【文章內(nèi)容簡介】 E（ 2(,3)?∵P 點(diǎn)在 E 點(diǎn)的上方，PE= 22(1)(3)xxx????∴當(dāng) 12x?時，PE 的最大值= 94（3）存在 4 個這樣的點(diǎn) F，分別是 1234(,0),)(7),()FF?，拋物線 25yax??經(jīng)過 ABC△ 的三個頂點(diǎn)，已知 BCx∥ 軸，點(diǎn) A在x軸上，點(diǎn) C在 軸上，且 ?．（1）求拋物線的對稱軸；（2）寫出 AB， ， 三點(diǎn)的坐標(biāo)并求拋物線的解析式；（3）探究：若點(diǎn) P是拋物線對稱軸上且在 x軸下方的動點(diǎn)，是否存在 PAB△ 是等腰三角形．若存在，求出所有符合條件的點(diǎn) P坐標(biāo)；不存在，請說明理由．解：（1）拋物線的對稱軸 52ax??（2） (30)A?， (4)B， (0)C，把點(diǎn) 坐標(biāo)代入 25yax?中，解得 16a??216y???（3）存在符合條件的點(diǎn) P共有 3 個．以下分三類情形探索．設(shè)拋物線對稱軸與 x軸交于 N，與 CB交于 M．AC Byx011AC Bx011 Ｑ2P13ＮＭＫy過點(diǎn) B作 Qx?軸于 ，易得 4BQ?， 8A， ?， 2BM① 以 A為腰且頂角為角 的 P△ 有 1 個： 1P△ ．22280???在 1RtNP△ 中， 2221 1980(5.)ANBA??????1592???????，②以 AB為腰且頂角為角 B的 PA△ 有 1 個： 2PAB△ ．在 2RtMP△ 中， 22 259804M?????2589????????，③以 AB為底，頂角為角 P的 AB△ 有 1 個，即 3PAB△ ．畫 的垂直平分線交拋物線對稱軸于 3，此時平分線必過等腰 C△ 的頂點(diǎn) ．過點(diǎn) 3P作 K垂直 y軸，垂足為 K，顯然 3RttCQ△ ∽ △ ．12BQCA??．? 于是 1O?(1)P?，對稱軸為直線 72x的拋物線經(jīng)過點(diǎn) A（6，0）和B（0，4） ．（1）求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn) E（ x， y）是拋物線上一動點(diǎn)，且位于第四象限，四邊形 OEAF 是以 OA 為對角線的平行四邊形．求平行四邊形OEAF 的面積 S 與 之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 x的取值范圍；72x?B(0,4)A(6,0)EF xyO ①當(dāng)平行四邊形 OEAF 的面積為 24 時，請判斷平行四邊形 OEAF 是否為菱形？ ②是否存在點(diǎn) E，使平行四邊形 OEAF 為正方形？若存在，求出點(diǎn) E 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：（1）由拋物線的對稱軸是 72x?，可設(shè)解析式為 27()yaxk???．把 A、B 兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，得 27(6)0,??????? 解之，得 25,.36ak??故拋物線解析式為 27()yx，頂點(diǎn)為 7(,).2（2）∵點(diǎn) (,)E在拋物線上，位于第四象限，且坐標(biāo)適合 2536yx??，∴y0，即 －y0,－y 表示點(diǎn) E 到 OA 的距離．∵OA 是 OEAF的對角線，∴ 217264()5Sy??????．因?yàn)閽佄锞€與 x軸的兩個交點(diǎn)是（1，0）的（6，0） ，所以，自變量 x的取值范圍是 1＜ ＜6．① 根據(jù)題意，當(dāng) S = 24 時，即 274()54x???．化簡，得 27().4x?? 解之，得 123,.x?故所求的點(diǎn) E 有兩個，分別為 E1（3，－4） ，E 2（4，－4） ．點(diǎn) E1（3，－4）滿足 OE = AE，所以 OAF是菱形；點(diǎn) E2（4，－4）不滿足 OE = AE，所以 不是菱形．② 當(dāng) OA⊥EF，且 OA = EF 時， 是正方形，此時點(diǎn) E 的坐標(biāo)只能是（3，－3） ． 而坐標(biāo)為（3，－3）的點(diǎn)不在拋物線上，故不存在這樣的點(diǎn) E，使 OEAF為正方形．ECAyOB F xMD 12，直線 43???xy與 軸交于點(diǎn) A，與 y軸交于點(diǎn) C，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn) A、 C和點(diǎn) ??0,1B.（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）設(shè)該二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為 M，求四邊形 AOC的面積；（3）有兩動點(diǎn) D、 E同時從點(diǎn) O出發(fā)，其中點(diǎn) D以每秒 23個單位長度的速度沿折線OAC 按 → A→ C的路線運(yùn)動，點(diǎn) E以每秒 4個單位長度的速度沿折線 OCA按→ → 的路線運(yùn)動，當(dāng) 、 兩點(diǎn)相遇時， D、 E同時從點(diǎn) 出發(fā) t秒時， E?的面積為 S .①請問 D、 兩點(diǎn)在運(yùn)動過程中，是否存在 D∥ OC，若存在，請求出此時 t的值；若不存在，請說明理由；②請求出 S 關(guān)于 t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 t的取值范圍；③設(shè) 0是②中函數(shù) S 的最大值，那么 0S = .解：（1）令 ?x，則 4y；令 y則 3．∴ ??0A， ． C，∵二次函數(shù)的圖象過點(diǎn) ， ，∴可設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式為 42??bxay又∵該函數(shù)圖象過點(diǎn) ??30A， ． ?1B?，∴ 094ab??????，．解之，得 3， 8?．∴所求二次函數(shù)的關(guān)系式為 4382??xy （2）∵ 42??xy= ??3164xECAyOBxMD∴頂點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 163??????， 過點(diǎn) M 作 MF x?軸于 F∴ AMAOCOCSS??△四 邊 形 梯 形= ??10364213621??????????∴四邊形 AOCM 的面積為 10 （3）①不存在 DE∥ OC ∵若 DE∥ OC，則點(diǎn) D， E 應(yīng)分別在線段 OA， CA 上，此時 12t?，在 RtAOC△ 中，5AC?．設(shè)點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 ??1xy， ∴ 5431??t，∴ 51??tx ∵ DE∥ ，∴ tt2351?? ∴ 8 ∵ 8t2，不滿足 1?．∴不存在 DEOC∥ ．②根據(jù)題意得 D， E 兩點(diǎn)相遇的時間為12435??（秒）現(xiàn)分情況討論如下：?。┊?dāng) 0t?≤ 時， 2342St??A；ⅱ）當(dāng) 1≤ 時，設(shè)點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 ??2xy，∴ ??5442??ty，∴ 51632ty??∴ ttttS7163?? ⅲ）當(dāng) 2 t 14時，設(shè)點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 ??3x， ，類似ⅱ可得 5163ty??設(shè)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 ??4,yx∴ 5324??ty，∴ 16t∴ AOEDS?△ △ 51263532????tt= 7?t ③ 804S 知 ： 如 圖 ， 拋 物 線 2yaxbc??經(jīng) 過 (1,0)A、 (5,)B、 (0,5)C三 點(diǎn) ．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）若 過 點(diǎn) C 的 直 線 ykx與 拋 物 線 相 交 于 點(diǎn) E （ 4， m） ， 請 求 出 △ CBE 的 面 積 S 的 值 ；（3）在拋物線上求一點(diǎn) 0P使得△ ABP0為等腰三角形并寫出 0點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）除（3）中所求的 0點(diǎn)外，在拋物線上是否還存在其它的點(diǎn) P 使得△ ABP 為等腰三角形？若存在，請求出一共有幾個滿足條件的點(diǎn) （要求簡要說明理由，但不證明） ；若不存在這樣的點(diǎn) P，請說明理由．解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn) (1,0)A、 (5,)B，∴ (1)5yax??．又∵拋物線經(jīng)過點(diǎn) (0,)C，∴ 5a， 1．∴拋物線的解析式為 2()65yxx?????．（2）∵ E 點(diǎn)在拋物線上，∴ m = 42–46+5 = 3．xyCBAE–11O∵直線 y = kx+b 過點(diǎn) C（0， 5） 、 E（4， –3） ，∴ 5,?????? 解得 k = 2， b = 5． 設(shè)直線 y= 2x+5 與 x 軸的交點(diǎn)為 D，當(dāng) y=0 時， 2x+5=0，解得 x= 2．∴ D 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 5，0） ． ∴ S=S△BDC + S△BDE= 11(5)(5)322????=10．（3）∵拋物線的頂點(diǎn) 0(3,4)P既在拋物線的對稱軸上又在拋物線上，∴點(diǎn) 0(,)?為所求滿足條件的點(diǎn)．（4）除 點(diǎn)外，在拋物線上還存在其它的點(diǎn) P 使得△ ABP 為等腰三角形．理由如下：∵ 2045APB????，∴分別以 、 為圓心半徑長為 4 畫圓，分別與拋物線交于點(diǎn) B、 1P、 6，除去 、 A兩個點(diǎn)外，其余 6 個點(diǎn)為滿足條件的點(diǎn)，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 (－ 2， 0)，連接 OA，將線段 OA 繞原點(diǎn) O 順時針旋轉(zhuǎn) 120176。，得到線段 OB．(1)求點(diǎn) B 的坐標(biāo)；(2)求經(jīng)過 A、 O、 B 三點(diǎn)的拋物線的解析式；(3)在 (2)中拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn) C，使 △BOC 的周長最??？若存在，求出點(diǎn) C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(4)如果點(diǎn) P 是( 2)中的拋物線上的動點(diǎn)，且在 x 軸的下方，那么 △PAB 是否有最大面積？若有，求出此時 P 點(diǎn)的坐標(biāo)及 △PAB 的最大面積；若沒有，請說明理由．(注意：本題中的結(jié)果均保留根號)解：（1）過點(diǎn) B 作 BD⊥x 軸于點(diǎn) D，由已知可得：OB＝OA=2，∠BOD＝60176。在 Rt△OBD 中，∠ODB＝90176。，∠OBD＝30176。 ∴OD＝1，DB＝ 3 ∴點(diǎn) B 的坐標(biāo)是（1， ）（2）設(shè)所求拋物線的解析式為 2yaxbc??，由已知可得：034cab??????? 解得： 3c?2， =， 0∴所求拋物線解析式為 23yx? （備注： a、 b 的值各得 1 分）（3）存在由 23yx?? 配方后得： 23(1)yx???∴拋物線的對稱軸為 1?? （也可用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出）∵點(diǎn) C 在對稱軸 x上， △BOC 的周長＝OB+BC+CO；∵OB=2，要使△BOC 的周長最小，必須 BC+CO 最小，∵點(diǎn) O 與點(diǎn) A 關(guān)于直線 1??對稱，有 CO=CA△BOC 的周長＝OB+BC+CO＝OB+BC+CA∴當(dāng) A、C、B 三點(diǎn)共線，即點(diǎn) C 為直線 AB 與拋物線對稱軸的交點(diǎn)時，BC+CA 最小，此時△BOC 的周長最小。AB(第 25 題圖)1O1xy1設(shè)直線 AB 的解析式為 ykxb??，則有： 320kb???????解得： 32k，∴直線 AB 的解析式為 3yx??當(dāng) 1x??時， 3∴所求點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（－1， ）（4）設(shè) P()xy， （ 20xy?－ ， ） ，則 23x?? ①過點(diǎn) P 作 PQ⊥y 軸于點(diǎn) Q， PG⊥x 軸于點(diǎn) G，過點(diǎn) A 作 AF⊥PQ 軸于點(diǎn) F，過點(diǎn) B 作BE⊥PQ 軸于點(diǎn) E，則 PQ= x?，PG= y，由題意可得：PABAFPBEBSS△ △ △ 梯 形＝ － － ＝ 11()22????= 13(()2()3yyxxy????＝ 2x? ② 將①代入②，化簡得： 233PABSx??△ ＝ ＝ 23193()8x??∴當(dāng) ?時，△PAB 得面積有最大值，最大面積為938。此時 1233()44y?????∴點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 13()24?， ，已知與 x軸交于點(diǎn) (10)A， 和 (5)B， 的拋物線 1l的頂點(diǎn)為 (34)C， ，拋物線 2l與1l關(guān)于 軸對稱，頂點(diǎn)為 C?．（1）求拋物線 2l的函數(shù)關(guān)系式；（2）已知原點(diǎn) O，定點(diǎn) (04)D， ， 2l上的點(diǎn) P與 1l上的點(diǎn) ?始終關(guān)于 x軸對稱，則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到何處時，以點(diǎn) ?， ， ， 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？（3）在 2l上是否存在點(diǎn) M，使 AB△ 是以 為斜邊且一個角為 30?的直角三角形？若存，求出點(diǎn) 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．解：（1）由題意知點(diǎn) C?的坐標(biāo)為 (34)?， ．設(shè) 2l的函數(shù)關(guān)系式為 2yax?．又 ?點(diǎn) (0)A， 在拋物線 ()上，2134a??，解得 1．拋物線 2l的函數(shù)關(guān)系式為 2(3)4yx??（或 265yx???） ．（2） P與 ?始終關(guān)于 軸對稱， ?與 y軸平行．設(shè)點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 m，則其縱坐標(biāo)為 265m??，4OD??， 2654????，即 2??．當(dāng) 265時，解得 3?．當(dāng) 2m時，解得 2m．當(dāng)點(diǎn) P運(yùn)動到 (36)?， 或 ()?， 或 (2)?， 或 (32)??， 時，OD? ∥，以點(diǎn) P?， ， ， 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．（3）滿足條件的點(diǎn) M不存在．理由如下：若存在滿足條件的點(diǎn) M在 2l上，則43112345 54321AEBC?O2l1lxy5?4321?123D5 54321ACEMBC?O2l1lxy90AMB???， 30A???（或 30ABM???） ，1422??．過點(diǎn) 作 E?于點(diǎn) ，可得 E?．1B??， 3， 4O?．點(diǎn) M的坐標(biāo)為 (4)?， ．但是，當(dāng) x時， 265123y?????．?不存在這樣的點(diǎn) 構(gòu)成滿足條件的直角三角形．，拋物線 y＝－ x 2＋ bx＋ c 與 x 軸交于 A(1，0 )， B(－ 3，0 )兩點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線交 y 軸于 C 點(diǎn)，在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn) Q，使得△QAC 的周長最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）在（1）中的拋物線上的第二象限內(nèi)是否存在一點(diǎn) P，使△ PBC 的面積最大？，若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)及△ PBC 的面積最