畢業(yè)論文--高考線性規(guī)劃最值題型求解(編輯修改稿)
2025-02-15 05:43 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 題（常見(jiàn)的有生產(chǎn)安排問(wèn)題、混合配料問(wèn)題、配套生產(chǎn)問(wèn)題、運(yùn)輸問(wèn)題、截料問(wèn)題、投資問(wèn)題、連續(xù)加工問(wèn)題等）；（4）求由線性不等式或線性等式所圍成區(qū)域面積問(wèn)題；（5）判斷可行域等.(1）線性規(guī)劃有最優(yōu)解時(shí)，可能有唯一最優(yōu)解，也可能有無(wú)窮多個(gè)最優(yōu)解，但當(dāng)最優(yōu)解不唯一時(shí)，一定有無(wú)窮多個(gè)最優(yōu)解；(2）線性規(guī)劃沒(méi)有最優(yōu)解時(shí)，也有兩種情況，一是可行域?yàn)榭占?，二是目函?shù)值無(wú)界（求最大時(shí)無(wú)上界，求最小時(shí)無(wú)下界）；(3)有界可行集必有最優(yōu)解；(4）當(dāng)線性規(guī)劃有最優(yōu)解時(shí)，一定可以在可行域的某個(gè)極點(diǎn)上取到，當(dāng)有唯一解時(shí)，其中至少有一個(gè)是可行域的一個(gè)極點(diǎn).圖解法就是通過(guò)作圖的方法求得線性規(guī)劃問(wèn)題的解，由于兩個(gè)變量只需要平面作圖，需要作三維空間立體圖，相當(dāng)麻煩，而四個(gè)或五個(gè)變量是無(wú)法直接使用圖解法的.在中學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們一直強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合，著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授說(shuō)過(guò)：“數(shù)與形，本是相倚依，怎能分作兩邊飛，數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休。”線性規(guī)劃在中學(xué)數(shù)學(xué)中是直線方程的應(yīng)用，同時(shí)也是二元一次不等式組的一個(gè)應(yīng)用，因?yàn)榫€性規(guī)劃中的圖解法充分體現(xiàn)了這些應(yīng)用.圖解法是線性規(guī)劃的幾何解法，只適用于含有兩個(gè)決策變量的線性規(guī)劃問(wèn)題，使用這種解法就是在平面直角坐標(biāo)系下畫(huà)出滿足約束條件的可行域，在該區(qū)域中找出使目標(biāo)函數(shù)最?。ù螅堑湫偷臄?shù)形結(jié)合，.max 解析：第一步：取平面直角坐標(biāo)系，如圖1．在直角坐標(biāo)系中作約束條件不等式組中取等式時(shí)的直線： 第二步：確定約束條件所圍成的平面區(qū)域，即可行域。由于符合以下條件：滿足約束條件的所有點(diǎn)都在直線的左下方的半平面內(nèi) 圖1 (只要將點(diǎn)(0,0)代入，若使得不等號(hào)成立. 則滿足不等式的點(diǎn)都與點(diǎn)（0，0）在同一側(cè)，即在直線下方，否則在相反的一側(cè))； 按同樣步驟，將點(diǎn)(0,0)代入，判斷不等式的符號(hào)是否成立可以得到滿足它們的點(diǎn)所在的半平面，同時(shí)由于，（圖中的陰影部分）就是該線性規(guī)劃的可行域.第三步：在可行域上尋找使目標(biāo)函數(shù)取得最大值的點(diǎn)，,在圖中作出該向量，同時(shí)作出的一族平行線，稱為目標(biāo)函數(shù)的等值線(與梯度向量垂直，圖中用虛線表示).問(wèn)題要求目標(biāo)函數(shù)最大值，必須在可行域內(nèi)找一點(diǎn)使最大，將目標(biāo)函數(shù)等值線沿梯度方向推至臨界，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)值最大，為14.因此，此線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解（即此目標(biāo)函數(shù)的最大值）為臨界等值線與可行域的交點(diǎn)A(4,2)，最優(yōu)解為，最優(yōu)值為14.這道題中，由于所求的是目標(biāo)函數(shù)的最大值，所以將等值線沿著梯度方向推進(jìn)臨界，但當(dāng)所求的是目標(biāo)函數(shù)的最小值時(shí)，則將等值線沿著梯度方向的負(fù)方向推進(jìn)，在臨界取得最小值．另外，利用圖解法解線性規(guī)劃時(shí)應(yīng)盡量做到精確，假若圖上的最優(yōu)點(diǎn)不易辨析，不妨將幾個(gè)極點(diǎn)（臨界點(diǎn)）的坐標(biāo)都求出來(lái)，然后逐一檢查.圖解法運(yùn)用起來(lái)十分直觀，但對(duì)作圖的要求也很嚴(yán)格，可以避開(kāi)用作出可行域的解題方法，而可借助待定系數(shù)法，.max ．解析：不妨假設(shè)，得所以 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)成立.也即，此線性規(guī)劃的最優(yōu)解為，最大值為10.待定系數(shù)法將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，而圖解法將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，兩者靈活互用，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合.(具體問(wèn)題具體分析)線性規(guī)劃問(wèn)題經(jīng)過(guò)幾年的探索,逐漸從簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃求最值問(wèn)題向綜合性問(wèn)題轉(zhuǎn)變,是近幾年高考必考內(nèi)容之一.線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，題型以容易題、中檔題為主，考查平面區(qū)域的面積、最優(yōu)解的問(wèn)題. 選擇題（1）（2004年浙江）設(shè),其中變量x和y滿足條件, 則z的最小值為（ ）. （A）1． （B）1. （C）3. （D）3.解析：設(shè) .∵，得又∵ 即 . ∴,即z的最小值為1，故選A.（2）（2006年天津）設(shè)變量x，y滿足約
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