點共圓問題與clifford鏈定理北京師范大學張英伯(編輯修改稿)
2025-02-14 18:17 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 掉其中的任意一條，所得到的四條直線確定一個 Cliford 點。 ?根據(jù)引理 ，我們可以從 n=5 時的特征常數(shù)得到 n=4 時的特征常數(shù)，比如去掉第 條直線，得方程： .5,4,3,2,1?i?1433213221)()(0)()(staataastaataax?????????????因為 是一個變元的初等對稱多項式， ?分別導出了兩個變元的初等對稱多項式 和 ?上述方程變?yōu)椋? ? 根據(jù)引理 ，第二個方程是自共軛的，保證了 t 在單位圓上。 1s?? tsts 11 ,?1s2s241320 sasaa ???23121 sasaax ????從方程組中消去 ，并用 t 代替 ，或考察以 和 （以 t 代之）為未知數(shù)的線性方程組， Cramer 法則給出 x 和 t 應該滿足的關(guān)系： ?或 ?這就是 五條直線的 Clifford 圓 。 ttt ?1 tt11 2 2 32 3 3 4a x a a ata a a a??tt ?1 tt1六、 Clifford 鏈定理 ?定理 . 2p 條直線的 Clifford 點由下述行列式給出： ?而 2p+1 條直線的 Clifford 圓由下述方程確定： 122 3 11 2 10ppp p pa x a aa a aa a a?????1 2 2 3 12 3 1 3 4 21 2 1 1 2 2ppp p p p p pa x a a a a aa a a a a ata a a a a a???? ? ? ????證明 ： 設 p=1 在 2x1 時得到兩條直線的交點： ?設 P=2 ， 是一個變元的初等對稱多項式。在 2x21 時得到三條直線的 Clifford 圓滿足的方程： ?在 2x2 的情況得到四條直線的 Clifford 點滿足的方程 ?設 p=3, 是兩個變元的初等對稱多項式。在2x31 時得到五條直線的 Clifford 圓方程： 1ax ?24132231210 sasaasasaax??????121 saax ??1321210 saasaax????1s 2s1s?現(xiàn)在設 2p1條直線的 Clifford 圓滿足的方程是： ?其中 是 p1個變元的初等對稱多項式。 則該假設當 p=2， p=3 時都是正確的 。我們來計算 2p 條直線的情況。 12211111113211121)1(0)1(0)1(????????????????????????pppppppppppsasaasasaasasaax????????????121 , ?psss ???根據(jù)引理 , 關(guān)于 2p1 條直線的特征常數(shù)可以用關(guān)于 2p 條直線的特征常數(shù)去掉某條直線，例如第 條表示出來： ?11222111112111433211113221)()1()()(0)()1()()(0)()1()()(?????????????????????????????????????ppppppppppppppppstaastaataastaastaataastaastaataax??????????????????????由于 的任意性，考察下述 p 個方程： ?其中第 1+i 與第 pi+1 個方程是共軛的。為方便起見，我們僅驗證第 2 與第 p 個方程的共軛性。 ?t11211112211111113211121)1(0)1(0)1(0)1(?????????????????????????????????ppppppppppppppppsasaasasaasasaasasaax???????????????記 是關(guān)于模為 1 的復數(shù) ? 的初等對稱多項式。則 ?根據(jù)引理 , 第二個方程的共軛方程為 ?將兩端同乘以 ，根據(jù)引理 得： 221 , ?puuu ??221 , ?pttt ??tuus iii 1???)()1()()1()()1()1(03214312122121121212212tuuatuuatuaasasasaapppppppppppppppppp??????????????????????????????????2?pu ?將第二個方程的兩端同乘以 ，并顛倒次序，我們有方程： ?易見這兩個方程共軛， 故 ， 在單位圓上。 ?將 2p 是的方程消去 ，即得所求公式，定理的第一部分證畢。 tatuatuuaua ppppppppp 11122322212 )1()1()1()(0 ???????? ???????? ?1)1( ?? pppppppppp atuatuuatua 11123222212 )1()()1()(0 ???????? ???????? ?1?tt t121 , ?psss ??? 我們來考察 2p+1 的情況。根據(jù)引理 , 2p 條直線的特征常數(shù)可以通過 2p+1 條直線的特征常數(shù)表示出來。故 2p 條直線的 Clifford 點滿足的方程誘導出下述 p 個方程： 12121121111222111112111433211113221)()1()()(0)()1()()(0)()1()()(0)()1()()(???????????????????????????????????????????????????pppppppppppppppp
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