[計(jì)算機(jī)軟件及應(yīng)用]dsp-第6章ii(編輯修改稿)
2025-03-19 16:14 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 字濾波器的頻率響應(yīng)終 止于折迭頻率處 ， 所以雙線性變換不存在混迭效應(yīng) 。 ??????????zzTssTsTz)/()/(???????通常取 C=2/T， 33 現(xiàn)在我們看看 ， 這一變換是否符合我們一開始提出的由模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí) ， 從 S平面到 Z平面映射變換的二個(gè)基本要求： ① 當(dāng) 時(shí) ， （ 1） 式 ， 得： ?jez ????????????????jjtgTeeTs jj????22112對(duì)單位圓 ,即 S平面的虛軸映射到 Z平面正好是單位圓。 0??34 ② 代入（ 2）式 ??? js ?2222221221||,221221?????? ??????????????? ?????????????????????????????TTTTzTjTTjTz????1||,0。1||,0 ???? zz 時(shí)時(shí) ??35 即 s左半平面映射在單位圓內(nèi) ， s右半平面映射在單位圓外 ， 因此穩(wěn)定的模擬濾波器通過雙線性變換后 ， 所得到的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的 。 如圖 1。 圖 雙線性變換的頻率非線性關(guān)系 36 1) 與脈沖響應(yīng)不變法相比 ， 雙線性變換的主要優(yōu)點(diǎn)：S平 面與 Z平面是單值的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 （ 靠頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系得到的 ） ， 即整個(gè) jΩ 軸單值的對(duì)應(yīng)于單位圓一周 ， 關(guān)系式 可見 ， ω 和 Ω 為非線性關(guān)系 。 ???????? 22 ?tgT37 說明： s平面上 Ω 與 z平面的 ω成非線性正切關(guān)系，當(dāng) ω增加時(shí)， Ω增加得很快，當(dāng) ω 趨于 π 時(shí)， Ω趨于 ∞ ，由于這種非線性關(guān)系，消除了頻率混疊現(xiàn)象。 代價(jià)： 影響數(shù)字濾波器頻響逼真模擬濾波器的頻響的逼真度，存在幅度失真和相位失真。 38 2) Ω 與 ω 成非線性關(guān)系 ， 會(huì)導(dǎo)致： a. 數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對(duì)于模擬濾波器的幅頻響應(yīng)有畸變 ， (使數(shù)字濾波器與模擬濾波器在響應(yīng)與頻率的對(duì)應(yīng)關(guān)系上發(fā)生畸變 )。 例如 ， 一個(gè)模擬微分器 ， 它的幅 度與頻率是直線關(guān)系 ， 但通過雙線性變換后 ， bk t gjHeHbkjHtgj ?????????? 2)()()(2???39 b. 線性相位模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后，得到的數(shù)字濾波器為非線性相位。 ，故雙線性變換只能用于設(shè)計(jì)低通、高通、帶通、帶阻等選頻濾波器 40 41 雖然雙線性變換有這樣的缺點(diǎn)，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一種設(shè)計(jì)工具。這是因?yàn)榇蠖鄶?shù)濾波器都具有分段常數(shù)的頻響特性，如低通、高通、帶通和帶阻等，它們?cè)谕◣?nèi)要求逼近一個(gè)衰減為零的常數(shù)特性，在阻帶部分要求逼近一個(gè)衰減為 ∞ 的常數(shù)特性，這種特性的濾波器通過雙線性變換后，雖然頻率發(fā)生了非線性變化，但其幅頻特性仍保持分段常數(shù)的特性。 42 例如，一個(gè)考爾型的模擬濾波器 Ha(s)，雙線性變換后，得到的 H(z)在通帶與阻帶內(nèi)都仍保持與原模擬濾波器相同的等起伏特性，只是通帶截止頻率、過渡帶的邊緣頻率，以及起伏的峰點(diǎn)、谷點(diǎn)頻率等臨界頻率點(diǎn)發(fā)生了非線性變化，即畸變。這種頻率點(diǎn)的畸變可以通過 預(yù)畸 來加以校正。 43 五、雙線性變換法的預(yù)畸變 ?對(duì)邊緣臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生的畸變，可通過頻率的預(yù)畸變加以校正。 ?例：數(shù)字低通濾波器的兩個(gè)截止頻率： ωp 和 ωs ，如果按照線性變換所對(duì)應(yīng)的模擬濾波器的截止頻率分別為： ?再利用非線性的頻率變換公式，得到的數(shù)字濾波器的截止頻率就不等于原來的頻率 。 ?解決方法：數(shù)字頻率轉(zhuǎn)換成模擬頻率時(shí)，先進(jìn)行預(yù)畸變的處理： Ωp＝ ωp /T Ωs＝ ωs /T 21121t a n2jjejTeT???????????44 雙線性變換時(shí)頻率的預(yù)畸 45 計(jì)算 H(Z) 雙線性變換比脈沖響應(yīng)法的設(shè)計(jì)計(jì)算更直接和簡單 。 由于 s與 z之間的簡單代數(shù)關(guān)系 ， 所以從模擬傳遞函數(shù)可直接通過代數(shù)置換得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù) 。 ??????????????????? 11112 112)()(11zzTHsHzH azzTsa??????????? 22)()(22??? tgTjHjHeH atgTaj置換過程 : 頻響： 46 這些都比脈沖響應(yīng)不變法的部分分式分解便捷得多，一般，當(dāng)著眼于濾波器的時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法較好，而其他情況下，對(duì)于 IIR的設(shè)計(jì)，大多采用雙線性變換。 47 對(duì)于采樣間隔 T的選擇： Ts???脈沖響應(yīng)不變法： 雙線性變換法： T可任意取。 48 例 1 設(shè)采樣周期 ,設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴特沃茲 LP濾波器 ,其 3dB截止頻率 fc=1khz。 分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法求解 。 解： a. 脈沖響應(yīng)不變法 由于脈沖響不變法的頻率關(guān)系是線性的 ， 所以可直接按Ωc =2πfc設(shè)計(jì) Ha(s)。 根據(jù)上節(jié)的討論 ， 以截止頻率 Ωc 歸一化的三階巴特沃茲 濾波器的傳遞函數(shù)為： 以 代替其歸一化頻率 ， 得： 322211)(ssssHa ????32 )/()/(2)/(211)(ccca ssssH ???????cs ?/)4(250 k h zfsT s ?? ?49 為進(jìn)行脈沖響應(yīng)不變法變換，計(jì)算 Ha(S)分母多項(xiàng)式的根，將上式寫成部分分式結(jié)構(gòu)： 對(duì)照前面學(xué)過的脈沖響應(yīng)不變法中的部分分式形式 有 將上式部分系數(shù)代入數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)： 2/)31(3/2/)31(3/)( 6/6/jcsecjcseccscsHa jj???????????????? ? ??6/211 3/。, ?jcc ecAsA ????????2/)31(,3/。2/)31( 36/32 jsecAjs cjc ??????????? ? ??????NiTSiZeAZHi111)(50 并將 代入 ， 得： 合并上式后兩項(xiàng) ， 并將
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