【文章內(nèi)容簡介】 （7）其中，幅頻特性為： （8）相頻特性為： （9）滿足式（3）的條件。當(dāng)h(n)為奇對稱時，即 （10）其對稱中心為。同理，可得其幅度特性為： （11）相頻特性為： （12）滿足式（4）的條件。綜上所述，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器具有線性相位的充要條件是： 或者 （13） 線性相位FIR數(shù)字濾波器的幅度特性如果濾波器的系數(shù)h(n)的長度為N，且這些系數(shù)是關(guān)于對稱的，根據(jù)h(n)的奇偶對稱性和N的奇偶性，線性相位FIR數(shù)字濾波器可以分為4種類型，下面分別介紹這4種類型濾波器的頻率響應(yīng)。1）I型濾波器，系數(shù)h(n)為偶對稱，N為奇數(shù)當(dāng)系數(shù)h(n)為偶對稱，N為奇數(shù)時，根據(jù)式（8），該類型濾波器的幅度特性函數(shù)為： （14） 其中， （15）濾波器的幅度響應(yīng)對呈偶對稱。2）II型濾波器，系數(shù)h(n)為偶對稱，N為偶數(shù)當(dāng)系數(shù)h(n)為偶對稱，N為偶數(shù)時，根據(jù)式（8），該類型濾波器的幅度特性函數(shù)為： （16）其中， （17）濾波器的幅度響應(yīng)對呈奇對稱。但是，由于在時等于零，不能用這種方式實現(xiàn)在有頻率響應(yīng)的頻率特性，比如高通濾波器和帶阻濾波器。3）III型濾波器，系數(shù)h(n)為奇對稱，N為奇數(shù)當(dāng)系數(shù)h(n)為奇對稱，N為奇數(shù)時，根據(jù)式（11），該類型濾波器的幅度特性函數(shù)為： （18）其中， （19）濾波器的幅度響應(yīng)對奇對稱。但是，由于在時等于零，不能用這種方式實現(xiàn)低通濾波器、高通濾波器和帶阻濾波器，只能用做帶通濾波器。4）IV型濾波器，系數(shù)h(n)為奇對稱，N為偶數(shù)當(dāng)系數(shù)h(n)為奇對稱，N為偶數(shù)時，根據(jù)式（11），該類型濾波器的幅度特性函數(shù)為： （20）其中， （21）濾波器的幅度響應(yīng)對呈奇對稱，對呈偶對稱。但是，由于在時等于零，不能用這種方式實現(xiàn)低通濾波器和帶阻濾波器。 線性相位FIR數(shù)字濾波器的零極點特性FIR數(shù)字濾波器的零點是其系數(shù)多項式的根，它的極點與原點數(shù)目相同，集中在Z平面的原點處。由于線性相位FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)具有對稱性，即，可得 （22）由上式可以看出，如果是該濾波器的一個零點，則也是它的零點。又由于h(n)是實數(shù)，H(z)的零點必定共軛成對出現(xiàn)，則和也是零點。所以，線性相位FIR數(shù)字濾波器的零點必是互為倒數(shù)的共軛對。 根據(jù)4種類型線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點，可以得到它們零點特性的主要區(qū)別是在z=1處和z=1處的零點數(shù)量，即1）I型線性相位FIR數(shù)字濾波器在z=1和z=1處有偶數(shù)個零點或者沒有零點。2）II型線性相位FIR數(shù)字濾波器在z=1處有偶數(shù)個零點或者沒有零點，在z=1處有奇數(shù)個零點。3）III型線性相位FIR數(shù)字濾波器在z=1和z=1處有奇數(shù)個零點。4）IV型線性相位FIR數(shù)字濾波器在z=1處有奇數(shù)個零點，在z=1處有偶數(shù)個零點或者沒有零點。例：根據(jù)給出4種類型濾波器的系數(shù)，分別畫出其零極點圖。h1=[4,1,1,2,5,6,5,2,1,1,4]。 h2=[4,1,1,2,5,6,6,5,2,1,1,4]。h3=[4,1,1,2,5,0,5,2,1,1,4]。 h4=[4,1,1,2,5,6,6,5,2,1,1,4]。clear all。 close all。 clc。h1=[4,1,1,2,5,6,5,2,1,1,4]。h2=[4,1,1,2,5,6,6,5,2,1,1,4]。h3=[4,1,1,2,5,0,5,2,1,1,4]。h4=[4,1,1,2,5,6,6,5,2,1,1,4]。subplot(2,2,1)。zplane(h1,1)。title(39。I型零極點39。)subplot(2,2,2)。zplane(h2,1)。title(39。II型零極點39。)subplot(2,2,3)。zplane(h3,1)。title(39。III型零極點39。)subplot(2,2,4)。zplane(h4,1)。title(39。IV型零極點39。)第三章 基于MATLAB的FIR數(shù)字濾波器設(shè)計 數(shù)字濾波器的設(shè)計方法描述數(shù)字濾波器有多種設(shè)計方法，如雙線性變換法、窗函數(shù)設(shè)計法、插值逼近法和Chebyshev逼近法等等，但是通常采用窗函數(shù)法設(shè)計。窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器的基本思想是：根據(jù)給定的濾波器技術(shù)指標(biāo)選擇濾波器長度N和窗函數(shù)，使其具有最窄寬度的主瓣和最小的旁瓣，其核心是從給定的頻率特性，通過加窗確定有限長單位脈沖響應(yīng)序列h(n)。一般采用以下五種窗函數(shù)：矩形窗(Rectangular Window)、三角形窗(Triangular Window)、漢寧窗（Hanning Window）、哈明窗（Hamming Window）、布萊克曼窗(Blackman Window）。目前FIR濾波器的實現(xiàn)方法大致可分為三種：利用單片通用數(shù)字濾波器集成電路、DSP器件和可編程邏輯器件實現(xiàn)。單片通用數(shù)字濾波器使用方便，但由于字長和階數(shù)的規(guī)格較少，不能完全滿足實際需要，使用以串行運算為主導(dǎo)的通用DSP芯實現(xiàn)要簡單，是一種實時、快速、特別適合于實現(xiàn)各種數(shù)字信號處理運算的微處理器，借助于通用數(shù)字計算機(jī)按濾波器的設(shè)計算法編出程序進(jìn)行數(shù)字濾波計算 。由于它具有豐富的硬件資源、改進(jìn)的哈佛結(jié)構(gòu)、高速數(shù)據(jù)處理能力和強(qiáng)大的指令系統(tǒng)，因此在通信、航空、航天、雷達(dá)、工業(yè)控制網(wǎng)絡(luò)及家用電器等各個領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。 常用窗函數(shù)及設(shè)計方法矩形窗矩形窗的時域表達(dá)式為： （23）它的頻域表達(dá)式為： （24）矩形窗的主瓣寬度為,第一旁瓣比主瓣低13dB，阻帶最小衰減為21dB。在MATLAB中，矩形窗函數(shù)為boxcar,調(diào)用格式為： w=boxcar(N)其中，N是窗函數(shù)的長度；返回值w是一個長度為N的矩形窗序列。三角窗三角窗的時域表達(dá)式為以下幾種。窗長為奇數(shù)時： （25）窗長為偶數(shù)時： （26）它的頻域表達(dá)式為： （27）三角窗的主瓣寬度為,第一旁瓣比主瓣低26dB，阻帶最小衰減為25dB。 在MATLAB中，三角窗函數(shù)為triang,調(diào)用格式為： w=triang(N)其中，N是窗函數(shù)的長度；返回值w是一個長度為N的三角窗序列。漢寧窗漢寧窗函數(shù)又稱升余弦函數(shù)，是余弦平方函數(shù)。它的時域表達(dá)式為： （28）它的頻域表達(dá)式為： （29）其中，為矩形窗的幅度函數(shù)。漢寧窗的主瓣寬度為,第一旁瓣比主瓣低31dB，阻帶最小衰減為44dB。在MATLAB中，漢寧窗函數(shù)為hanning,調(diào)用格式為： w=hanning(N)其中，N是窗函數(shù)的長度；返回值w是一個長度為N的漢寧窗序列。哈明窗哈明窗函數(shù)是一種改進(jìn)的升余弦函數(shù)，或者稱為改進(jìn)的漢寧窗。它的時域表達(dá)式為： （30）哈明窗在保證與漢寧窗相同的主瓣寬度的條件下，%的能量集中在主瓣，第一旁瓣比主瓣低41dB，阻帶最小衰減為53dB。在MATLAB中，哈明窗函數(shù)為hamming,調(diào)用格式為： w=hamming(N)其中，N是窗函數(shù)的長度；返回值w是一個長度為N的哈明窗序列。布萊克曼窗 布萊克曼窗函數(shù)又稱三階升余弦函數(shù)，它對升余弦函數(shù)加上一個二次諧波余弦分量，從而進(jìn)一步降低旁瓣。它的時域表達(dá)式為：（31）它的頻域表達(dá)式為： （32）布萊克曼窗的主瓣寬度為,第一旁瓣比主瓣低57dB，阻帶最小衰減為74dB。在MATLAB中，布萊克曼窗函數(shù)為blackman,調(diào)用格式為： w=blackman(N)其中，N是窗函數(shù)的長度；返回值w是一個長度為N的布萊克曼窗序列。上述各種窗函數(shù)的性能比較如表所示:窗函數(shù)第一旁瓣相對于主瓣衰減（dB）主瓣寬度近似值 主瓣寬度精確值阻帶最小衰減（dB）矩形窗134/N21三角形窗258/N25漢寧窗318/N44漢明窗418/N53布萊克曼窗5712/N11/N74窗函數(shù)的MATLAB實現(xiàn) 繪出長度為64的矩形窗、三角窗、漢寧窗、哈明窗和布萊克曼窗函數(shù)的時域和頻域幅度特性曲線。程序代碼如下：clear all。close all。clc。N=64。 w1=boxcar(N)。w2=triang(N)。w3=hanning(N)。w4=hamming(N)。w5=blackman(N)。wvtool(w1)。wvtool(w2)。wvtool(w3)。wvtool(w4)。wvtool(w5)。結(jié)果如下圖所示：矩形窗三角窗漢寧窗哈明窗布萊克曼窗 MATLAB信號處理工具箱提供了基于窗函數(shù)法的FIR濾波器的設(shè)計函數(shù)fir1和fir2,它們能使濾波器的設(shè)計更加簡單。1）fir1功能：基于窗函數(shù)的FIR濾波器設(shè)計——標(biāo)準(zhǔn)頻率響應(yīng)形狀。格式：b=fir1(n,Wn,’ftype’,window)其中，b為濾波器系數(shù)；n為濾波器階數(shù)；Wn為截止頻率，0Wn1，1對應(yīng)于采樣頻率的一半；ftype為當(dāng)指定ftype時可設(shè)計高通和帶阻濾波器，ftype=high時設(shè)計高通FIR濾波器，ftype=stop時設(shè)計帶阻FIR濾波器，低通和帶通FIR濾波器無需輸入ftype參數(shù)；window為窗函數(shù)，窗函數(shù)的長度應(yīng)等于FIR濾波器系數(shù)的個數(shù)，即階數(shù)n+1。說明：標(biāo)準(zhǔn)頻率響應(yīng)應(yīng)指所設(shè)計的濾波器的預(yù)期特性為理想頻率響應(yīng)，包括低通、帶通、高通或帶阻特性。2）fir2功能：基于窗函數(shù)的FIR濾波器設(shè)計——任意頻率響應(yīng)形狀。格式：b=fir2(n,f,m,window)其中，b為濾波器系數(shù)；n為濾波器階數(shù)；f為頻率點矢量，0f1，f=1時對應(yīng)的頻率為采樣頻率的一半，矢量f按升序排列，且第一個必須為0，最后一個必須為1，并允許出現(xiàn)相同的頻率值；m為幅度矢量，按長期共存矢量包含與f相對應(yīng)的期望濾波器響應(yīng)幅度，矢量f與矢量m的長度必須