【文章內(nèi)容簡介】 。? 因為編碼方法同時涉及 碼字集合 和 映射方法 兩個因素，雖然碼集一樣而映射方法不同也不能說是同樣的碼。生成矩陣的系統(tǒng)形式? (n,k)碼的任何生成矩陣都可以通過行運算 (以及列置換 )簡化成所謂的 “系統(tǒng)形式 ”。? Gkn=[IkP]=? Ik是 kk單位矩陣 ， P是 k(nk)矩陣。系統(tǒng)碼? 顯然，利用上述系統(tǒng)形式的生成矩陣獲得的輸出碼字 C=(1,2,…,c1,c0)中：? 前前 k位位 (1,…, k)=(mk1,…,m 0)是 信息位信息位 ；? 后后 nk位位 (k1,…, c0)稱為碼字的 監(jiān)督位監(jiān)督位 。? 前 k位由單位矩陣 Ik決定，等于把信息組 m原封不動搬到編碼器輸出碼字的前 k位！其余的nk位即 冗余位 或 一致校驗位 ，是前 k個信息位的線性組合。? 這樣生成的 (n,k)碼叫做 系統(tǒng)碼 。若生成矩陣 G不具備系統(tǒng)形式，則生成的碼叫做 非系統(tǒng)碼 。系統(tǒng)化? 非系統(tǒng)碼的 G可通過 系統(tǒng)化 (行初等變換 和 列置換 )轉變?yōu)橄到y(tǒng)碼的 G。? 若通過行運算和列置換能將兩個生成矩陣 G互等，則稱這兩個 G等價 。等價的兩個 G生成的兩個 (n,k)線性碼也是等價的。? 任何一個 (n,k)線性分組碼都等價于一個系統(tǒng)碼 。例：系統(tǒng)化? 例：對于生成距陣，求非系統(tǒng)碼的等價系統(tǒng)碼。 (參考教材： P250)? 方法：行初等變換、列交換。? 只要碼率 R和碼長 n相同，最佳 系統(tǒng)碼 和最佳線性分組碼 具有相同的譯碼錯誤概率。例：不同的 (6， 3)碼? 不同形式的生成矩陣 僅表示消息與碼字之間 不同的一一 映射 關系 ！? 但 2k個消息的集合卻對應著 相同的碼字空間（集合） 。? 如圖所示的 G1和 G2碼的生成矩陣，所對應的碼字如表所示。? 上表所示的碼，雖然用了不同形式的生成矩陣，但都屬于同一個 (n， k)碼的碼字空間，因此它們的 檢錯和糾錯能力是一樣的 。? 理解：? 系統(tǒng)化不改變碼集，只是改變了 映射規(guī)則 。? 系統(tǒng)碼與非系統(tǒng)碼的主要區(qū)別在于選擇了不同的基底向量、即：生成矩陣。系統(tǒng)碼與非系統(tǒng)碼的區(qū)別? 系統(tǒng)碼的編碼器僅需存儲 k(nk)個碼元數(shù)字 (非系統(tǒng)碼要存儲 kn個數(shù)字 )，譯碼時僅需對前k個信息位糾錯即可恢復消息。? 由于系統(tǒng)碼的編碼和譯碼比較簡單，而性能與非系統(tǒng)碼一樣，所以系統(tǒng)碼得到了十分廣泛的應用?？臻g構成 (參見 P127)? n維 n重空間 存在 相互正交正交 的 n個 基基底底 。? 選擇 k個基底 構成碼空間 C。? 選擇另外的 (nk)個基底 構成空間 H。? GHT=0， C和 H是對偶 的！? 且： CHT＝ 0， 或? HCT=0T? CT、 0T或 HT分別為 C、 0、 H的 轉置 矩陣。 n維 n重空間 V k維 k重 k維 n重 nk維 信息組 碼空間 n重 H 空間 m C校驗矩陣? 在 n重空間中，將空間其他的 nk個基底排列起來可構成一個 (nk)n矩陣，稱為 校驗矩陣 H。? G是 (n,k)碼的生成矩陣， H是校驗矩陣。? 對一個 (n， k)線性碼 C， HGT=0T。 CT、 0T或HT分別為 C、 0、 H的轉置矩陣。對偶碼 D? 如果以 G作校驗矩陣，而以 H作生成矩陣 ，可構造另一個 碼碼 D。? 碼 D是一個 (n,nk)線性碼，稱為原碼 C的 對偶碼 。? H是 (n,nk)對偶碼的生成矩陣，它的每一行是(n,nk)碼的一個基底。 G則是它的校驗矩陣。? 線性碼的生成矩陣 G和校驗矩陣 H的行矢量彼此正交。即： GHT=0！? 由于對偶碼是原碼的生成矩陣和校驗矩陣互換后所構成的碼，所以對偶碼 D的任意碼矢與原碼 C的碼矢 彼此正交 ，碼 C生成矩陣的行矢量張成的 k維子空間和由碼 C校驗矩陣行矢量張成的 nk維子空間 互為零空間 。? 來自于 n維 n重空間：? k個基底 ←→ 另外 nk個基底 ? (n， k)碼 ←→( n， nk)碼? 碼字空間 C←→ 對偶碼、對偶空間 D?? (n， k)碼生成矩陣 G←→ (n， nk)碼校驗矩陣? (n， k)碼校驗矩陣 H←→ (n， nk)碼生成矩陣校驗矩陣的作用? (n， k)碼字空間 C與 (n， nk)碼字空間 D的基底正交，則空間正交、互為對偶空間、互為零空間。? 因此： (n， k)碼的任意 許用碼字 一定正交于對偶碼 D的任意碼字、也正交于 D的生成矩陣 H中任一基底向量，即：? C1*nHTn*(nk)=01*(nk)? 或： H(nk)*n*CTn*1=0T(nk)*1? （所以：校驗矩陣 H可以用來校驗一個接收到的碼字 R是否是 C的 許用碼字 ?。? 如前所述： 系統(tǒng)碼 的 生成矩陣 G可用分塊矩陣表示為? ?? Gkn=［ Ik P］? 式中： Ik——kk 階單位方陣； ?? P——k(nk) 階陣。 ?? 對 校驗矩陣 H各行實行初等變換，可以將后（nk） 列化為單位子陣，則：? H=［ Q|Ink］? 把變換所得的，其后 nk列是一單位子陣的校驗矩陣 H， 稱為 校驗矩陣 H的 系統(tǒng) /標準形式 。? H陣的一般形式可通過行的線性變換化成標準形式。利用標準形式的 H陣進行編、譯碼是方便的，所以 H陣的系統(tǒng)形式是一種常用形式。? H的標準形式還說明了相應的監(jiān)督碼元是由哪些信息元決定的，校驗矩陣 H(nk)*n的 nk行代表了 nk個校驗 方程方程 。也表示由 H所確定的碼的碼字有 nk個監(jiān)督碼元。? 那么為了得到確定的碼， nk個校驗方程 (或 H陣的 nk行 )必須是線性獨立的，這要求 H陣的秩為 nk。 若把 H陣化成標準形式，只要檢查單位子陣的秩，就能方便地確定 H陣本身的秩。? 前面討論了線性分組碼的生成矩陣和校驗矩陣，二者之間有無 聯(lián)系 呢？ (P128)? 回答是肯定的， (n， k)線性碼的 G和 H之間有非常密切的關系！? 由于生成矩陣 G的 每一行（基底向量）都是一個碼字 ，所以 G的每行都滿足? HCT=0T， 且 C=MG，則有： HGTMT=0T? 所以， HGT=0T或 GHT=0。 H為 (nk)n矩陣，HT為 n(nk)矩陣。? 理解：事實上， G、 H本來就是針對同一種線性約束關系而來的，當然存在本質(zhì)聯(lián)系。? 可以證明：? P=QT 或 PT=Q? 由此可得：? ? ? G=［ IkP］ =［ IkQT］ 或? H=［ QInk］ =［ PTInk］? 上式：可以用來方便地在 系統(tǒng)碼系統(tǒng)碼 的 G、 H之間相互直接轉換。? 例如，已知 (7， 4)線性 系統(tǒng)碼 的校驗矩陣為? 可直接寫出它的生成矩陣為? 同理， (7,4)線性碼的對偶碼是 (7,3)碼，那么(7,3)碼的校驗矩陣 H(7， 3)是 (7,4)碼的生成矩陣G(7,4)， 即而 (7， 3)碼的生成矩陣 G(7， 3)是 (7， 4)碼的校驗矩陣H(7， 4)， 即初等交換 化成標準形式 例 :二元線性分組碼編碼器? 例 62(P128)： (6,3)線性分組碼，其生成矩陣是? G= 求：? (1)計算碼集，列出信息組與碼字的映射關系。? (2)將該碼系統(tǒng)化處理后，計算系統(tǒng)碼碼集并列出映射關系。? (3)計算系統(tǒng)碼的校驗矩陣 H。若收碼r=[100110],檢驗它是否碼字？? (4)根據(jù)系統(tǒng)碼 生成矩陣 畫出編碼器電原理圖。1 1 1 0 1 0 ①1 1 0 0 0 1 ②0 1 1 1 0 1 ③信息 碼字 系統(tǒng)碼字000 000000 000000001 011101 001011010 110001 010110011 101100 011101100 111010 100111101 100111 101100110 001011 110001111 010110 111010 m0 m1 m2 輸入 輸出??? c0 c1 c2例 :(7,3)線性分組碼? 下面利用 校驗矩陣 來構造 (7， 3)線性分組碼的編碼 電路。設二元碼字矢量為C=(c6,c5,c4,c3,c2,c1,c0)， 而碼的校驗矩陣為由 HCT=0T得：c3=c6+c4c2=c6+c5+c4?c1=c6+c5?c0=c5+c4? 根據(jù)上式可直接畫出 (7,3)碼的并行編碼電路和串行編碼電路，如圖 3所示。? ?? 類似地，也可以利用 生成矩陣 來 編碼 。設信息組為 M=(m2,m1,m0)， 生成矩陣為? 根據(jù) C=(c6,c5,c4,c3,c2,c1,c0)=MG， 將 M和 G代入得：? c6=m2?? c5=m1?? c4=m0?? c3=m2+m0=c6+c4?? c2=m2+m1+m0=c6+c5+c4?? c1=m2+m1=c6+c5?? c0=m1+m0=c5+c4圖 3 線性系統(tǒng)碼編碼電路(a)并行編碼電路； (b)串行編碼電路? 綜上所述，線性分組碼完全可以由生成矩陣 G或 校驗矩陣 H所決定。? 一般地，在討論 編碼編碼 時，通常采用 生成矩陣 G； 討論 譯碼譯碼 問題時，通常采用 校驗矩陣 H。 線性分組碼的譯碼? ?? 如果只考慮信道編碼，則數(shù)字通信系統(tǒng)模型可歸結成如圖 53所示。圖 53 糾錯碼通信系統(tǒng)模型? 圖 53中的信源包括信息的發(fā)出者、信源編碼器和加密器，信道包括傳輸媒介及調(diào)制解調(diào)器，信宿包括解密器、信源譯碼器及信息的接收者。設：? 發(fā)送碼字 C=(1,2,…,c0)（ 對于接收端未知），? 接收碼字 R=(rn1,rn2,…,r0)。? 譯碼器根據(jù)編碼規(guī)則和信道特性，對 接收碼字R作出判斷，此判決過程稱為 譯碼 。m C=(1,…,c 1,c0) R=(rn1,…,r 1,r0) (n,k) 信道定義 差錯圖案 E E＝ (en1,…, e1,e0)＝ RC ＝ (rn11,…, r1c1,r0c0) 二進制碼中 模 2加與模 2減是等同的 ，因此有 E = R ＋ C 及 R = C ＋ E 伴隨式 S的定義? 通常，采用生成矩陣進行編碼，采用校驗矩陣實現(xiàn)譯碼。? 當收到一個接收碼字 R后，可用校驗矩陣 H來檢驗 R是否滿足校驗方程，即 HRT=0T是否成立。? 若關系式成立，則認為 R是一個碼字，否則認為碼字在傳輸中發(fā)生了錯誤。因此， HRT的值是否為 0是檢驗碼字出錯與否的依據(jù)。伴隨式 S的定義? 設發(fā)送碼字 C= (1， 2， …， c0)， 信道的差錯圖樣為 E=(en1， en2， …， e0)。? 因為 CHT=0，所以：? RHT＝ (C＋ E)HT＝ CHT＋ EHT=EHT? 如果收碼無誤：必有? R＝ C即 E＝ 0，則 EHT=0→ RHT=0。? 如果收碼有誤：即 E?0，則? RHT=EHT?0。伴隨式 S的定義? 可見，在 HT固定的前提下， RHT僅僅與差錯圖案 E有關，而與發(fā)送碼 C無關。從物理意義上看，伴隨式 S并不反映發(fā)送的碼字是什么，而只是反映信道對碼字造成怎樣的干擾。? 所以，定義 伴隨式伴隨式 (或 監(jiān)督子 ，或 校驗子 )：? S=(snk1,…,s 1,s0)=RHT=EHT，或? ST=HRT=HET。[例 ](7,3)碼的譯碼? [例 ]設 (7， 3)碼的校驗矩陣為下所示。通過計算 (7， 3)碼接收碼字 R的伴隨式進行譯碼。?注意：二元碼伴隨式 S是 H陣中與錯誤碼元對應的 列之和列之和 。? (1) 接收碼字 R=(1010011)， 接收端譯碼器根據(jù)接收碼字 R的計算伴隨式為因此，譯碼器判斷接收字即為