半平面映射在單位圓內(nèi) ， s右半平面映射在單位圓外 ， 因此穩(wěn)定的模擬濾波器通過雙線性變換后 ， 所得到的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的 。 如圖 1。 圖 雙線性變換的頻率非線性關(guān)系 36 1) 與脈沖響應(yīng)不變法相比 ， 雙線性變換的主要優(yōu)點：S平 面與 Z平面是單值的一一對應(yīng)關(guān)系 （ 靠頻率的嚴重非線性關(guān)系得到的 ） ， 即整個 jΩ 軸單值的對應(yīng)于單位圓一周 ， 關(guān)系式 可見 ， ω 和 Ω 為非線性關(guān)系 。 ???????? 22 ?tgT37 說明： s平面上 Ω 與 z平面的 ω成非線性正切關(guān)系，當 ω增加時， Ω增加得很快，當 ω 趨于 π 時， Ω趨于 ∞ ，由于這種非線性關(guān)系，消除了頻率混疊現(xiàn)象。 代價： 影響數(shù)字濾波器頻響逼真模擬濾波器的頻響的逼真度，存在幅度失真和相位失真。 38 2) Ω 與 ω 成非線性關(guān)系 ， 會導致： a. 數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對于模擬濾波器的幅頻響應(yīng)有畸變 ， (使數(shù)字濾波器與模擬濾波器在響應(yīng)與頻率的對應(yīng)關(guān)系上發(fā)生畸變 )。 例如 ， 一個模擬微分器 ， 它的幅 度與頻率是直線關(guān)系 ， 但通過雙線性變換后 ， bk t gjHeHbkjHtgj ?????????? 2)()()(2???39 b. 線性相位模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后，得到的數(shù)字濾波器為非線性相位。 ，故雙線性變換只能用于設(shè)計低通、高通、帶通、帶阻等選頻濾波器 40 41 雖然雙線性變換有這樣的缺點，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一種設(shè)計工具。這是因為大多數(shù)濾波器都具有分段常數(shù)的頻響特性，如低通、高通、帶通和帶阻等，它們在通帶內(nèi)要求逼近一個衰減為零的常數(shù)特性，在阻帶部分要求逼近一個衰減為 ∞ 的常數(shù)特性，這種特性的濾波器通過雙線性變換后，雖然頻率發(fā)生了非線性變化，但其幅頻特性仍保持分段常數(shù)的特性。 42 例如，一個考爾型的模擬濾波器 Ha(s)，雙線性變換后，得到的 H(z)在通帶與阻帶內(nèi)都仍保持與原模擬濾波器相同的等起伏特性，只是通帶截止頻率、過渡帶的邊緣頻率，以及起伏的峰點、谷點頻率等臨界頻率點發(fā)生了非線性變化，即畸變。這種頻率點的畸變可以通過 預畸 來加以校正。 43 五、雙線性變換法的預畸變 ?對邊緣臨界頻率點產(chǎn)生的畸變，可通過頻率的預畸變加以校正。 ?例：數(shù)字低通濾波器的兩個截止頻率： ωp 和 ωs ，如果按照線性變換所對應(yīng)的模擬濾波器的截止頻率分別為： ?再利用非線性的頻率變換公式，得到的數(shù)字濾波器的截止頻率就不等于原來的頻率 。 ?解決方法：數(shù)字頻率轉(zhuǎn)換成模擬頻率時，先進行預畸變的處理： Ωp＝ ωp /T Ωs＝ ωs /T 21121t a n2jjejTeT???????????44 雙線性變換時頻率的預畸 45 計算 H(Z) 雙線性變換比脈沖響應(yīng)法的設(shè)計計算更直接和簡單 。 由于 s與 z之間的簡單代數(shù)關(guān)系 ， 所以從模擬傳遞函數(shù)可直接通過代數(shù)置換得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù) 。 ??????????????????? 11112 112)()(11zzTHsHzH azzTsa??????????? 22)()(22??? tgTjHjHeH atgTaj置換過程 : 頻響： 46 這些都比脈沖響應(yīng)不變法的部分分式分解便捷得多，一般，當著眼于濾波器的時域瞬態(tài)響應(yīng)時，采用脈沖響應(yīng)不變法較好，而其他情況下，對于 IIR的設(shè)計，大多采用雙線性變換。 47 對于采樣間隔 T的選擇： Ts???脈沖響應(yīng)不變法： 雙線性變換法： T可任意取。 48 例 1 設(shè)采樣周期 ,設(shè)計一個三階巴特沃茲 LP濾波器 ,其 3dB截止頻率 fc=1khz。 分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法求解 。 解： a. 脈沖響應(yīng)不變法 由于脈沖響不變法的頻率關(guān)系是線性的 ， 所以可直接按Ωc =2πfc設(shè)計 Ha(s)。 根據(jù)上節(jié)的討論 ， 以截止頻率 Ωc 歸一化的三階巴特沃茲 濾波器的傳遞函數(shù)為： 以 代替其歸一化頻率 ， 得： 322211)(ssssHa ????32 )/()/(2)/(211)(ccca ssssH ???????cs ?/)4(250 k h zfsT s ?? ?49 為進行脈沖響應(yīng)不變法變換，計算 Ha(S)分母多項式的根，將上式寫成部分分式結(jié)構(gòu)： 對照前面學過的脈沖響應(yīng)不變法中的部分分式形式 有 將上式部分系數(shù)代入數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)： 2/)31(3/2/)31(3/)( 6/6/jcsecjcseccscsHa jj???????????????? ? ??6/211 3/。, ?jcc ecAsA ????????2/)31(,3/。2/)31( 36/32 jsecAjs cjc ??????????? ? ??????NiTSiZeAZHi111)(50 并將 代入 ， 得： 合并上式后兩項 ， 并將
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