【文章內容簡介】 E（ 2(,3)?∵P 點在 E 點的上方，PE= 22(1)(3)xxx????∴當 12x?時，PE 的最大值= 94（3）存在 4 個這樣的點 F，分別是 1234(,0),)(7),()FF?，拋物線 25yax??經過 ABC△ 的三個頂點，已知 BCx∥ 軸，點 A在x軸上，點 C在 軸上，且 ?．（1）求拋物線的對稱軸；（2）寫出 AB， ， 三點的坐標并求拋物線的解析式；（3）探究：若點 P是拋物線對稱軸上且在 x軸下方的動點，是否存在 PAB△ 是等腰三角形．若存在，求出所有符合條件的點 P坐標；不存在，請說明理由．解：（1）拋物線的對稱軸 52ax??（2） (30)A?， (4)B， (0)C，把點 坐標代入 25yax?中，解得 16a??216y???（3）存在符合條件的點 P共有 3 個．以下分三類情形探索．設拋物線對稱軸與 x軸交于 N，與 CB交于 M．AC Byx011AC Bx011 Ｑ2P13ＮＭＫy過點 B作 Qx?軸于 ，易得 4BQ?， 8A， ?， 2BM① 以 A為腰且頂角為角 的 P△ 有 1 個： 1P△ ．22280???在 1RtNP△ 中， 2221 1980(5.)ANBA??????1592???????，②以 AB為腰且頂角為角 B的 PA△ 有 1 個： 2PAB△ ．在 2RtMP△ 中， 22 259804M?????2589????????，③以 AB為底，頂角為角 P的 AB△ 有 1 個，即 3PAB△ ．畫 的垂直平分線交拋物線對稱軸于 3，此時平分線必過等腰 C△ 的頂點 ．過點 3P作 K垂直 y軸，垂足為 K，顯然 3RttCQ△ ∽ △ ．12BQCA??．? 于是 1O?(1)P?，對稱軸為直線 72x的拋物線經過點 A（6，0）和B（0，4） ．（1）求拋物線解析式及頂點坐標；（2）設點 E（ x， y）是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形 OEAF 是以 OA 為對角線的平行四邊形．求平行四邊形OEAF 的面積 S 與 之間的函數關系式，并寫出自變量 x的取值范圍；72x?B(0,4)A(6,0)EF xyO ①當平行四邊形 OEAF 的面積為 24 時，請判斷平行四邊形 OEAF 是否為菱形？ ②是否存在點 E，使平行四邊形 OEAF 為正方形？若存在，求出點 E 的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）由拋物線的對稱軸是 72x?，可設解析式為 27()yaxk???．把 A、B 兩點坐標代入上式，得 27(6)0,??????? 解之，得 25,.36ak??故拋物線解析式為 27()yx，頂點為 7(,).2（2）∵點 (,)E在拋物線上，位于第四象限，且坐標適合 2536yx??，∴y0，即 －y0,－y 表示點 E 到 OA 的距離．∵OA 是 OEAF的對角線，∴ 217264()5Sy??????．因為拋物線與 x軸的兩個交點是（1，0）的（6，0） ，所以，自變量 x的取值范圍是 1＜ ＜6．① 根據題意，當 S = 24 時，即 274()54x???．化簡，得 27().4x?? 解之，得 123,.x?故所求的點 E 有兩個，分別為 E1（3，－4） ，E 2（4，－4） ．點 E1（3，－4）滿足 OE = AE，所以 OAF是菱形；點 E2（4，－4）不滿足 OE = AE，所以 不是菱形．② 當 OA⊥EF，且 OA = EF 時， 是正方形，此時點 E 的坐標只能是（3，－3） ． 而坐標為（3，－3）的點不在拋物線上，故不存在這樣的點 E，使 OEAF為正方形．ECAyOB F xMD 12，直線 43???xy與 軸交于點 A，與 y軸交于點 C，已知二次函數的圖象經過點 A、 C和點 ??0,1B.（1）求該二次函數的關系式；（2）設該二次函數的圖象的頂點為 M，求四邊形 AOC的面積；（3）有兩動點 D、 E同時從點 O出發(fā)，其中點 D以每秒 23個單位長度的速度沿折線OAC 按 → A→ C的路線運動，點 E以每秒 4個單位長度的速度沿折線 OCA按→ → 的路線運動，當 、 兩點相遇時， D、 E同時從點 出發(fā) t秒時， E?的面積為 S .①請問 D、 兩點在運動過程中，是否存在 D∥ OC，若存在，請求出此時 t的值；若不存在，請說明理由；②請求出 S 關于 t的函數關系式，并寫出自變量 t的取值范圍；③設 0是②中函數 S 的最大值，那么 0S = .解：（1）令 ?x，則 4y；令 y則 3．∴ ??0A， ． C，∵二次函數的圖象過點 ， ，∴可設二次函數的關系式為 42??bxay又∵該函數圖象過點 ??30A， ． ?1B?，∴ 094ab??????，．解之，得 3， 8?．∴所求二次函數的關系式為 4382??xy （2）∵ 42??xy= ??3164xECAyOBxMD∴頂點 M 的坐標為 163??????， 過點 M 作 MF x?軸于 F∴ AMAOCOCSS??△四 邊 形 梯 形= ??10364213621??????????∴四邊形 AOCM 的面積為 10 （3）①不存在 DE∥ OC ∵若 DE∥ OC，則點 D， E 應分別在線段 OA， CA 上，此時 12t?，在 RtAOC△ 中，5AC?．設點 E 的坐標為 ??1xy， ∴ 5431??t，∴ 51??tx ∵ DE∥ ，∴ tt2351?? ∴ 8 ∵ 8t2，不滿足 1?．∴不存在 DEOC∥ ．②根據題意得 D， E 兩點相遇的時間為12435??（秒）現(xiàn)分情況討論如下：?。┊?0t?≤ 時， 2342St??A；ⅱ）當 1≤ 時，設點 E 的坐標為 ??2xy，∴ ??5442??ty，∴ 51632ty??∴ ttttS7163?? ⅲ）當 2 t 14時，設點 E 的坐標為 ??3x， ，類似ⅱ可得 5163ty??設點 D 的坐標為 ??4,yx∴ 5324??ty，∴ 16t∴ AOEDS?△ △ 51263532????tt= 7?t ③ 804S 知 ： 如 圖 ， 拋 物 線 2yaxbc??經 過 (1,0)A、 (5,)B、 (0,5)C三 點 ．（1）求拋物線的函數關系式；（2）若 過 點 C 的 直 線 ykx與 拋 物 線 相 交 于 點 E （ 4， m） ， 請 求 出 △ CBE 的 面 積 S 的 值 ；（3）在拋物線上求一點 0P使得△ ABP0為等腰三角形并寫出 0點的坐標；（4）除（3）中所求的 0點外，在拋物線上是否還存在其它的點 P 使得△ ABP 為等腰三角形？若存在，請求出一共有幾個滿足條件的點 （要求簡要說明理由，但不證明） ；若不存在這樣的點 P，請說明理由．解：（1）∵拋物線經過點 (1,0)A、 (5,)B，∴ (1)5yax??．又∵拋物線經過點 (0,)C，∴ 5a， 1．∴拋物線的解析式為 2()65yxx?????．（2）∵ E 點在拋物線上，∴ m = 42–46+5 = 3．xyCBAE–11O∵直線 y = kx+b 過點 C（0， 5） 、 E（4， –3） ，∴ 5,?????? 解得 k = 2， b = 5． 設直線 y= 2x+5 與 x 軸的交點為 D，當 y=0 時， 2x+5=0，解得 x= 2．∴ D 點的坐標為（ 5，0） ． ∴ S=S△BDC + S△BDE= 11(5)(5)322????=10．（3）∵拋物線的頂點 0(3,4)P既在拋物線的對稱軸上又在拋物線上，∴點 0(,)?為所求滿足條件的點．（4）除 點外，在拋物線上還存在其它的點 P 使得△ ABP 為等腰三角形．理由如下：∵ 2045APB????，∴分別以 、 為圓心半徑長為 4 畫圓，分別與拋物線交于點 B、 1P、 6，除去 、 A兩個點外，其余 6 個點為滿足條件的點，在直角坐標系中，點 A 的坐標為 (－ 2， 0)，連接 OA，將線段 OA 繞原點 O 順時針旋轉 120176。，得到線段 OB．(1)求點 B 的坐標；(2)求經過 A、 O、 B 三點的拋物線的解析式；(3)在 (2)中拋物線的對稱軸上是否存在點 C，使 △BOC 的周長最小？若存在，求出點 C的坐標；若不存在，請說明理由；(4)如果點 P 是( 2)中的拋物線上的動點，且在 x 軸的下方，那么 △PAB 是否有最大面積？若有，求出此時 P 點的坐標及 △PAB 的最大面積；若沒有，請說明理由．(注意：本題中的結果均保留根號)解：（1）過點 B 作 BD⊥x 軸于點 D，由已知可得：OB＝OA=2，∠BOD＝60176。在 Rt△OBD 中，∠ODB＝90176。，∠OBD＝30176。 ∴OD＝1，DB＝ 3 ∴點 B 的坐標是（1， ）（2）設所求拋物線的解析式為 2yaxbc??，由已知可得：034cab??????? 解得： 3c?2， =， 0∴所求拋物線解析式為 23yx? （備注： a、 b 的值各得 1 分）（3）存在由 23yx?? 配方后得： 23(1)yx???∴拋物線的對稱軸為 1?? （也可用頂點坐標公式求出）∵點 C 在對稱軸 x上， △BOC 的周長＝OB+BC+CO；∵OB=2，要使△BOC 的周長最小，必須 BC+CO 最小，∵點 O 與點 A 關于直線 1??對稱，有 CO=CA△BOC 的周長＝OB+BC+CO＝OB+BC+CA∴當 A、C、B 三點共線，即點 C 為直線 AB 與拋物線對稱軸的交點時，BC+CA 最小，此時△BOC 的周長最小。AB(第 25 題圖)1O1xy1設直線 AB 的解析式為 ykxb??，則有： 320kb???????解得： 32k，∴直線 AB 的解析式為 3yx??當 1x??時， 3∴所求點 C 的坐標為（－1， ）（4）設 P()xy， （ 20xy?－ ， ） ，則 23x?? ①過點 P 作 PQ⊥y 軸于點 Q， PG⊥x 軸于點 G，過點 A 作 AF⊥PQ 軸于點 F，過點 B 作BE⊥PQ 軸于點 E，則 PQ= x?，PG= y，由題意可得：PABAFPBEBSS△ △ △ 梯 形＝ － － ＝ 11()22????= 13(()2()3yyxxy????＝ 2x? ② 將①代入②，化簡得： 233PABSx??△ ＝ ＝ 23193()8x??∴當 ?時，△PAB 得面積有最大值，最大面積為938。此時 1233()44y?????∴點 P 的坐標為 13()24?， ，已知與 x軸交于點 (10)A， 和 (5)B， 的拋物線 1l的頂點為 (34)C， ，拋物線 2l與1l關于 軸對稱，頂點為 C?．（1）求拋物線 2l的函數關系式；（2）已知原點 O，定點 (04)D， ， 2l上的點 P與 1l上的點 ?始終關于 x軸對稱，則當點P運動到何處時，以點 ?， ， ， 為頂點的四邊形是平行四邊形？（3）在 2l上是否存在點 M，使 AB△ 是以 為斜邊且一個角為 30?的直角三角形？若存，求出點 的坐標；若不存在，說明理由．解：（1）由題意知點 C?的坐標為 (34)?， ．設 2l的函數關系式為 2yax?．又 ?點 (0)A， 在拋物線 ()上，2134a??，解得 1．拋物線 2l的函數關系式為 2(3)4yx??（或 265yx???） ．（2） P與 ?始終關于 軸對稱， ?與 y軸平行．設點 的橫坐標為 m，則其縱坐標為 265m??，4OD??， 2654????，即 2??．當 265時，解得 3?．當 2m時，解得 2m．當點 P運動到 (36)?， 或 ()?， 或 (2)?， 或 (32)??， 時，OD? ∥，以點 P?， ， ， 為頂點的四邊形是平行四邊形．（3）滿足條件的點 M不存在．理由如下：若存在滿足條件的點 M在 2l上，則43112345 54321AEBC?O2l1lxy5?4321?123D5 54321ACEMBC?O2l1lxy90AMB???， 30A???（或 30ABM???） ，1422??．過點 作 E?于點 ，可得 E?．1B??， 3， 4O?．點 M的坐標為 (4)?， ．但是，當 x時， 265123y?????．?不存在這樣的點 構成滿足條件的直角三角形．，拋物線 y＝－ x 2＋ bx＋ c 與 x 軸交于 A(1，0 )， B(－ 3，0 )兩點．（1）求該拋物線的解析式；（2）設（1）中的拋物線交 y 軸于 C 點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點 Q，使得△QAC 的周長最??？若存在，求出點 Q 的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在（1）中的拋物線上的第二象限內是否存在一點 P，使△ PBC 的面積最大？，若存在，求出點 P 的坐標及△ PBC 的面積最