【文章內(nèi)容簡介】 近原信號(hào)，但存在低尺度能量搬移到了高尺度的現(xiàn)象，從而容易出現(xiàn)一些人工效應(yīng)，如一維信號(hào)會(huì)在高頻出現(xiàn)振蕩?；谏鲜鰡栴}, 2005年1月Cand232。s和Romberg提出了不同的信號(hào)恢復(fù)方法，該方法要求對(duì)原信號(hào)具有少量的先驗(yàn)知識(shí)，同時(shí)也可以對(duì)所求結(jié)果施加適當(dāng)?shù)钠谕匦?，以約束重構(gòu)信號(hào)的特性。通過在凸集上交替投影(Projections ontoConvexSets)的方法，可以快速求解線性規(guī)劃問題。Tropp和Gilbert提出利用匹配追蹤(MP)和正交匹配追蹤(OMP)算法來求解優(yōu)化問題重構(gòu)信號(hào)，大大提高了計(jì)算的速度，且易于實(shí)現(xiàn)。樹形匹配追蹤(TMP)算法是2005年La和N Do提出的。該方法針對(duì)BP、MP和OMP方法沒有考慮信號(hào)的多尺度分解時(shí)稀疏信號(hào)在各子帶位置的關(guān)系，將稀疏系數(shù)的樹型結(jié)構(gòu)加以利用，進(jìn)一步提升了重構(gòu)信號(hào)的精度和求解的速度。匹配追蹤類算法都是基于貪婪迭代算法，以多于BP算法需要的采樣數(shù)目換取計(jì)算復(fù)雜度的降低。例如OMP算法，需要M≥cK，c≈2ln(N)個(gè)采樣點(diǎn)數(shù)才能以較高的概率恢復(fù)信號(hào)，信號(hào)重構(gòu)的計(jì)算復(fù)雜度為O(NK2)。2006年Donoho等人提出了分段正交匹配追蹤(StOMP，stagewiseOMP)算法。它將OMP進(jìn)行一定程度的簡化，以逼近精度為代價(jià)進(jìn)一步提高了計(jì)算速度(計(jì)算復(fù)雜度為O(N))，更加適合于求解大規(guī)模問題。Hale, Yin基于分裂( OperatorSplitting) 算子和同倫算子( Homotopy Algorithms)，提出了求解最小1范數(shù)大規(guī)模問題的方法，適用于求解糾錯(cuò)編碼、磁共振成像、NMR波譜研究等領(lǐng)域的大規(guī)模問題。在上述各種方法中，觀測(cè)矩陣中的所有值都非零，這樣信號(hào)采樣過程的計(jì)算量是O(MN)，在大規(guī)模的數(shù)據(jù)面前，這個(gè)量級(jí)還是非常大的。因此一類利用稀疏矩陣作為觀測(cè)矩陣進(jìn)行采樣的方法出現(xiàn)了。Cormode等人，提出利用分組測(cè)試和隨機(jī)子集選取來估計(jì)稀疏信號(hào)的非零系數(shù)的位置和取值，該方法需要的采樣數(shù)為M=O(Klog2N)，信號(hào)重構(gòu)的計(jì)算復(fù)雜度為O(Klog2N)，得到重構(gòu)信號(hào)的速度更快。Gilbert等人在2006年4月提出了鏈?zhǔn)阶粉?CP,Chaining Pursuit )方法來恢復(fù)可壓縮信號(hào)。 利用O(Klog2N)個(gè)采樣觀測(cè)重構(gòu)信號(hào)，需要計(jì)算量為O(Klog2Nlog2K)，該方法對(duì)特別稀疏信號(hào)的恢復(fù)計(jì)算性能較高，但當(dāng)信號(hào)的稀疏度減少，需要的采樣點(diǎn)數(shù)會(huì)迅速增加，甚至超過信號(hào)本身的長度，這就失去了壓縮采樣的意義。總之，目前為止出現(xiàn)的重構(gòu)算法都可歸入以下三大類：1) 貪婪追蹤算法：這類方法是通過每次迭代時(shí)選擇一個(gè)局部最優(yōu)解來逐步逼近原始信號(hào)。這些算法包括MP算法，OMP算法，分段OMP算法( StOMP)和正則化OMP(ROMP)算法。2) 凸松弛法：這類方法通過將非凸問題轉(zhuǎn)化為凸問題求解找到信號(hào)的逼近，如BP算法，內(nèi)點(diǎn)法，梯度投影方法和迭代閾值法。3) 組合算法：這類方法要求信號(hào)的采樣支持通過分組測(cè)試快速重建，如傅立葉采樣，鏈?zhǔn)阶粉櫤虷HS(HeavgHitters onSteroids)追蹤等?？梢钥闯?，每種算法都有其固有的缺點(diǎn)。凸松弛法重構(gòu)信號(hào)所需的觀測(cè)次數(shù)最少，但往往計(jì)算負(fù)擔(dān)很重。貪婪追蹤算法在運(yùn)行時(shí)間和采樣效率上都位于另兩類算法之間。由上面的分析可知，重構(gòu)算法和所需的觀測(cè)次數(shù)密切相關(guān)。當(dāng)前，壓縮感知理論的信號(hào)重構(gòu)問題的研究主要集中在如何構(gòu)造穩(wěn)定的、計(jì)算復(fù)雜度較低的、對(duì)觀測(cè)數(shù)量要求較少的重構(gòu)算法來精確地恢復(fù)原信號(hào)。 MMVSBL圖像重建算法根據(jù)上一節(jié)介紹的壓縮感知理論，將一幅NN自然圖像表示成X（實(shí)際上圖像的行數(shù)和列數(shù)不需要相等，這里只是為了表述上的方便），其對(duì)應(yīng)的NN加權(quán)系數(shù)矩陣為S，MN噪聲矩陣為E，MN觀測(cè)矩陣為Y，則對(duì)于圖像信號(hào)式可以寫為下式。 (1)其中S=[||…|]，Y= [||…| ]，E=[ε1|ε2|…|εN]。為了表述方便， 。Y中的每一列對(duì)應(yīng)一個(gè)一維的觀測(cè)向量，因此上式是一個(gè)多觀測(cè)向量模型，其與單觀測(cè)向量式對(duì)應(yīng)的形式可以寫成下式。 (2)在以前的壓縮感知理論研究中，大多數(shù)學(xué)者在實(shí)際處理圖像信號(hào)時(shí)都會(huì)將二維的圖像信號(hào)轉(zhuǎn)換成一維信號(hào)處理。比如將NN圖像的每一列首尾相接組成一個(gè)N21的列向量，這樣相當(dāng)于在單觀測(cè)向量下處理一個(gè)長的一維信號(hào)，如上式所示，但是這種情況下測(cè)量矩陣Φ的尺度非常大，將顯著增加計(jì)算量和存儲(chǔ)空間，處理時(shí)間會(huì)很長。為了不增加Φ的尺度，可以將圖像的每一列作為一個(gè)N1的一維信號(hào)單獨(dú)處理，如式(2)所示得到一個(gè)M1的觀測(cè)向量，重建圖像的每一列后再重組成二維的圖像，這樣做比前一種方法大幅度的減少了計(jì)算量和存儲(chǔ)空間，是目前實(shí)際應(yīng)用中用得比較多的方法，但是算法運(yùn)行仍然需要較多時(shí)間。與上述兩種方法不同，本文采用多觀測(cè)向量模型式(1)，觀測(cè)矩陣Y的每一列對(duì)應(yīng)一個(gè)觀測(cè)向量，通過稀疏貝葉斯算法對(duì)所有的觀測(cè)向量同時(shí)進(jìn)行處理以重建圖像的每一列，從而提高了算法效率。對(duì)于一幅非稀疏的自然圖像，通過小波變換基矩陣可以得到其加權(quán)系數(shù)矩陣S，選取固定的測(cè)量矩陣，如式(1)所示，假設(shè)式(1)中的噪聲為均值為零，方差為2的高斯噪聲，則式(2)(3)和式(4)。對(duì)于加權(quán)系數(shù)矩陣S，則有式(5)。 (3) (4) (5)其中，γ=[γ1,γ2,…,γN]T是N維的超參數(shù)向量。(6)。 (6)其均值和方差分別為 (7)， (8)其中，均值M作為加權(quán)系數(shù)矩陣S的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)，即?= M。為了求得均值，需要求得超參數(shù)向量γ的估計(jì)，它可以通過最大化p(Y。γ)獲得。 (9)其中，為了方便求解，對(duì)上式進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，利用最大似然估計(jì)求解超參數(shù)向量等價(jià)于最小化2logp(Y,γ)，則式(9)可以寫為 (10)定義求解超參數(shù)向量γ的代價(jià)函數(shù)為 (11)根據(jù)文獻(xiàn)中附錄部分的方法，對(duì)式(11)求偏導(dǎo)數(shù)，得到超參數(shù)的迭代方程式 (12)在實(shí)際的求解運(yùn)算中，很多超參數(shù)Yi都會(huì)收斂于零。當(dāng)γi=0時(shí)，p(si.,γi,=0)=δ(si.), 使得后驗(yàn)分布滿足Prob(si.=0|Y,γi=0)= δ(si.)，從而滿足了解的稀疏性要求。利用式(12)對(duì)超參數(shù)向量γ進(jìn)行更新，求得超參數(shù)向量的固定解γ后, 就能夠根據(jù)式(13)求出S的最大后驗(yàn)概率估計(jì)?，并由得到重建圖像。 (13) GPSR重構(gòu)算法梯度投影法(GPSR)是基于l1范數(shù)最小進(jìn)行求解的算法，它解決的是一個(gè)受約束的二次規(guī)劃(BoundConstrained Quadratic Programming，BCQP)問題。在目前已有的算法中，它以高運(yùn)算速度和良好的重建效果著稱。它的主要策略是從可行點(diǎn)出發(fā)，沿著下降的可行方向進(jìn)行搜索，求出使目標(biāo)函數(shù)值下降的新的可行點(diǎn)。當(dāng)?shù)霭l(fā)點(diǎn)在可行域內(nèi)部時(shí)，沿負(fù)梯度方向搜索。當(dāng)選代出發(fā)點(diǎn)在某些約束的邊界上時(shí)，將該點(diǎn)處的負(fù)梯度投影到矩陣的零空間，該空間是以起作用約束或部分起作用約束的梯度為行所構(gòu)造成的。GPSR算法具有良好的重建效果．采樣率(M／N)較高時(shí)，它與SAMP不相上下。隨著采樣率(M／N)的下降，重建出圖像的PSNR值下降也較快。該算法最顯著的優(yōu)點(diǎn)是運(yùn)算時(shí)問，重建一幅512x512的圖像僅需幾十秒。在大規(guī)模應(yīng)用時(shí)，相對(duì)于其他算法，該算法不需要過多調(diào)整即可應(yīng)用，而且時(shí)間優(yōu)勢(shì)更為明顯?？偟貋碚f，該算法在重建效果和運(yùn)算時(shí)間上均有著不可忽視的優(yōu)點(diǎn)。 壓縮感知理論的推廣及應(yīng)用 信號(hào)在冗余字典上的壓縮感知理論在壓縮感知理論中，信號(hào)越稀疏，恢復(fù)信號(hào)就越準(zhǔn)確。而對(duì)于具有復(fù)雜特征的信號(hào)如自然圖像、聲音信號(hào)來說，固定的正交基有時(shí)不足以捕獲信號(hào)的多種特征，使圖像在變換域足夠稀疏。例如，正交小波變換由于缺乏平移旋轉(zhuǎn)不變性而不能有效壓縮幾何圖像。目前對(duì)于壓縮感知理論的研究還大多集中在固定的正交基空間，壓縮感知理論的一個(gè)重要前提要找到信號(hào)的稀疏域，它直接關(guān)系到壓縮感知的重構(gòu)精度。對(duì)于信號(hào)的稀疏表示問題，大量的研究表明超完備冗余字典下的信號(hào)稀疏表示更加有效，而這方面的研究也有了一定的進(jìn)展。于是，能否將壓縮感知理論中的稀疏表示從固定的正交基擴(kuò)展到冗余字典，引起了人們巨大的研究興趣。文獻(xiàn)表明如果信號(hào)在冗余字典而不是正交基下稀疏，且某些類型的隨機(jī)矩陣和確定性的字典組合而成的矩陣具有很小的有限等距常量（滿足RIP性質(zhì)），則在冗余字典下稀疏的信號(hào)就可以通過BP算法從少量的隨機(jī)觀測(cè)值中恢復(fù)出來。該文獻(xiàn)還指出將稀疏變換Ψ替換為冗余字典之后，在保持信號(hào)在冗余字典上的稀疏特性的條件下，現(xiàn)有的大多數(shù)重構(gòu)算法（如BP和OMP）仍然適用，并進(jìn)一步對(duì)可用于信號(hào)重建的閾值法和BP及OMP算法作了實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析。顯然，采用冗余字典之后，可以增強(qiáng)信號(hào)的稀疏性，進(jìn)而可以以更高的概率從更少的觀測(cè)中恢復(fù)信號(hào)。當(dāng)然，另一方面由于冗余字典中的原子數(shù)量一般情況下都很大，如稀疏表示聲音信號(hào)的復(fù)雜成分或自然圖像中的幾何特征都需要大量的原子，故基于冗余字典的壓縮感知理論在理論上尋優(yōu)的穩(wěn)定性問題及計(jì)算復(fù)雜度高的問題，還有待進(jìn)一步深入地研究。 壓縮感知理論初步應(yīng)用直接信息采樣特性使得壓縮感知理論具有巨大的吸引力和應(yīng)用前景，隨之出現(xiàn)的是相關(guān)的理論完善和實(shí)踐成果。應(yīng)用研究已經(jīng)涉及到眾多領(lǐng)域，如：CS雷達(dá)、DCS(DistributedCompressedSensing)理論、無線傳感網(wǎng)絡(luò)、圖像采集設(shè)備的開發(fā)、醫(yī)學(xué)圖像處理、生物傳感、AnalogtoInformation、光譜分析、超譜圖像處理及遙感圖像處理等。在成像方面，壓縮感知理論的出現(xiàn)激起了人們研究新型傳感器的熱情，壓縮感知采樣對(duì)昂貴的成像器件的設(shè)計(jì)產(chǎn)生重大影響。在地震勘探成像和核磁共振成像中，對(duì)目標(biāo)信號(hào)將有望采用少量的隨機(jī)觀測(cè)次數(shù)就能獲得高精度重構(gòu)；取代傳統(tǒng)數(shù)碼相機(jī)拍照時(shí)采集大量像素的一種新型單像素CS相機(jī)已經(jīng)得到論證。美國Rice大學(xué)也已經(jīng)研制出“單像素相機(jī)”。該相機(jī)是一種全新的相機(jī)結(jié)構(gòu)，使用數(shù)字微鏡陣列(Digital MicromirrorArray)完成圖像在偽隨機(jī)二值模型上的線性投影的光學(xué)計(jì)算。它可利用單一的信號(hào)光子檢測(cè)器采樣得到比圖像像素點(diǎn)數(shù)少得多的點(diǎn)恢復(fù)得到一幅圖像，并具有對(duì)圖像波長自適應(yīng)的能力，這種自適應(yīng)能力是傳統(tǒng)的CCD和CMOS成像器件所不具備的。在寬帶無線頻率信號(hào)分析中，由于目前A/D轉(zhuǎn)換器技術(shù)的限制，可以用遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣頻率的速率采集信號(hào)。在X射線和生物醫(yī)學(xué)中，可以通過采集遠(yuǎn)少于未知像素點(diǎn)數(shù)的觀測(cè)樣本來獲取感興趣的圖像信息?；虮磉_(dá)研究也開始使用壓縮感知理論，試圖從少量的觀測(cè)樣本中，例如幾十種來推斷成千上萬種基因的表達(dá)。在壓縮感知理論中，信號(hào)的恢復(fù)質(zhì)量與觀測(cè)的樣本數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)存在正比關(guān)系，利用這一特性，筆者提出了基于CompressedSensing框架的多描述編碼方法，取得了良好效果。 單像素CS相機(jī)在寬帶無線頻率信號(hào)分析中，由于目前A/D轉(zhuǎn)換器技術(shù)的限制，可以用遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣頻率的速率采集信號(hào)。在X射線和生物醫(yī)學(xué)中，可以通過采集遠(yuǎn)少于未知像素點(diǎn)數(shù)的觀測(cè)樣本來獲取感興趣的圖像信息。基因表達(dá)研究也開始使用壓縮感知理論，試圖從少量的觀測(cè)樣本中，例如幾十種來推斷成千上萬種基因的表達(dá)。在壓縮感知理論中，信號(hào)的恢復(fù)質(zhì)量與觀測(cè)的樣本數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)存在正比關(guān)系，利用這一特性，筆者提出了基于Compressed Sensing框架的多描述編碼方法，取得了良好效果。3 基于壓縮感知的分布式視頻編解碼 基于壓縮感知的視頻編解碼研究 傳統(tǒng)的視頻編解碼核心技術(shù)傳統(tǒng)的視頻編解碼器是基于宏塊操作的，編碼模式包括幀內(nèi)模式和幀間模式。，簡單分析傳統(tǒng)視頻編解碼的核心技術(shù)[3]。在幀內(nèi)模式下，當(dāng)前宏塊的像素的預(yù)測(cè)詩基于對(duì)幀內(nèi)已經(jīng)編碼并解碼重構(gòu)后的宏進(jìn)行的。將當(dāng)前宏塊與參考宏塊求殘差后進(jìn)行變換，再將得到的系數(shù)中少數(shù)重要部分保留，并對(duì)其幅度和位置進(jìn)行量化、熵編碼。在幀間模式下，當(dāng)前宏塊的預(yù)測(cè)塊是基于對(duì)參考幀進(jìn)行運(yùn)動(dòng)估計(jì)和補(bǔ)償?shù)玫?，再將?dāng)前幀和預(yù)測(cè)幀的宏塊求殘差，最后對(duì)殘差進(jìn)行量化、熵編碼，得到編碼碼流用于傳輸或儲(chǔ)存。由于編碼器中需要參考幀，所以編碼器內(nèi)包含了部分解碼器。 ，整個(gè)解碼過程是編碼的逆過程。接收的碼流先經(jīng)過熵解碼、逆量化、逆變換得到殘差圖像，再加上根據(jù)幀內(nèi)編碼或幀間編碼的參數(shù)得到的預(yù)測(cè)圖像即為重構(gòu)的圖像。 從上述過程看，傳統(tǒng)的編碼過程復(fù)雜，編碼簡單，對(duì)編碼端的要求更為嚴(yán)格。編碼過程中，圖像變換后的系數(shù)大部分被拋棄，造成數(shù)據(jù)和內(nèi)存資源的浪費(fèi)。 基于壓縮感知理論的編解碼器 基于壓縮感知理論的編碼器。編碼前，先將視頻序列分成圖像組。編碼時(shí)，如