[計算機硬件及網(wǎng)絡(luò)]數(shù)值分析教程(編輯修改稿)
2025-02-17 21:56 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 x .a aaa.a??????? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??1110)1(2 1* ????? nr aε已知 x* 的 相對誤差限 可寫為 則 可見 x* 至少有 n 位 有效數(shù)字。 計算方法 計算方法 要取幾位有效數(shù)字。的相對誤差，的近似值有小于要使 %解： 111021 ???? nr a?4, 1 ??? a??11114211021 ?????? ??????? nnnra?.%,4 31 ????? ??? nrn ?則故取例 有效數(shù)字 計算方法 計算方法 求函數(shù)值和算術(shù)運算的誤差估計 的近似值為，設(shè)多元函數(shù)nnnxxxxxxxxxfA,,),(212121???????，的近似值則 ),(: 21 ????? ? nxxxfAAA ?初始數(shù)據(jù) 引起計算函數(shù)值的誤差 ??? nxxx , 21 ?函數(shù)值 A*的絕對誤差 11( ( , , ), , ) nnA A f f x xxx? ? ?? ? ?考 察,),( 21 展開式的在點 T a y l o rxxxx n?? ( 1 , 2 , , )iix x i n???設(shè) 都 很 ??；或 )()()(1jnj jxex xfAe ?? ??? .)()()(1jnj jxex xfAe ?? ???略去高階項： 11( ( , , ), , ) nnA A f f x xxx? ? ?? ? ?1() ()njjj jfx xxx???????計算方法 計算方法 :*2*1*2*1）則（及）（，其絕對誤差限分別為與若兩個近似數(shù)xxxx??）（）（）（）（）（ ********** 1221122121 xxxxxexxexxxe ?? ????./ ******** ）（）（）（）（ 0222122121 ??? xxxexxexxxe）（）（）（）（）（ ****** 212121 xxxexexxe ?? ?????）（）（）（）（）（ ************ /122221221221211 xxxxxxxexxexxxe ?? ????計算方法 計算方法 :,*2*1*2*1則）（）及（為，其相對誤差限分別與若兩個近似數(shù)xxxxrr ??*2*1*2*2*1*1*2*1)()(xxxxxxxx rrr??????? ）（)}(),(m a x {::*2*1*2*1*2*1xxxxxxrrr ??? ?? ）（同號時與特別地）（）（）（ *2*1*2*1 xxxx rrr ??? ??）（）（）（ **** / 2121 xxxx rrr ??? ??基本運算中的誤差估計 計算方法 計算方法 例 假定某長方形運動場的長為 x， 寬為 y， 并實地測得其長x*= ， 寬 y*= ， 若 x*和 y*的誤差限都是 米 ， 試求其面積 s的近似值 s*的誤差限和相對誤差限 。 由兩個數(shù)的積的相對誤差限估計式得 ,xys ? , 米?? ?xx ?? ?yy)()()()( ??????? ??? yxxyyxs ????9 0 4 0 0 0 0 ?????)()()()( ????? ??? yxyxs rrrr ???? ???解 據(jù)題意 ， 由兩個數(shù)的積的誤差限估計式得 計算方法 計算方法 例 在計算球的體積時 ， 為了使相對誤差限為 1%， 問測量半徑 r時允許的相對誤差限為多少 ？ 從而有 334)( rrfv ???v ?v r ?r)()( )())( ???? ?? rrfrfvr ??%1)(3 ?? ?rr?3001)( ??rr?解 計算球的體積公式為 設(shè)體積 的近似值為 ， 半徑 的近似值為 ， 則 得到相對誤差限估計式為 這說明 ， 測量半徑 r時允許的相對誤差限為 1/300。 計算方法 計算方法 167。 3 病態(tài)問題、數(shù)值穩(wěn)定性與避免誤差危害 問題 ：對于 y = f (x)，若用 x* 取代 x，將對 y 產(chǎn)生什么影響？ 病態(tài)問題與條件數(shù) ( ) ( ) ( * )| ( ) |( * ) ( * )re y f x f xeyf x f x???( ) ( * ) ** ( )( ) * ( )()( ) ( )rf x f x x x xx x f x xx f x x x x f xexf x x f x??? ? ????? ? ?? ? ? ?條件數(shù) /* condition number*/ 條件數(shù)很大時，初始數(shù)據(jù)的微小誤差可能引起結(jié)果 A 的很大誤差 . 計算方法 計算方法 對數(shù)學問題而言，如果輸入數(shù)據(jù)有微小擾動，引起輸出數(shù)據(jù)（即數(shù)學問題的解）有很大擾動，則稱數(shù)學問題是 病態(tài)問題 ，否則稱為 良態(tài)問題 。 28)33(,|333100||| ????? fx 變化不大?2 100( ) 1 1 5 03f x x x x? ? ? ?求 在例 ： 處 的 值1 0 0 5 0( ) 5 . 639f ? ? ? ?解 ：
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